(共26张PPT)
第四章
4.1.1 条件概率
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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课程标准 1.通过实例,理解条件概率的概念,能利用条件概率的公式解决简单的问题.
2.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法.
基础落实·必备知识全过关
知识点 条件概率
条件 设A,B是两个事件,且P(B)>0
定义 已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为
记作 P(A|B)
计算公式
P(A|B)=
图形
条件概率
名师点睛
条件概率的性质
(1)0≤P(A|B)≤1;
(2)如果B与C互斥,则P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A);
(3)P(A|A)=1.
过关自诊
1.[北师大版教材习题]抛掷一枚均匀的骰子,观察掷出的点数,若掷出的点数不超过3,则掷出的点数是奇数的概率为( )
B
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探究点一 条件概率的计算
【例1】 [北师大版教材例题]在5道题中有3道选择题和2道填空题,如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第一次抽到选择题的概率;
(2)第一次和第二次都抽到选择题的概率;
(3)在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到选择题的概率.
解 设事件A表示“第一次抽到选择题”,事件B表示“第二次抽到选择题”,则事件AB表示“第一次和第二次都抽到选择题”.
规律方法 计算条件概率的两种方法
变式训练1一个医疗小队有3名男医生,4名女医生,从中抽出两个人参加一次医疗座谈会,则已知在一名医生是男医生的条件下,另一名医生也是男医
生的概率是 .
解析 设事件A表示“一名医生是男医生”,事件B表示“另一名医生也是男医生”,
探究点二 求互斥事件的条件概率
【例2】 在一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球,设有1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,从中依次摸2个球,求在第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.
解 设“摸出第一个球为红球”为事件A,“摸出第二个球为黄球”为事件B,“摸出第二个球为黑球”为事件C.
规律方法 互斥事件的条件概率的求解策略
(1)利用公式P((B∪C)|A)=P(B|A)+P(C|A)可使条件概率的计算较为简单,但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”.
(2)为了求复杂事件的概率,往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件,求出简单事件的概率后,相加即可得到复杂事件的概率.
变式训练2[北师大版教材例题]一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:
(1)任意按最后一位数字,不超过两次就按对的概率;
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过两次就按对的概率.
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1
2
3
1.已知100个产品中,有83个产品长度合格,90个产品强度合格,80个产品长度和强度都合格.现在,任取一个产品,若它的强度合格,则它长度合格的概率为( )
C
1
2
3
1
2
3
2.2022年12月4日是第九个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识,弘扬宪法精神”的知识竞赛活动,甲同学答对第一道题的概率为 ,连续答对第一、二道题的概率为 ,用事件A表示“甲同学答对第一道题”,事件B
表示“甲同学答对第二道题”,则P(B|A)= .
1
2
3
3.在100件产品中,有95件合格品,5件不合格品,现从中不放回地取两次,每次任取1件产品.试求:
(1)第一次取到不合格品的概率;
(2)在第一次取到不合格品后,第二次又取到不合格品的概率.
1
2
3
解 设第一次取到不合格品为事件A,第二次取到不合格品为事件B,则有:(共49张PPT)
第四章
4.2.1 随机变量及其与事件的联系 4.2.2 离散型随机变量的分布列
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课程标准 1.理解随机变量及其与事件的联系.
2.理解离散型随机变量的概念.
3.能写出离散型随机变量的可能取值,并能解释其意义.
4.理解离散型随机变量分布列的概念及性质,会求离散型随机变量的分布列.
5.理解两点分布的意义,能够利用两点分布解决实际问题.
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知识点一 随机变量及其与事件的联系
1.随机变量 随机变量的取值由随机试验的结果决定
定义 一般地,如果随机试验的样本空间为Ω,而且对于Ω中的每一个样本点,变量X都有_________确定的实数值与之对应,就称X为一个随机变量
表示 随机变量一般用大写英文字母X,Y,Z,…或小写希腊字母ξ,η,ζ,…表示
范围 随机变量所有可能的取值组成的集合,称为这个随机变量的取值范围
2.随机变量与事件的联系
一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是任意实数,那么X=a,X≤b,X>b等都表示事件,而且:
(1)当a≠b时,事件X=a与X=b ;
(2)事件X≤a与X>a相互 ,因此P(X≤a)+P(X>a)= .
唯一
互斥
对立
1
3.离散型随机变量
取值 特点 一一列出 对于离散型随机变量所有可能的取值都能一一列举出来
4.随机变量之间的关系
一般地,如果X是一个随机变量,a,b都是实数且a≠0,则Y=aX+b也是一个随机变量.
由于X=t的充要条件是Y=at+b,因此P(X=t)=P(Y=at+b).
X与Y一一对应
名师点睛
判断一个随机变量X是不是离散型随机变量的方法
(1)明确试验的所有可能结果;
(2)将随机试验的试验结果数量化;
(3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,如果能一一列举出来,那么该随机变量是离散型随机变量,否则不是.
过关自诊
1.下面是离散型随机变量的是( )
A.电灯泡的使用寿命X
B.小明射击1次,击中目标的次数X
C.测量一批电阻两端的电压,在10 V~20 V之间的电压值X
D.一个在y轴上随机运动的质点,它在y轴上的位置X
B
2.在掷一枚质地均匀的骰子试验中,“朝上的点数”是一个随机变量,它的取值有( )
A.2个 B.4个
C.6个 D.7个
C
知识点二 离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量的分布列
一般地,当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn}时,如果对任意k∈{1,2,…,n},概率P(X=xk)=pk都是已知的,则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示,这个表格称为X的概率分布或分布列.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
离散型随机变量的分布列满足:
(1)pk≥0,k=1,2,…,n;(2) pk=p1+p2+…+pn= .
1
名师点睛
1.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映其所取的一切可能的值,而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小,从而反映了离散型随机变量在随机试验中取值的分布状况,是进一步研究随机试验数量特征的基础.
2.由于离散型随机变量的各个可能取值之间彼此互斥,因此,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
3.当X与Y都是离散型随机变量而且Y=aX+b(a≠0)时,X与Y的分布列分别如下表所示,它们的第二行的概率值是一样的.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
Y=aX+b ax1+b ax2+b … axk+b … axn+b
P p1 p2 … pk … pn
2.两点分布
一般地,如果随机变量X的分布列为
X 1 0
P p 1-p
其中0
常被称为成功概率
名师点睛
两点分布又称为伯努利分布.
过关自诊
1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)
(1)离散型随机变量的分布列中每个随机变量取值对应概率都相等.( )
(2)在离散型随机变量的分布列中,所有概率之和为1.( )
(3)已知X服从两点分布,事件X=0与事件X=1是相互独立的.( )
×
分布列中的每个随机变量所代表的随机事件并非都是等可能发生的事件.
√
由分布列的性质可知,该说法正确.
×
因为X服从两点分布,所以事件X=0与事件X=1不能同时发生,且必有一个发生,是对立事件.
2.设X是一个离散型随机变量,其分布列为
X 0 1
P a 0.4
则实数a的值为( )
A.0
B.0.4
C.0.6
D.1
C
解析 根据两点分布概率的特点,知a=1-0.4=0.6.
3.已知随机变量η的分布列如下:
η 1 2 3 4 5 6
P 0.1 0.05 0.3 0.2 0.12 0.23
则P(η=3)= .
0.3
解析 由离散型随机变量的分布列,可知P(η=3)=0.3.
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探究点一 随机变量及其事件的联系
角度1.随机变量的取值及试验结果
【例1】 [北师大版教材例题]已知在10件产品中有2件不合格品.试验E:从这10件产品中任取3件,观察不合格品的件数.
(1)写出该随机现象可能出现的结果;
(2)试用随机变量来描述上述结果.
解 (1)依题意知这10件产品中有2件不合格品,8件合格品.
因此,从10件产品中任取3件,所有可能出现的结果是:“没有不合格品”“恰有1件不合格品”“恰有2件不合格品”.
(2)令随机变量X表示取出的3件产品中的不合格品的件数,则X所有可能的取值为0,1,2,对应着任取3件产品所有可能的结果.
即X=0表示“没有不合格品”;
X=1表示“恰有1件不合格品”;
X=2表示“恰有2件不合格品”.
规律方法 用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点
(1)关键点:解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值,以及取每一个值对应的意义.
(2)注意点:解答过程中不要漏掉某些试验结果.
变式训练1[人教A版教材习题]下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示 若能,请写出各随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.
(1)抛掷2枚骰子,所得点数之和;
(2)某足球队在5次点球中射进的球数.
解 (1)能用离散型随机变量表示.
点数之和X的可能取值是2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.
X=k表示掷出的点数之和为k(k=2,3,4,…,12).
(2)能用离散型随机变量表示.
进球个数Y的可能取值是0,1,2,3,4,5.
Y=k表示射进k个球(k=0,1,2,3,4,5).
角度2.随机变量之间的关系
【例2】 某快递员按下述方式获取税前月工资:底薪1 200元,每送一件商品获取3元,从该快递公司中任选一名快递员,设其月送商品件数为X件,获取的税前月工资为Y元.
(1)当X=1 200时,求Y的值;
(2)写出X,Y之间的关系式;
(3)若P(X≤2 000)=0.6,求P(Y>7 200)的值.
解 (1)当X=1 200时,Y=1 200×3+1 200=4 800.
(2)Y=3X+1 200.
(3)当X≤2 000时,Y≤7 200,
∴P(X≤2 000)=P(Y≤7 200)=0.6,
∴P(Y>7 200)=1-P(Y≤7 200)=1-0.6=0.4.
规律方法 如果X是一个随机变量,a,b∈R且a≠0,那么Y=aX+b也是一个随机变量,且P(Y=at+b)=P(X=t).
变式训练2已知Y=3+2X,若P(Y>7)=0.3,则P(X≤2)= .
0.7
解析 因为P(Y>7)=P(3+2X>7)=P(X>2)=0.3,
所以P(X≤2)=1-0.3=0.7.
探究点二 离散型随机变量的分布列
角度1.求离散型随机变量的分布列
【例3】 一袋中装有5个球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取3个,以ξ表示取出的3个球中的最大号码,写出随机变量ξ的分布列.
解 随机变量ξ的可能取值为3,4,5.
当ξ=3时,即取出的三个球中最大号码为3,则其他两个球的编号只能是1,2,
当ξ=4时,即取出的三个球中最大号码为4,则其他两个球只能在编号为1,2,3的3个球中取2个,
当ξ=5时,即取出的三个球中最大号码为5,则其他两个球只能在编号为1,2,3,4的4个球中取2个,故有
因此ξ的分布列如下表所示.
规律方法 求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要清楚ξ取每一个值对应的随机事件,进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率.
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时,要充分利用分布列的性质,这样不但可以减少运算量,还可以验证分布列是否正确.
变式训练3[人教A版教材例题]一批笔记本电脑共有10台,其中A品牌3台,B品牌7台.如果从中随机挑选2台,求这2台电脑中A品牌台数的分布列.
角度2.离散型随机变量分布列的性质
【例4】 设随机变量X的分布列为P(X= )=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常数a的值;
(2)求P(X≥ ).
解 分布列可改写为
规律方法 利用离散型分布列的性质解题时要注意以下两个问题:
(1)X=Xi(i=1,2,…,n)的各个取值表示的事件是互斥的.
(2)不仅要注意 ,而且要注意pi≥0,i=1,2,…,n.
变式训练4若离散型随机变量X的分布列为
X 0 1
P 4a-1 3a2+a
求常数a及相应的分布列.
探究点三 两点分布
【例5】 已知一批200件的待出厂产品中,有1件次品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列.
规律方法 两点分布的4个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的;
(2)两点分布中的两个结果一个对应1,另一个对应0;
(3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0));
(4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用两点分布来研究它.
变式训练5[人教A版教材习题]篮球比赛中每次罚球命中得1分,不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,求他一次罚球得分的分布列.
解 设该运动员一次罚球得分为X,其分布列为
X 0 1
P 0.3 0.7
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1
2
3
4
5
1.(多选题)下列随机变量是离散型随机变量的是( )
A.某景点一天的游客数X
B.某寻呼台一天内收到寻呼次数X
C.水文站观测到江水的水位数X
D.某收费站一天内通过的汽车车辆数X
6
ABD
1
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5
2.[北师大版教材习题]同时抛掷两枚均匀的骰子,设X表示掷出的点数之和,则X=4表示的随机试验结果是( )
A.一枚掷出3点,一枚掷出1点
B.两枚都掷出2点
C.两枚都掷出4点
D.一枚掷出3点,一枚掷出1点或两枚都掷出2点
6
D
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5
3.设X是一个离散型随机变量,其分布列为
6
D
1
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5
4.随机变量η的分布列如下:
η 1 2 3 4 5 6
P 0.2 x 0.25 0.1 0.15 0.2
则x= ,P(η≤3)= .
6
0.1
0.55
解析 由分布列的性质得0.2+x+0.25+0.1+0.15+0.2=1,解得x=0.1.
P(η≤3)=P(η=1)+P(η=2)+P(η=3)=0.2+0.1+0.25=0.55.
1
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5
5.随机变量ξ服从两点分布,且P(ξ=1)=0.8,η=3ξ-2,则P(η=-2)= .
6
0.2
解析 当η=-2时,ξ=0,所以P(η=-2)=P(ξ=0)=1-P(ξ=1)=0.2.
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5
6.[北师大版教材习题]从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试.
(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率;
(2)设ξ表示选出的3名同学中男生的人数,求ξ的分布列.
6
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2
3
4
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6(共41张PPT)
第四章
4.2.5 正态分布
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目录索引
课程标准 1.通过实例,认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.理解3σ原则,会求随机变量在特殊区间内的概率.
2.通过本节的学习,体会函数思想、数形结合思想在实际中的运用.
基础落实·必备知识全过关
知识点一 正态曲线
1.定义
一般地,函数 对应的图象称为正态曲线(也因形状而被称“钟形曲线”,φ(x)也常常记为φμ,σ(x)).其中μ= ,即X的均值;
σ= ,即X的标准差.
E(X)
2.正态曲线的性质
(1)正态曲线关于 对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特点;
(2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为 ;
(3)σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,说明标准差越大,数据的集中程度越 ,所以曲线越“胖”;σ越小,说明标准差越小,数据的集中程度越 ,所以曲线越“瘦”.
x=μ
1
弱
强
名师点睛
1.正态曲线位于x轴上方,与x轴不相交.
2.曲线在x=μ时处于最高点,并由此处向左右两边延伸时,曲线逐渐降低,其图象“中间高,两边低”.
3.当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移.
4.正态曲线完全由变量μ和σ确定,参数μ是反映随机变量的平均水平的特征数,所以用样本的均值去估计;σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计.
过关自诊
1.关于正态曲线特点的描述:
①曲线关于直线x=μ对称,这条曲线在x轴上方;
②曲线关于直线x=σ对称,这条曲线只有当x∈(-3σ,3σ)时才在x轴上方;
③曲线关于y轴对称,曲线对应的函数是一个偶函数;
④曲线在x=μ时处于最高点,由这一点向左右两边延伸时,曲线逐渐降低;
⑤曲线的对称轴由μ确定,曲线的形状由σ确定;
⑥σ越大,曲线越“胖”,σ越小,曲线越“瘦”.
说法正确的是( )
A.①④⑤⑥ B.②④⑤ C.③④⑤⑥ D.①⑤⑥
A
解析 参照正态曲线的性质,正态曲线位于x轴上方,只有当μ=0时,正态曲线才关于y轴对称,因此A选项正确.
2.[北师大版教材习题改编]若随机变量ξ~N(μ,σ2),其概率密度函数为
(x∈R),则σ的值为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
B
知识点二 正态分布
1.正态分布
一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴在区间[a,b]内围成的 ,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作X~ .
此时φμ,σ(x)称为X的概率密度函数,此时μ是X的 ,σ是X的 ,σ2是X的 .
面积
N(μ,σ2)
均值
标准差
方差
2.随机变量X在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则
(1)在三个特殊区间内取值的概率
若X~N(μ,σ2),则
①P(|X-μ|≤σ)= ≈ ,
②P(|X-μ|≤2σ)= ≈ ,
③P(|X-μ|≤3σ)= ≈ .
P(μ-σ≤X≤μ+σ)
68.3%
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)
95.4%
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)
99.7%
(2)3σ原则
由于随机变量X在(-∞,+∞)内取值的概率为1,又由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%知,X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范围之内,也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件),这一结论通常称为正态分布的“3σ原则”.
通常认为这种情况几乎不可能发生
名师点睛
X几乎都取值于区间[μ-3σ,μ+3σ]之内,而在此区间以外取值的概率是极小的,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.这是统计中常用的检验的基本思想.
3.标准正态分布
μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布,记作X~ .
过关自诊
1.如果随机变量X~N(4,1),则P(X<2)等于( )
A.0.21 B.0.023 C.0.045 D.0.021
N(0,1)
B
2.已知随机变量X服从正态分布,且X落在区间(0.2,+∞)内的概率为0.5,那么相应的正态曲线f(x)在x= 时达到最高点.
3.[人教A版教材习题改编]设随机变量X~N(0,1),则X的概率密度函数为
,P(|X|≤1)= ,P(X≤1)= ,P(X>1)= .
(精确到0.001)
0.2
解析 由正态曲线关于直线x=μ对称,且在x=μ处达到峰值和其落在区间(μ,+∞)内的概率为0.5,得μ=0.2.
0.683
0.841
0.159
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探究点一 正态曲线及其性质
【例1】 某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正态分布,则由如图所示曲线可得下列说法中正确的一项是( )
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同
A
解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越“胖”;σ越小,正态曲线越“瘦”.
故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.
规律方法 利用正态曲线的性质求参数μ,σ
(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x=μ处达到峰值 ,由此性质结合图象可求σ.
(3)由曲线的“胖瘦”区分σ的大小.
变式训练1(多选题)甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布 ,其密度函数图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2=1.99
ABC
解析 由图象可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8 kg,故A,C正确;甲图象比乙图象更高瘦,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;乙类水果的质量服从的正态分布的最大值为1.99,即 =1.99,σ2≠1.99,故D错误.故选ABC.
探究点二 正态分布下的概率计算
【例2】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)=( )
A.0.6 B.0.4
C.0.3 D.0.2
C
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,其图象的对称轴是直线x=2.∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,∴P(0<ξ<4)=0.6,∴P(0<ξ<2)=0.3.故选C.
(2)[人教A版教材习题改编]某市高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(170,52),随机选择一名本市高二年级的男生,求下列事件的概率:
①165≤X≤175;
②X<165;
③X>175.
解 ∵X~N(170,52),∴μ=170,σ=5.
∴①P(165≤X≤175)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683.
②P(X<165)= [1-P(165≤X≤175)]≈ ×(1-0.683)=0.158 5.
③P(X>175)=P(X<165)=0.158 5.
规律方法 服从正态分布的随机变量在某个区间内取值概率的求解策略
(1)充分利用正态曲线的对称性和正态曲线与x轴所围成的图形面积为1.
(2)注意概率值的求解转化:
①P(X②P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);
③若b<μ,则P(X(3)熟记P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)对应的值.
变式训练2(1)如果随机变量ξ~N(0,1),且P(ξ>1)=0.3,则P(0≤ξ≤1)等于( )
A.0.4 B.0.2
C.0.3 D.0.5
B
解析 (1)由题意,随机变量ξ~N(0,1),P(ξ>1)=0.3,则P(ξ<-1)=0.3,所以,P(0≤ξ≤1)= P(-1≤ξ≤1)= (1-0.3-0.3)=0.2.故选B.
(2)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是
( )
A.σ越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大
B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D.该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等
D
解析 对于A,σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确;对于B,由正态曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5,故B正确;对于C,由正态曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确;对于D,因为该物理量一次测量结果落在(9.9,10.0)的概率与落在(10.2,10.3)的概率不同,所以一次测量结果落在(9.9,10.2)的概率与落在(10,10.3)的概率不同,故D错误.故选D.
探究点三 正态分布的实际应用
【例3】 (1)[北师大版教材习题]一批电阻的阻值X(单位:Ω)服从正态分布N(1 000,52),现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一只电阻,测得阻值分别为1 011 Ω和982 Ω,可以认为 .(填写所有正确结论的序号)
①甲、乙两箱电阻均可出厂;
②甲、乙两箱电阻均不可出厂;
③甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂;
④甲箱电阻不可出厂,乙箱电阻可出厂.
③
解析 因为X~N(1 000,52),所以μ=1 000,σ=5.所以μ-3σ=1 000-3×5=985, μ+3σ=1 000+3×5=1 015.因为1 011∈[985,1 015],982 [985,1 015],所以甲箱电阻可出厂,乙箱电阻不可出厂.
(2)设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班共54名学生,求这个班在这次数学考试中及格(即90分及90分以上)的人数和130分以上的人数.
解 由题得μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ),
∵P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈2P(X-μ<-σ)+0.683=1,
∴P(X-μ<-σ)=0.158 5.
∴P(X≥90)=1-P(X-μ<-σ)=1-0.158 5=0.841 5.
∴54×0.841 5≈45(人),即及格人数约为45人.
∵P(X>130)=P(X-110>20)=P(X-μ>σ),
∴P(X-μ<-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ>σ)≈0.683+2P(X-μ>σ)=1,
∴P(X-μ>σ)=0.158 5,即P(X>130)=0.158 5.
∴54×0.158 5≈9,即130分以上的人数约为9.
变式探究 如果例3(2)中把条件“这个班共54名学生”换成“现已知该班同学中不及格的有9人”,求相应结论.
解 ∵X~N(110,202),
∴μ=110,σ=20,
∴P(110-20≤X≤110+20)≈0.683,
∴X<90的概率约为 ×(1-0.683)=0.158 5.
设该班学生共有x人,则0.158 5x=9,
解得x≈57.
∴P(X≥90)=1-0.158 5=0.841 5,
∴这个班在这次数学考试中及格的人数为0.841 5×57≈48(人),
又P(X<90)=P(X>130),
∴130分以上的人数约为9.
规律方法 1.利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3σ区间,由特殊区间的概率值求出.
2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握随机变量在[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率值.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.
3.利用“3σ原则”可进行合理性分析.
变式训练3[人教A版教材例题改编]小明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间,经数据分析得到:坐公交车平均用时30 min,样本方差为36;骑自行车平均用时34 min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.如果某天有38 min可用,小明应选择哪种交通工具 如果某天只有34 min可用,又应该选择哪种交通工具 请说明理由.
解 对于随机变量X,样本的均值为30,样本的标准差为6;对于随机变量Y,样本的均值为34,样本的标准差为2.用样本的均值估计参数μ,用样本的标准差估计参数σ,可以得到X~N(30,62),Y~N(34,22).
应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.P(X≤38)P(Y≤34).
所以,如果有38 min可用,那么骑自行车不迟到的概率大,应选择骑自行车;
如果只有34 min可用,那么坐公交车不迟到的概率大,应选择坐公交车.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
5
1.下列函数是正态分布密度函数的是( )
B
1
2
3
4
5
2.经统计,某市高三学生期末数学成绩X~N(85,σ2),且P(80≤X≤90)=0.3,则从该市任选一名高三学生,其成绩不低于80分的概率是( )
A.0.35 B.0.65
C.0.7 D.0.85
B
解析 由已知P(X>90)= [1-P(80≤X≤90)]= ×(1-0.3)=0.35,
所以P(X≥80)=P(80≤X≤90)+P(X>90)=0.3+0.35=0.65.
故选B.
1
2
3
4
5
3.某县农民的月均收入ξ服从正态分布,即ξ~N(1 000,402),则此县农民月均收入在1 000元到1 080元间人数的百分比为 .(附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954)
47.7%
1
2
3
4
5
4.[2023北京临川学校高二期中]上次月考刚好有900名学生参加考试,学生的数学成绩ξ~N(105,102),且P(95≤ξ≤105)=0.34,则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为 .
144
解析 ∵学生的数学成绩ξ~N(105,102),且P(95≤ξ≤105)=0.34, ∴P(105≤ξ≤115)=0.34,∴P(ξ>115)=0.5-0.34=0.16,则上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为900×0.16=144(人).
1
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5
5.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,求ξ在(0,2)内取值的概率.
解 如图,易得P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2),故P(0<ξ<2)=2P(0<ξ<1)=2×0.4=0.8.(共46张PPT)
第四章
本章总结提升
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
目录索引
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
专题一 条件概率与全概率公式
1.求条件概率及运用全概率公式求概率问题的关键是能区分P(A),P(B|A)以及P(AB)在题目情境下的含义,并明确三者之间的关系,完成转化.
2.掌握条件概率与全概率公式,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
【例1】 某班有6名班干部,其中男生4人,女生2人,任选3人参加学校的义务劳动.
(1)求男生甲或女生乙被选中的概率;
(2)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(A)和P(B|A).
规律方法 条件概率的两个求解策略
(2)缩小样本空间法(直接法):利用 求解,常用于古典概型的概率计算问题.
变式训练1(多选题)[2023广东东莞高二期末]有甲、乙两台车床加工同一型号的零件,甲车床加工的优质品率为90%,乙车床加工的优质品率为80%,加工出来的零件混放在一起.已知甲、乙两台车床加工的零件数分别占总数的60%,40%.任取一个零件,用事件A1,A2分别表示取到的零件来自甲、乙车床,事件B表示取到的零件为优质品,则下列选项正确的有( )
A.P(A1B)=0.54
B.P(B|A1)=0.9
C.P(B|A2)=0.32
D.P(B)=0.86
ABD
解析 依题意得:用事件A1表示取到的零件来自甲车床,则P(A1)=0.6,用事件A2表示取到的零件来自乙车床,则P(A2)=0.4,所以P(B|A1)=0.9,P(B|A2)=0.8,B正确,C错误;对于A,P(B|A1)=
解得P(A1B)=0.54,A正确;对于D,由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.9+0.4×0.8=0.86,D正确.故选ABD.
专题二 相互独立事件的概率与二项分布
1.利用独立事件概率公式求概率问题通常先转化成互斥事件的概率的和,要注意二项分布这一特殊的独立事件概率模型.
2.掌握独立事件概率公式,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养.
【例2】 计算机考试分理论考试与实际操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考试都“合格”者,则计算机考试“合格”,并颁发合格证书,甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为 ,在实际操作考试中“合格”的概率依次为 ,所有考试是否合格相互之间没有影响.
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试,谁获得合格证书的可能性最大
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后,求恰有两人获得合格证书的
概率.
解 (1)设“甲获得合格证书”为事件A,“乙获得合格证书”为事件B,“丙获得合格证书”为事件C,则由题得,
因为P(C)>P(B)>P(A),
所以丙获得合格证书的可能性最大.
(2)设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D,则
规律方法 求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的重要工具.
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间的相互关系.
(3)公式“P(A+B)=1-P( )”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.
变式训练2[人教A版教材习题]已知每门大炮击中目标的概率都是0.3,现在n门大炮同时对某一目标各射击一次.
(1)当n=10时,求恰好击中目标3次的概率(精确到0.001).
(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过95%,至少需要多少门大炮
解 设击中目标的门数为X,由题意知X~B(10,0.3).
(1)P(X=3)= ×0.33×0.77≈0.267.
(2)目标至少被击中一次的概率为P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.7n.
欲使1-0.7n≥0.95,即0.7n≤0.05,解得n≥9.
因此,目标至少被击中一次的概率超过95%,至少需要9门大炮.
专题三 离散型随机变量的分布列、均值和方差
1.均值和方差是随机变量重要的数字特征,要掌握求解的步骤,并明确其现实意义,利用均值和方差进行决策是近年考试的热点.
2.掌握均值和方差的计算,重点提升逻辑推理和数据分析的核心素养.
【例3】 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字),
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和,求η的分布列;
(2)若连续投掷10次,设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数,求E(ξ),D(ξ).
解 (1)由已知,随机变量η可能的取值为2,3,4,5,6.设掷一次正方体骰子所得点数为η0,
所以η的分布列为
规律方法 求离散型随机变量ξ的期望与方差的步骤
变式训练3某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人,有日生产件数为55的“菜鸟”2人,从这5人中任意抽取2人,则2人的日生产件数之和X的方差为 .
576
专题四 正态分布的概率
1.正态分布常常与统计、相互独立事件等相结合进行考查.
2.掌握正态分布,重点提升数学运算和数据分析的核心素养.
【例4】 为加强对企业产品质量的管理,市监局到区机械厂抽查机器零件的质量,共抽取了600件螺帽,将它们的直径和螺纹距之比Z作为一项质量指标,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这600件螺帽质量指标值的样本平均数 ,样本方差s2(在同一组数据中,用该组区间的中点值作代表).
(2)由频率分布直方图可以近似地认为,这种螺帽的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 ,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(185.03≤Z≤229.94);
②现从该企业购买了100件这种螺帽,记X表示这100件螺帽中质量指标值位于区间[185.03,229.94]的件数,利用①的结果,求E(X).
附: ≈14.97.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954, P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997.
解 (1)抽取的螺帽质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为
=170×0.05+180×0.12+190×0.18+200×0.30+210×0.19+220×0.10
+230×0.06=200,
s2=(-30)2×0.05+(-20)2×0.12+(-10)2×0.18+0×0.30+102×0.19+ 202×0.10+302×0.06=224.
(2)①由(1)知,Z~N(200,224),从而
P(200-14.97≤Z≤200+14.97)=2P(185.03≤Z≤200)≈0.683,
P(200-29.94≤Z≤200+29.94)=2P(200≤Z≤229.94)≈0.954,
P(185.03≤Z≤229.94)=P(185.03≤Z≤200)+P(200≤Z≤229.94)=0.818 5.
②由①知,一件螺帽的质量指标值位于区间[185.03,229.94]的概率为0.818 5,
依题意知X~B(100,0.818 5),所以E(X)=100×0.818 5=81.85.
规律方法 正态分布的概率求法
(1)注意“3σ”原则,记住随机变量在三个区间内取值的概率.
(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性,可充分体现数形结合的思想,因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题.
变式训练4为了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(单位:kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于等于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )
A.997 B.954 C.819 D.683
D
解析 由题可知μ=60.5,σ=2,故P(58.5≤X≤62.5)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%,从而这1 000名男生中属于正常情况的人数是1 000×68.3%=683.
专题五 一元线性回归模型及其应用
1.回归分析是将两个变量拟合成一个函数模型,如果拟合成一次函数模型需通过散点图和相关系数判断拟合的合理性,对于非线性模型要转化成线性模型.
2.主要培养数学建模和数据分析的数学核心素养.
【例5】 以下是某地收集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据:
房屋面积x/m2 115 110 80 135 105
销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据对应的散点图;
(2)若x与y线性相关,求回归直线方程;
(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格.
解 (1)数据对应的散点图如图所示.
(3)根据(2),当x=150时,销售价格的估计值为 =0.196 2×150+1.814 2 =31.244 2(万元).
规律方法 若在散点图中样本点大致分布在一条直线附近,则利用线性
变式训练5为缓解某种疾病造成的医疗压力,某市医疗器械公司转型升级,从9月1日开始投入呼吸机生产,该公司9月1目~9月9日连续9天的呼吸机日生产量为yi(单位:百台,i=1,2,…,9),数据作了初步处理,得到如图所示的散点图.
(1)从9个样本点中任意选取2个,在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下,求2个样本点都高于200台的概率;
(2)由散点图分析,样本点都集中在曲线y=ln(bt+a)的附近,求y关于t的回归直线方程y=ln(bt+a),并估计该公司从生产之日起,需要多少天呼吸机日生产量可超过500台.
参考数据:e5≈148.4.
解 (1)由散点图知,不高于300台的点有5个,其中高于200台的点有4个,则在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下,2个样本点都高于200台的概
率为
(2)y=ln(bt+a) z=ey=bt+a,则由回归方程系数求解公式知,
故y=ln(4t-1),y=ln(4t-1)>5 4t-1>e5≈148.4 t>37.35.
需要38天呼吸机日生产量可超过500台.
专题六 独立性检验
1.首先要明确独立性检验的适用情境,列出2×2列联表计算χ2后,分析判断相关性结论的可信程度.
2.掌握独立性检验,提升数学运算、数据分析的数学核心素养.
【例6】 某公司为了解服务质量,随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客,每位顾客对该公司的服务质量进行打分.已知这200位顾客所打分数均在[25,100]之间,根据这些数据得到如下的频数分布表:
顾客所打分数 [25,40) [40,55) [55,70) [70,85) [85,100]
男性顾客人数 4 6 10 30 50
女性顾客人数 6 10 24 40 20
(1)求这200位顾客所打分数的平均值(同一组数据用该组区间的中点值为代表);
(2)若顾客所打分数不低于70分,则该顾客对公司服务质量的态度为满意;若顾客所打分数低于70分,则该顾客对公司服务质量的态度为不满意,根据所给数据,完成下列2×2列联表,并根据列联表,判断是否有99%的把握认为顾客对该公司服务质量的态度与性别有关
顾客性别 满意情况 总计
满意 不满意 男
女
总计
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
(2)根据所给数据,可得如下2×2列联表:
顾客性别 满意情况 总计
满意 不满意 男 80 20 100
女 60 40 100
总计 140 60 200
因为9.524>6.635,所以有99%的把握认为顾客对该公司服务质量的态度与性别有关.
规律方法 独立性检验的一般步骤
(1)根据样本数据制成2×2列联表;
(2)根据公式计算χ2;
(3)比较χ2与临界值的大小关系并作统计推断.
变式训练6某班主任对全班30名男生进行了作业量多少的调查,数据如
下表:
是否喜欢玩电脑游戏 认为作业多 认为作业不多 总计
喜欢玩电脑游戏 12 8 20
不喜欢玩电脑游戏 2 8 10
总计 14 16 30
该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系,则这种推断犯错误的概率不超过 .
5% (共10张PPT)
第四章
培优课3 二项分布与超几何分布的区别与联系
重难探究·能力素养全提升
【例题】 在10件产品中,有3件一等品、4件二等品、3件三等品.
(1)若从这10件产品中任意抽取1件,设抽取到一等品的件数为ξ,求ξ的分布列.
(2)若从这10件产品中随机连续抽取3次,每次抽取1件,每次抽取后都放回,设抽取到一等品的件数为η,求η的分布列.
(3)若从这10件产品中随机连续抽取3次,每次抽取1件,每次抽取后都不放回,设抽取到一等品的件数为X,求:
①X的分布列;
②抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
②设事件A=“抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数”,
A1=“抽取到的3件产品中恰好有1件一等品和2件三等品”,
A2=“抽取到的3件产品中恰好有2件一等品”,
A3=“抽取到的3件产品均为一等品”,则事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3.
变式训练某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图如图.
(1)根据频率分布直方图,求质量超过
505克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,
设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列;
(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
解 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).
(2)质量超过505克的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为
28件,
(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为
从流水线上任取2件产品,该问题可看成2次独立重复试验,质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2,且Y~B(2, ),
∴Y的分布列为(共30张PPT)
第四章
4.1 条件概率与事件的独立性 4.1.2 乘法公式与全概率公式
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.结合古典概型,会用乘法公式计算概率.
2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.
*3.了解贝叶斯公式.
基础落实·必备知识全过关
知识点 乘法公式与全概率公式
1.乘法公式:由条件概率的计算公式P(B|A)= 可知,P(BA)= ,这就是说,根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式.
P(A)P(B|A)
2.全概率公式: 全概率可理解为事件的和与乘法公式的综合应用
P(A)P(B|A)
定理1 若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:
(1)任意两个事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
(2)A1+A2+…+An=Ω;
(3)P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n.
则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且
上述公式也称为全概率公式.
*3.贝叶斯公式:一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有
这称为贝叶斯公式.
定理2 若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:
(1)任意两个事件均互斥,即AiAj= ,i,j=1,2,…,n,i≠j;
(2)A1+A2+…+An=Ω;
(3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.
则对Ω中的任意概率非零的事件B,有
上述公式也称为贝叶斯公式.
过关自诊
1.已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,则P(BA)= .
2.已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B| )=0.4,则P(B)= .
3.袋子中有三个红球、一个黑球,不放回地摸球,则第二次摸到红球的概率是 .
0.06
解析 P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.3×0.2=0.06.
0.35
解析 用A1表示“第一次摸到红球”,A2表示“第二次摸到红球”,B1表示“第一次摸到黑球”,由全概率公式,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)
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探究点一 乘法公式
【例1】 [北师大版教材例题]已知口袋中有3个黑球和7个白球,这10个球除颜色外完全相同.
(1)先后两次从中不放回地各摸出一球,求两次摸到的均为黑球的概率;
(2)从中不放回地摸球,每次各摸一球,求第三次才摸到黑球的概率.
解 设事件Ai表示“第i次摸到的是黑球”(i=1,2,3),则事件A1A2表示“两次摸到的均为黑球”.
变式探究 本例中条件不变,求先后两次从中不放回地各摸出一球,第一次取得黑球,第二次取得白球的概率.
规律方法 乘法公式求概率的关注点
(1)来源:乘法公式是条件概率公式的变形式.
(2)适用情境:求P(AB)时可用乘法公式.
变式训练1[北师大版教材习题]甲、乙两人参加面试,每人的试题通过不放回抽签的方式确定.假设被抽的10个试题签中有4个是难题签,按甲先乙后的次序抽签.
(1)求甲抽到难题签的概率;
(2)若甲抽到难题签,求乙也抽到难题签的概率;
(3)求甲和乙都抽到难题签的概率.
解 设事件A表示“甲抽到难题签”,事件B表示“乙抽到难题签”.
(1)甲抽到难题签的概率
(2)若甲抽到难题签,则乙也抽到难题签的概率为
(3)甲和乙都抽到难题签的概率为
探究点二 全概率公式
【例2】 [人教A版教材习题]现有12道四选一的单选题,学生张君对其中9道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题,求他做对该题的概率.
变式训练2从5件正品、2件次品中不放回地取出2件,则第二次取出正品的概率是 .
探究点三 贝叶斯公式
【例3】 [人教A版教材例题]有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
解 设B表示“任取一个零件为次品”,Ai表示“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.
根据题意得P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,
P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.
(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) =0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5.
(2)“如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.
规律方法 贝叶斯公式的理解
(1)贝叶斯公式可以看作是全概率公式和条件概率公式的综合应用.
(2)贝叶斯公式可用于责任承担的评估,像例题中计算得到3号车床的责任份额最大.
变式训练3[人教A版教材习题]在A,B,C三个地区暴发了流感,这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8,现从这三个地区中任意选取一个人.
(1)求这个人患流感的概率;
(2)如果此人患流感,求此人选自A地区的概率.
解 设A表示“选取的人患流感”,用B1,B2,B3分别表示“选取的人来自A,B,C
地区”,
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1
2
3
4
1.[2023黑龙江尚志高二阶段练习]两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍,现任取一零件,则它是合格品的概率为
( )
A.0.21 B.0.06 C.0.94 D.0.95
D
解析 令B表示“取到的零件为合格品”,Ai表示“零件为第i台机床的产品”,i=1,2.由全概率公式得P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=
×0.96+ ×0.93=0.95.故选D.
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2.[北师大版教材习题]袋中有3个黑球和2个白球,这5个球除颜色外完全相同.每次从中取出一球,取后放回.设事件A表示“第一次取出白球”,B表示
“第二次取出白球,”则P(B|A)= ,P(AB)= .
1
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3.在一只布袋中有形状大小一样的32颗棋子,其中有16颗红棋子,16颗绿棋子.某人无放回地依次从中摸出1颗棋子,则第1次摸出红棋子,第2次摸出绿
棋子的概率是 .
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4.[人教A版教材习题]袋子中有10个大小相同的小球,其中7个白球,3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.求:
(1)在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到白球的概率;
(2)两次都摸到白球的概率. (共46张PPT)
第四章
4.2.3 二项分布与超几何分布
基础落实·必备知识全过关
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目录索引
课程标准 1.理解n次独立重复试验的模型,掌握二项分布,并能利用它们解决一些简单的实际问题.
2.理解超几何分布的意义,能够利用超几何分布的概率公式解决实际问题.
3.通过本节的学习,体会模型化思想在解决问题中的作用,感受概率在生活中的作用,提高数学应用能力.
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知识点一 n次独立重复试验与二项分布
1.n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时,人们总是约定这n次试验是相互独立的,此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
2.二项分布
一般地,如果一次伯努利试验中,出现“成功”的概率为p,记q=1-p,且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X,则X的取值范围是{0,1,…,k,…,n},而且P(X=k)= ,k=0,1,…,n.
因此X的分布列如下表所示.
上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式
中对应项的值,因此称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~ .
B(n,p)
名师点睛
1.二项分布是n次独立重复试验在k取遍0,1,2,…,n各种情况下的一个分布列.
2.在X~B(n,p)中,X可以取0,1,2,…,n中的任意值,而在n次独立重复试验中,X却是一个具体结果;注意掌握表示符号n,p的具体含义,并习惯用符号表示具体的分布列.
3.两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况.
过关自诊
1.设随机变量X~B(6, ),则P(X=3)等于( )
A
2.某电子管的正品率为 ,次品率为 ,现对该批电子管进行测试,那么在三次测试中恰有一次测到正品的概率是( )
C
知识点二 超几何分布
1.定义
一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(Mt=n-(N-M)),而且P(X=k)= ,k=t,t+1,…,s,这里的X称为服从参
数N,n,M的超几何分布,记作X~ .
H(N,n,M)
2.超几何分布列
如果X~H(N,n,M)且n+M-N≤0,则X能取所有不大于s的自然数,此时X的分布列如下表所示.
名师点睛
判断一个随机变量是否服从超几何分布,应看三点:
(1)总体是否可分为两类明确的对象.
(2)是否为不放回抽样.
(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.
过关自诊
1.[2023福建漳州高二期中]盒中有4个白球,5个红球,从中任取3个球,则恰好取出2个红球的概率是( )
C
解析 设取出红球的个数为X,则X~H(9,3,5),
2.有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则P(X≤1)等于( )
B
重难探究·能力素养全提升
探究点一 n次独立重复试验概率的求法
【例1】 [人教A版教材例题]将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,求:
(1)恰好出现5次正面朝上的概率;
(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内的概率.
解 设A=“正面朝上”,则P(A)=0.5.用X表示事件A发生的次数,则X~B(10,0.5).
(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5,于是
(2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6,于是
规律方法 n次独立重复试验概率求法的三个步骤
(1)判断:依据n次独立重复试验的特征,判断所给试验是否为独立重复试验;
(2)分拆:判断所求事件是否需要拆分;
(3)计算:就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.
变式训练1某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了8次球,求下列事件的概率:(1)恰有4次投中的概率为 ;(2)至少有4次投中的概率为
;(3)至多有4次投中的概率为 .(结果保留三位小数)
0.136
0.942
0.194
解析 (1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了8次球,恰有4次投中的概率为
(2)至少有4次投中的概率为
(3)至多有4次投中的概率为
探究点二 二项分布
【例2】 某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为 ,复审能通过的概率为 ,各专家评审的结果相互独立.
(1)求某应聘人员被录用的概率;
(2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列.
解 设“两位专家都同意通过”为事件A,“只有一位专家同意通过”为事件B,“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D,则D=A∪(BC),
所以X的分布列为
规律方法 1.当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p.
2.解决二项分布问题的关键
对于公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式.
变式训练2为增强学生体质,某学校组织体育社团,某班级有4人积极报名参加篮球和足球社团,每人只能从两个社团中选择其中一个社团,大家约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个社团,掷出点数为5或6的人参加篮球社团,掷出点数小于5的人参加足球社团.
(1)求这4人中恰有1人参加篮球社团的概率;
(2)用ξ,η分别表示这4人中参加篮球社团和足球社团的人数,记随机变量X为ξ和η之差的绝对值,求随机变量X的分布列.
探究点三 超几何分布
【例3】 老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的6篇,求:
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;
(2)他能及格的概率.
规律方法 求超几何分布列的步骤
(1)验证随机变量是否服从超几何分布,并确定参数N,M,n;
(2)确定X的所有可能取值;
(3)利用超几何分布公式计算P(X=k);
(4)写出分布列(用表格或式子表示).
变式训练3在箱子中有10个小球,其中有3个红球,3个白球,4个黑球.从这10个球中任取3个.求:
(1)取出的3个球中红球的个数X的分布列;
(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率.
解 (1)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,且X服从参数为N=10,M=3,n=3的超几何分布,
故X的分布列为
(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A,“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1,“恰好取出2个红球”为事件A2,“恰好取出3个红球”为事件A3,
由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1+A2+A3,
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为
探究点四 概率的综合应用
【例4】 甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中3人答对的概率分别为 ,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分.
(1)求随机变量ξ的分布列;
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB).
所以ξ的分布列为
(2)用C表示“甲队得2分,乙队得1分”这一事件,用D表示“甲队得3分,乙队得0分”这一事件,所以AB=C∪D,且C,D互斥,
变式探究 在本例条件下,试求事件“甲、乙两队总得分之和大于4”的概率.
解 用E表示“甲、乙两队总得分之和大于4”这一事件,包括“总得分之和等于5”与“总得分之和等于6”.
变式训练4某学校为了解学生课后进行体育运动的情况,对该校学生进行简单随机抽样,获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如表,其中运动时间在(7,11]的学生称为运动达人.
分组区间(单位:小时) (1,3] (3,5] (5,7] (7,9] (9,11]
人数 1 3 4 7 5
(1)从上述抽取的学生中任取2人,设X为运动达人的人数,求X的分布列;
(2)以频率估计概率,从该校学生中任取2人,设Y为运动达人的人数,求Y的分布列.
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1
2
3
4
1.某校团委决定举办“鉴史知来”读书活动,经过选拔,共10名同学的作品被选为优秀作品,其中高一年级5名同学,高二年级5名同学,现从这10个优秀作品中随机抽7个,则高二年级5名同学的作品全被抽出的概率为( )
A
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3
4
1
2
3
4
3.某处有水龙头3个,调查表明每个水龙头被打开的可能性是0.1,随机变量X表示同时被打开的水龙头的个数,则P(X=2)= .(用数字作答)
0.027
解析 由于每个龙头被打开的概率为0.1,根据二项分布概率计算公式有P(X=2)= ×(0.1)2×0.9=0.027.
1
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4.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
(1)求ξ的分布列;
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
1
2
3
4(共35张PPT)
第四章
4.3.2 独立性检验
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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目录索引
课程标准 1.通过对典型案例的探究,了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用.
2.通过对数据的收集、整理和分析,增强学生的社会实践能力,培养学生分析问题、解决问题的能力.
基础落实·必备知识全过关
知识点 独立性检验
1.如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下:
事件 事件 总计
A B a b a+b
c d c+d
总计 a+c b+d a+b+c+d
记n=a+b+c+d.统计学中有一个非常有用的统计量χ2(读作“卡方”).它的表达式是
2.任意给定一个α(称为显著性水平,通常取为0.05,0.01等),可以找到满足条件P(χ2≥k)=α的数k(称为显著性水平α对应的分位数).χ2是一个随机变量,其分布能够求出,上面的概率是可以计算的.因此,如果根据样本数据算出χ2的值后,发现χ2≥k成立,就称在犯错误的概率不超过 的前提下,可以认为A与B不独立(也称为A与B有关);或说有 的把握认为A与B有关.若χ23.A与B独立时,也称为A与B无关.当χ2α
1-α
1-α
4.独立性的判断方法
(1)当χ2<2.706时,没有90%的把握判定变量A,B有关联;
(2)当χ2≥2.706时,有90%的把握判定变量A,B有关联;
(3)当χ2≥3.841时,有 的把握判定变量A,B有关联;
(4)当χ2≥6.635时,有 的把握判定变量A,B有关联.
95%
99%
名师点睛
独立性检验的思想来自统计上的假设检验思想,它与反证法类似,假设检验和反证法都是先假设不成立,然后根据是否能推出“矛盾”来判断假设是否成立,但二者“矛盾”的含义不同,反证法中的“矛盾”是指不符合逻辑的事件发生,而假设检验中的“矛盾”是指不符合逻辑的小概率事件发生.小概率事件在一次试验中通常是不会发生的,如果在假设“两个变量无关系”的前提下这个小概率事件发生,这只能说明假设不成立,所以认为原结论在很大程度上是成立的.
过关自诊
1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)
(1)χ2的大小是判断事件A与B是否相关的统计量.( )
(2)当χ2≥3.841时,有95%的把握认为事件A与B有关.( )
√
根据独立性检验意义可知.
由显著性水平α与它的分位数k的对应表可得.
√
2.[2023广西河池高二期末]为了了解中学生近视情况,通过调查得知某校150名男生中有80名近视,140名女生中有70名近视,在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时,下列方法中最有说服力的是( )
A.平均数 B.方差
C.回归分析 D.独立性检验
D
3.通过随机调查110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
是否爱好 性别 总计
男 女 爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
则正确的结论是( )
A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,
认为爱好该项运动与性别有关
B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为爱好该项运动与性别无关
C.有99%以上的把握认为爱好该项运动与性别有关
D.有99%以上的把握认为爱好该项运动与性别无关
C
解析 根据独立性检验的思想方法,正确选项为C.
4.下面2×2列联表的χ2的值为 .
是否A 是否B 总计
B A 8 4 12
2 16 18
总计 10 20 30
10
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探究点一 由χ2进行独立性检验
【例1】 [北师大版教材例题改编]某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查,调查者随机调查了146名青年,给出了调查的结果
(单位:人):
性别 喜爱古典音乐情况 喜爱 不喜爱
男 46 30
女 20 50
是否有99%的把握认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关
解 由题意,列出性别与喜爱古典音乐的2×2列联表如下:
性别 喜爱古典音乐情况 总计
喜爱 不喜爱 男 46 30 76
女 20 50 70
总计 66 80 146
又因为1-99%=1%,而且查表可得P(χ2≥6.635)=0.01,
由于15.021>6.635,所以有99%的把握认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关.
规律方法 1.利用χ2进行独立性检验的步骤
(1)列表:列出2×2列联表;
(2)求值:求出χ2;
(3)判断:与临界值比较,作出判断.
2.独立性检验的必要性
列联表中的数据是样本数据,它只是总体的代表,它具有随机性,所以只能利用列联表的数据粗略判断两个分类变量是否有关系.而χ2给出了不同样本容量的数据的统一评判标准.利用它能精确判断两个分类变量是否有关系的可靠程度.
变式训练1为了解青少年的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名青少年进行调查,得到如下列联表:
是否肥胖 是否常喝碳酸饮料 总计
常喝 不常喝 肥胖 2
不肥胖 18
总计 30
已知从这30名青少年中随机抽取1名,抽到肥胖青少年的概率为
(1)请将列联表补充完整;
(2)是否有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关
解 (1)设常喝碳酸饮料且肥胖的青少年人数为x,则 ,解得x=6,
列联表如下.
是否肥胖 是否常喝碳酸饮料 总计
常喝 不常喝 肥胖 6 2 8
不肥胖 4 18 22
总计 10 20 30
(2)由(1)中列联表中的数据可求得χ2= ≈8.523>7.879,
因此有99.5%的把握认为青少年的肥胖与常喝碳酸饮料有关.
探究点二 独立性检验与统计的综合应用
【例2】 为了解感染呼吸系统疾病与工作场所是否有关,现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康情况,得到2×2列联表如下:
呼吸系统疾病 工作场所 总计
室外工作 室内工作 有 150
无 100
总计 200
(1)补全2×2列联表;
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关
(3)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个总体,从中随机地抽取两人,求两人都有呼吸系统疾病的概率.
解 (1)列联表如下:
呼吸系统疾病 工作场所 总计
室外工作 室内工作 有 150 200 350
无 50 100 150
总计 200 300 500
所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.
(3)采用分层抽样从室内工作的居民中抽取6名,其中有呼吸系统疾病的抽4人,无呼吸系统疾病的抽2人,设A为“从中随机地抽取两人,两人都有呼吸系统疾病”,则
规律方法 1.独立性检验在实际中有着广泛的应用,是对实际生活中数据进行分析的一种方法,通过这种分析得出的结论对实际生活或者生产都有一定的指导作用.
2.近几年高考中较少单独考查独立性检验,经常与统计、概率等知识综合,频率分布表、频率分布直方图与独立性检验融合在一起是常见的考查形式,一般需要根据条件列出2×2列联表,计算χ2,从而解决问题.
变式训练2某疫苗进行安全性临床试验.该疫苗安全性的一个重要指标是:注射疫苗后人体血液中的高铁血红蛋白(MetHb)的含量(以下简称为“M含量”)不超过1%,则为阴性,认为被测试者没有出现血症.若一批被测试者的M含量平均数不超
过0.65%,出现血症的被测试者的比例不超过5%,同时满足这两个条件则认为该疫苗在M含量指标上是“安全的”;否则为“不安全”.现有男、女志愿者各200名接受了该疫苗注射.数据整理后制得频率分布直方图如图.(注:在频率分布直方图中,同一组数据用该区间的中点值作代表.)
(1)请说明该疫苗在M含量指标上的安全性;
(2)按照性别分层抽样,随机抽取50名志愿者进行M含量的检测,其中女性志愿者被检测出阳性的恰好1人.请利用样本估计总体的思想,完成这400名志愿者的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为注射该疫苗后,高铁血红蛋白血症与性别有关.
M含量 性别 总计
男 女 阳性
阴性
总计
α=P(χ2≥k) 0.05 0.01 0.001
k 3.841 6.635 10.828
解 (1)由频率分布直方图,得M含量数据落在区间(1.0,1.2]上的频率为0.15×0.2=0.03,
故出现血症的被测试者比例为3%<5%.
由直方图得M含量平均数=0.3×0.2+0.5×0.3+0.7×0.3+0.9×0.17+1.1×0.03=0.606,
即志愿者的M含量的平均数为0.606%<0.65%.
综上,该疫苗在M含量指标上是“安全的”.
(2)依题意得,抽取的50名志愿者中女性志愿者应为25人.
由已知,25名女性志愿者被检测出阳性恰有1人,故女性中阳性的频率为0.04.
所以在全部女性志愿者中,被检测出阳性的共有200×0.04=8人.
由(1)知400名志愿者中,阳性的频率为0.03,
所以阳性的人数共有400×0.03=12(人),
因此男性志愿者被检测出阳性的人数是12-8=4(人).
所以完成表格如下:
M含量 性别 总计
男 女 阳性 4 8 12
阴性 196 192 388
总计 200 200 400
参考表格可得P(χ2≥3.841)=0.05,因为1.375<3.841,
所以没有95%的把握认为注射该疫苗后,高铁血红蛋白血症与性别有关.
成果验收·课堂达标检测
1
2
3
4
1.给出下列实际问题,其中不可以用独立性检验解决的是( )
A.喜欢参加体育锻炼与性别是否有关
B.喝酒者得胃病的概率
C.喜欢喝酒与性别是否有关
D.学习成绩与上网成瘾是否有关
B
解析 独立性检验主要是对随机事件是否有关进行检验,而选项B所描述的是某种条件概率问题.故选B.
1
2
3
4
2.(多选题)为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系,某教研机构随机抽取了50名高中生,通过问卷调查,得到以下数据:
数学成绩 是否选物理 选物理 不选物理
数学成绩优异 20 7
数学成绩一般 10 13
由以上数据,计算得到 ≈4.844,以下说法正确的是( )
参考数据:
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
1
2
3
4
A.有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关
B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为是否选择物理与数学成绩
有关
C.95%的数学成绩优异的同学选择物理
D.若表中的所有数据都扩大为原来的10倍,在其他条件不变的情况下,结论不会发生变化
答案 AB
1
2
3
4
解析 因为4.844>3.841,由表知,P(χ2≥3.841)=0.05,所以有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关,即在犯错误的概率不超过0.05的前提下,可以认为是否选择物理与数学成绩有关;若表中的数据都扩大为原来的10倍,则
≈48.44,又48.44>10.828,故结论发生变化.故选AB.
1
2
3
4
3.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况,具体数据如下表:
性别 是否为统计专业 非统计专业 统计专业
男 13 10
女 7 20
为了判断主修统计专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到
因为4.844>3.841,所以有 的把握认为主修统计专业与性别有关系.
95%
1
2
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4
4.某学生对其30名亲属的饮食习惯进行了一次调查,依据统计所得数据可得到如下的2×2列联表:
亲属年龄 饮食习惯 总计
喜欢吃蔬菜 喜欢吃肉类 50岁以下 q 8 p
50岁以上 16 2 18
总计 m x 30
根据以上列联表中的数据,可得χ2= , (填“有”或“没有”) 99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.
10
有
解析 由列联表可得m=20,x=10,p=12,q=4,
所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关.
1
2
3
4(共35张PPT)
第四章
4.2.4 第二课时 离散型随机变量的方差
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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目录索引
课程标准 1.通过实例,理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义.
2.会求离散型随机变量的方差、标准差.
3.会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点 离散型随机变量的方差
a2D(X)
p(1-p)
np(1-p)
名师点睛
离散型随机变量ξ的期望与方差
过关自诊
1.[人教A版教材习题改编]将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,X表示“正面朝上”出现的次数.则E(X)= ,D(X)= .
2.已知随机变量X,D(X)= ,则X的标准差为 .
2
1
解析 ∵X~B(4,0.5),∴E(X)=4×0.5=2,D(X)=4×0.5×0.5=1.
3.已知X的分布列为
X -1 0 1
P 0.5 0.3 0.2
求D(X).
解 E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3,
D(X)=0.5×(-1+0.3)2+0.3×(0+0.3)2+0.2×(1+0.3)2=0.61.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求随机变量的方差与标准差
【例1】 已知X的分布列如下:
(1)求X2的分布列;
(2)计算X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
(3)因为Y=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.
规律方法 方差的计算方法
方差的计算需要一定的运算能力,注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).
变式训练1[人教A版教材习题]已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P 0.2 0.3 0.4 0.1
求D(X)和σ(2X+7).
(注:σ(X)是指随机变量X的标准差)
解 由题意知E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.4,
∴D(X)=(1-2.4)2×0.2+(2-2.4)2×0.3+(3-2.4)2×0.4+(4-2.4)2×0.1=0.84,
∴D(2X+7)=4D(X)=4×0.84=3.36,
探究点二 两点分布与二项分布的方差
【例2】 设X的分布列为 (k=0,1,2,3,4,5),则D(3X)=( )
A.10 B.30 C.15 D.5
A
变式探究 本例题条件不变,求D(5X+2).
规律方法 求离散型随机变量的均值与方差的关注点
(1)写出离散型随机变量的分布列.
(2)正确应用均值与方差的公式进行计算.
(3)对于二项分布,关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布,然后直接应用公式计算.
变式训练2(多选题)[2023浙江杭州高二期中]某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为 ,出现1的概率为 ,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时
( )
A.X服从二项分布
ABC
探究点三 均值、方差的实际应用
【例3】 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击水平.
解 (1)由题意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2,所以乙射中7环的概率为
1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分别为
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得
E(ξ)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2;
E(η)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7;
D(ξ)=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96;
D(η)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
由于E(ξ)>E(η),D(ξ)稳定,
所以甲比乙的射击水平高.
规律方法 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤
(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高.
(2)在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定.
(3)下结论.依据均值和方差得出结论.
变式训练3甲、乙两种零件某次性能测评的分值ξ,η的分布如下,则性能更稳定的零件是 .
ξ 8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
η 8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
乙
解析 由题意知E(ξ)=8×0.3+9×0.2+10×0.5=9.2,
E(η)=8×0.2+9×0.4+10×0.4=9.2,
所以D(ξ)=0.3×(8-9.2)2+0.2×(9-9.2)2+0.5×(10-9.2)2=0.76,
D(η)=0.2×(8-9.2)2+0.4×(9-9.2)2+0.4×(10-9.2)2=0.56.
因为D(η)成果验收·课堂达标检测
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D
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2.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
B
解析 由题意,得D(X)=np(1-p)=10p(1-p)=2.4,
∴p(1-p)=0.24,解得p=0.4或p=0.6.
即p2>(1-p)2,
∴p>0.5,∴p=0.6(其中p=0.4舍去).
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3.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,则a= ,b= .
X -1 0 1 2
P a b c
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4.学校举行定点投篮比赛,规定每人投篮4次,投中一球得2分,没有投中得0分.假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是 ,小强每次投篮投中的概率都是p(0(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率;
(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望;
(3)小强投篮4次,投中的次数为X,若期望E(X)=1,求p和X的方差D(X).
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所以总得分ξ的分布列为(共29张PPT)
第四章
4.1.3 独立性与条件概率的关系
基础落实·必备知识全过关
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目录索引
课程标准 1.在具体情境中,了解独立性与条件概率的关系.
2.能利用相互独立事件的概率公式解决一些简单的实际问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点 独立性与条件概率的关系
1.事件的相互独立性:一般地,当P(AB)=P(A)P(B)时,就称事件A与B相互独立(简称独立).事件A与B相互独立的直观理解是,事件A是否发生不会影响事件B发生的概率,事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.
2.独立性与条件概率的关系:当P(B)>0且P(AB)=P(A)P(B)时,由条件概率的计算公式有 ,即 .这就是说,此时事件A发生的概率与已知事件B发生时事件A发生的概率相等,也就是事件B的发生,不会影响事件A发生的概率.
类似地,可以看出,如果P(A|B)=P(A),那么一定有P(AB)=P(A)P(B).
因此,当P(B)>0时,A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A).
这也就同时说明,当P(A|B)≠P(A)时,事件B的发生会影响事件A发生的概率,
此时A与B是不独立的.事实上,“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等.
P(A|B)=P(A)
过关自诊
1.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为( )
A.0.28 B.0.12 C.0.42 D.0.16
B
解析 甲未通过的概率为0.3,则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4=0.12.故选B.
2.打靶时,甲每次打靶中靶的概率为 ,乙每次打靶中靶的概率为 ,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是( )
A
A.事件A与B互斥
B.事件A与B对立
C.事件A与B相互独立
D.事件A与B既互斥又相互独立
C
重难探究·能力素养全提升
探究点一 事件独立性的判断
【例1】 [北师大版教材例题]口袋中有4个黑球和3个白球,这7个球除颜色外完全相同,连摸两次,每次摸一球.记事件A表示“第一次摸得黑球”,事件B表示“第二次摸得黑球”.在放回摸球和不放回摸球两种情况下,事件A与事件B是否独立
规律方法 两个事件是否独立的判断
(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)定义法:当P(AB)=P(A)P(B)时,事件A,B独立.
(3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断.
变式训练1把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次,判断下列各组事件是否独立.
(1)A={掷出偶数点},B={掷出奇数点};
(2)A={掷出偶数点},B={掷出3的倍数点};
(3)A={掷出偶数点},B={掷出的点数小于4}.
探究点二 相互独立事件概率的计算
【例2】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求:
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率;
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
解 用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
变式探究 本例条件下,求恰有一列火车正点到达的概率.
规律方法 与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么:
(1)A,B中至少有一个发生为事件A+B.
(2)A,B都发生为事件AB.
(3)A,B都不发生为事件
(4)A,B恰有一个发生为事件
(5)A,B中至多有一个发生为事件
它们之间的概率关系如表所示:
变式训练2[北师大版教材例题]a,b,c三类不同的元件连接成两个系统N1,N2.当元件a,b,c都正常工作时,系统N1正常工作;当元件a正常工作且元件b,c至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件a,b,c正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.
(1)求系统N1正常工作的概率P1;
(2)求系统N2正常工作的概率P2.
解 设事件A表示“元件a正常工作”,事件B表示“元件b正常工作”,事件C表示“元件c正常工作”.
(1)依题意知P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648.
故系统N1正常工作的概率为0.648.
(2)依题意知P2=P(A)P(B)P( )+P(A)P( )P(C)+P(A)P(B)P(C)
=0.80×0.90×0.10+0.80×0.10×0.90+0.80×0.90×0.90=0.792.
故系统N2正常工作的概率为0.792.
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1.掷一枚硬币两次,记事件A表示“第一次出现正面”,B表示“第二次出现反面”,则有( )
A.A与B相互独立 B.P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.A与B互斥 D.P(AB)=
A
解析 事件A的发生与否对事件B的发生没有影响,故A正确;由于A与B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,故B,C错误;对于选项D,因为A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)= ,所以D错误.
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2.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为 ,两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( )
C
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C
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4.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率都为0.5,购买乙种商品的概率都为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的,求:
(1)进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率;
(2)进入商场的1位顾客,购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(3)进入商场的1位顾客,至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率.
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解 记事件A表示“进入商场的1位顾客购买甲种商品”,
则P(A)=0.5;
记事件B表示“进入商场的1位顾客购买乙种商品”,则P(B)=0.6;
记事件C表示“进入商场的1位顾客,甲、乙两种商品都购买”;
记事件D表示“进入商场的1位顾客,购买甲、乙两种商品中的一种”;
记事件E表示“进入商场的1位顾客,至少购买甲、乙两种商品中的一种”.
(1)易知P(C)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.(共60张PPT)
第四章
4.3.1 一元线性回归模型
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
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目录索引
课程标准 1.能通过收集现实问题中两个有关联的变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.
2.能根据给出的回归直线方程系数公式建立回归直线方程.
3.能通过相关性检验,了解回归分析的基本思想与方法.
4.理解非线性回归问题,并能找出解决问题的一般思路.
基础落实·必备知识全过关
知识点一 相关关系
1.变量之间的常见关系
分类 概念
函数关系 两个变量之间的关系可以用函数表示.如圆的面积与半径之间的关系,就可以用函数S=πr2表示
相关关系 如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取值带有一定的随机性,那么这两个变量之间的关系,称为相关关系
不相关 两个变量间没有任何关系
2.散点图
(1)在讨论两个变量x和y之间的关系时,常把它们写成点(x,y)的形式,以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系,此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的特征量.
(2)将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫散点图.
3.线性相关关系
(1)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量x与变量y之间的关系可以近似地用 来刻画,则称x与y线性相关.
(2)正相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上也 ,则称这两个变量正相关.
(3)负相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上 ,则称这两个变量负相关.
一次函数
增大
减少
名师点睛
两个随机变量x和y相关关系的判定方法
(1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断.
(2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断.
(3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.
过关自诊
5个学生的数学成绩和物理成绩如下表:
科目 A B C D E
数学 80 75 70 65 60
物理 70 66 65 64 62
则数学成绩与物理成绩之间( )
A.是函数关系 B.没有相关关系
C.具有相关关系,且是正相关 D.具有相关关系,且是负相关
C
解析 作出散点图(图略),从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有相关关系,且是正相关.
知识点二 回归直线方程
1.回归直线方程
2.最小二乘法确定回归直线方程
其中, 称为 .它实际上也就是回归直线方程的斜率.
回归系数
3.回归直线方程的性质
(1)回归直线一定过点 .
(2)回归直线方程 , 时,y与x正相关; 时,y与x负相关.
名师点睛
求回归直线方程的步骤
第一步:列表;
第四步:写出回归直线方程.
过关自诊
1.已知x,y的取值如下表所示:
x 2 3 4
y 6 4 5
A
B
知识点三 相关系数
1.相关系数r的计算公式
假设两个随机变量的数据分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则变量间相关系数r的计算公式如下:
2.相关系数r的性质
(1)|r|≤1,且y与x正相关的充要条件是r>0,y与x负相关的充要条件是r<0.
(2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越
大,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值.
(3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.
名师点睛
1.相关系数r只能描述两个变量之间的变化方向的密切程度,不能揭示二者之间的本质联系.
2.判断变量之间的线性相关关系,一般用散点图,但在作图时,由于存在误差,有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近,从而很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系,此时一般利用线性相关系数来判断.
3.相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度,明确有无必要建立两变量间的回归直线方程.
4.相关系数r与回归系数 同号.
过关自诊
已知变量x与y之间的线性相关系数r1=0.785 9,变量u与v之间的线性相关系数r2=-0.956 8,则下列判断正确的是( )
A.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量x与y的线性相关性较强
B.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量x与y的线性相关性较强
C.变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量u与v的线性相关性较强
D.变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量u与v的线性相关性较强
C
解析 由线性相关系数r1=0.785 9>0知x与y正相关,
由线性相关系数r2=-0.956 8<0知u与v负相关,
又|r1|<|r2|,所以变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强,故选C.
知识点四 非线性回归
常见的非线性回归模型转化为线性回归模型
名师点睛
解决非线性回归问题的方法及步骤
(1)确定变量:确定变量x,变量y.
(2)画散点图:通过观察散点图并与学过的函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数)作比较,选取拟合效果好的函数模型.
(3)变量置换:通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题.
(4)分析拟合效果:通过计算相关系数等来判断拟合效果.
(5)写出非线性回归方程.
过关自诊
两个变量x,y的散点图如图,可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是
( )
A.y=a·xb
B.y=a·eb
C.y=a+bln x
D.
C
解析 由散点图可知,此曲线类似对数函数型曲线,因此可用函数y=a+bln x模型进行拟合,而选项A,B,D中函数模型不符合散点图.故选C.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 相关关系的判断
【例1】 (1)下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系( )
A.正方体的棱长和体积
B.圆半径和圆的面积
C.正n边形的边数和内角度数之和
D.人的年龄和身高
D
解析 A,B,C都是函数关系.而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高.故选D.
(2)对变量x,y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图①;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图②.由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y正相关,u与v正相关
B.变量x与y正相关,u与v负相关
C.变量x与y负相关,u与v正相关
D.变量x与y负相关,u与v负相关
C
解析 由图象知,变量x与y负相关;u与v正相关.
规律方法
变式训练1(1)某公司2017—2022年的年利润x(单位:百万元)与年广告支出y(单位:百万元)的统计资料如下表所示:
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
利润x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3
支出y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11
根据统计资料,则( )
A.利润中位数是16,x与y有正线性相关关系
B.利润中位数是18,x与y有负线性相关关系
C.利润中位数是17,x与y有正线性相关关系
D.利润中位数是17,x与y有负线性相关关系
C
解析 由表知,利润中位数是 ×(16+18)=17,且y随x的增大而增大,故选C.
(2)变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).用r1表示变量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则下列正确的是( )
A.r2C.r2<0C
解析 作出散点图(图略)可知,r1>0,r2<0,则r1与r2的大小关系是r2<0探究点二 求回归直线方程并对总体进行估计
【例2】 下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对照数据:
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
(1)请根据上表数据画出散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出回归直线方程
(3)已知该厂技术改进前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的回归直线方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改进前降低多少吨标准煤
解 (1)散点图,如图所示:
(3)根据回归直线方程的预测,现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100+0.35=70.35(吨),
故降低了90-70.35=19.65吨标准煤.
规律方法 回归分析的三个步骤
(1)判断两个变量是否线性相关:可以利用经验,也可以画散点图;
(2)求回归直线方程,注意运算的正确性;
(3)根据回归直线方程进行预测估计,估计值不是实际值,两者会有一定的误差.
【例3】 已知某地平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)与平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)之间的关系如下表:
年份 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
x/kg 70 74 80 78 85 92 90 95
y/t 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
x/kg 92 108 115 123 130 138 145
y/t 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0
(1)求y与x之间的相关系数,并判断它们是否线性相关;
(2)若y与x线性相关,求平均每单位面积蔬菜年产量y(单位:t)与平均每单位面积菜地年使用氮肥量x(单位:kg)之间的回归直线方程,并估计平均每单位面积菜地年施氮肥150 kg时,平均每单位面积蔬菜的年产量.
解 (1)根据题中数据,并用科学计算器进行有关计算,列表如下:
i 1 2 3 4 5 6 7 8
xi 70 74 80 78 85 92 90 95
yi 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0
xiyi 357 444 544 608.4 765 938.4 900 1 140
i 9 10 11 12 13 14 15
xi 92 108 115 123 130 138 145
yi 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0
xiyi 1 058 1 188 1 357 1 500.6 1 625 1 766.4 1 885
这说明平均每单位面积蔬菜年产量与平均每单位面积菜地年使用氮肥量之间存在着很强的线性相关关系.
规律方法 回归分析问题的答题模板
第一步:由已知数据求出相关系数r.
第二步:通过与r的临界值比较大小,判断y与x是否线性相关.
第三步:计算 ,求出回归直线方程.
第四步:利用回归方程进行预测.
变式训练2某地区某农产品近几年的产量统计如表:
年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年份代码t 1 2 3 4 5 6
年产量y(万吨) 6.6 6.7 7 7.1 7.2 7.4
(1)根据表中数据,求y关于t的回归直线方程;
(2)根据回归直线方程预测2023年该地区该农产品的年产量.
探究点三 非线性回归分析
【例4】 下表为收集到的一组数据:
x 21 23 25 27 29 32 35
y 7 11 21 24 66 115 325
(1)作出x与y的散点图,并猜测x与y之间的关系;
(2)求y关于x的回归方程;
(3)利用所得模型,预测x=40时y的值(结果保留整数).
解 (1)作出散点图如图,从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系,根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线y=c1的周围,其中c1,c2为待定的参数.
(2)对 两边取对数把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后的样本点应分布在直线z=bx+a(a=ln c1,b=c2)的周围,这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性回归方程了,数据可以转化为:
x 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
(3)当x=40时,y=e0.272×40-3.849≈1 131.
规律方法 非线性回归问题的处理方法
(1)指数函数型y=ebx+a
①函数y=ebx+a的图象:
②处理方法:两边取对数得ln y=ln ebx+a,即ln y=bx+a.令z=ln y,把原始数据(x,y)转化为(x,z),再根据线性回归模型的方法求出a,b.
(2)对数函数型y=bln x+a
①函数y=bln x+a的图象:
②处理方法:设x'=ln x,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.
(3)y=bx2+a型
处理方法:设x'=x2,原方程可化为y=bx'+a,再根据线性回归模型的方法求出a,b.
变式训练3某公司在市场调查中,发现某产品的单位定价x(单位:万元/吨)对月销售量y(单位:吨)有影响.对不同定价xi和月销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,如下表.
(1)求y关于x的回归方程;
(2)若生产1吨产品的成本为1.6万元,那么预计价格定位多少时,该产品的月利润T(单位:万元)取最大值,求此时的月利润.
∴若生产1吨产品的成本为1.6万元,那么预计价格定位2万元时,该产品的月利润取最大值,最大月利润为0.2万元.
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1.对四组数据进行统计,获得以下散点图,关于其相关系数的比较,正确的是
( )
A.r2C.r4A
解析 由给出的四组数据的散点图可以看出,题图1和题图3是正相关,相关系数大于0,
题图2和题图4是负相关,相关系数小于0,
题图1和题图2的点相对更加集中,所以相关性更强,
所以r1接近于1,r2接近于-1,由此可得r21
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2.(多选题)[2023重庆万州高二期末]关于变量x,y的n个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)及其回归方程. ,下列说法正确的有( )
A.相关系数r的绝对值|r|越接近0,表示x,y的线性相关程度越强
B.相关系数r的绝对值|r|越接近1,表示线性回归方程拟合效果越好
C.残差平方和越大,表示线性回归方程拟合效果越好
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3.(多选题)[2023广东广州番禺高三阶段练习]在研究某种产品的零售价x(单位:元)与销售量y(单位:万件)之间的关系时,根据所得数据得到如下所示的对应表:
x 12 14 16 18 20
y 17 16 14 13 11
利用最小二乘法计算数据,得到的回归直线方程为 ,则下列说法中正确的是( )
A.x与y的样本相关系数r>0
B.回归直线必过点(16,14.2)
C. <0
D.若该产品的零售价定为22元,可预测销售量是9.7万件
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4.如图有5组数据,去掉点 后,剩下的4组数据的线性相关性更强.
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5.对具有线性相关关系的变量x和y,测得一组数据如下表:
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
若已求得它们的回归直线的斜率为6.5,求回归直线方程.(共43张PPT)
第四章
4.2.4 第一课时 离散型随机变量的均值
基础落实·必备知识全过关
重难探究·能力素养全提升
成果验收·课堂达标检测
目录索引
课程标准 1.理解离散型随机变量的均值的概念.
2.会根据离散型随机变量的分布列求出离散型随机变量的均值.
3.掌握离散型随机变量的均值的性质及两点分布、二项分布和超几何分布的均值公式.
4.能运用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题.
基础落实·必备知识全过关
知识点一 均值
一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.
X x1 x2 … xk … xn
P p1 p2 … pk … pn
则称E(X)= = xipi为离散型随机变量X的均值或
(简称为 ).
x1p1+x2p2+…+xnpn
数学期望
期望
名师点睛
1.均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它刻画的是随机变量取值的平均水平.
2.随机变量的均值与样本平均值的关系:
随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,
它随样本的抽取的不同而变化.对于简单随机抽样,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.随机变量X的均值反映了离散型随机变量的平均水平.
过关自诊
1.判断正误.(正确的打√,错误的打×)
(1)离散型随机变量的均值E(X)是一个随机数值.( )
(2)随机变量的均值相同,则两个分布列也一定相同.( )
×
离散型随机变量的均值是一个常数,它不具有随机性.
两个随机变量的分布相同,则它们的均值一定相同;反之不一定成立.
×
2.已知随机变量X的分布列如下表:
X 0 2 4 6
P 0.1 0.2 m 0.2
则E(X)的值为( )
A.2 B.2.4
C.3.6 D.不确定
C
解析 由分布列的性质可知0.1+0.2+m+0.2=1,解得m=0.5,所以E(X)=0×0.1+2×0.2+4×0.5+6×0.2=3.6.
知识点二 常见的均值
1.若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)= .
2.若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)= .
3.若离散型随机变量X服从参数为N,n,M的超几何分布,即X~H(N,n,M),则E(X)= .
p
np
过关自诊
篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚球不中得0分.某运动员罚球命中的概率为0.7,求他罚球1次的得分X的均值.
解X的可能值为0,1.P(X=0)=1-0.7=0.3,P(X=1)=0.7.故X的分布列为
X 1 0
P 0.7 0.3
所以E(X)=1×0.7+0×0.3=0.7.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 求离散型随机变量的均值
角度1.求离散型随机变量的均值
【例1】 [人教A版教材例题]猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目,猜对每首歌曲的歌名相互独立,猜对三首歌曲A,B,C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1 000 2 000 3 000
规则如下:按照A,B,C的顺序猜,只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
解 分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件,则A,B,C相互独立.
X的分布列如表所示.
X 0 1 000 3 000 6 000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
X的均值为E(X)=0×0.2+1 000×0.32+3 000×0.288+6 000×0.192=2 336.
规律方法 求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值:根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值;
(2)求概率:求X取每个值的概率;
(3)写分布列:写出X的分布列;
(4)求均值:由均值的定义求出E(X).
其中准确写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键.
变式训练1[北师大版教材习题]A,B两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负的概率如下表:
现按表中对阵方式出场,每场胜队得1分,负队得0分,设ξ,η分别表示A队、B队最后所得总分.求:
(1)ξ,η的分布列;(2)E(ξ),E(η).
所以ξ的分布列为
角度2.二项分布、超几何分布的均值
【例2】 2021年我国已经开放三孩政策.为了解适龄民众对放开生三胎政策的态度,某市选取80后作为调查对象,随机调查了10人,其中打算生三胎的有4人,不打算生三胎的有6人.
(1)从这10人中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值;
(2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率作为概率,从该市80后中随机抽取3人,记打算生三胎的人数为η,求随机变量η的分布列和均值.
规律方法 求常见的几种分布的均值的关注点
(1)关键:根据题意准确判断分布类型.
(2)计算:若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布,可直接代入公式求得均值.
变式训练2某篮球运动员投篮的命中率为0.7,现投了6次球.
(1)求恰有4次命中的概率;
(2)求至多有4次命中的概率;
(3)设命中的次数为X,求E(X).
解 (1)某篮球运动员投篮的命中率为0.7,则未命中的概率为1-0.7=0.3,
现投了6次球,恰有4次投中的概率为P= ×(0.7)4×(1-0.7)2=0.324 135.
(2)至多有4次投中的概率为
=0.579 825.
(3)由题意可知X~B(6,0.7),所以E(X)=6×0.7=4.2.
探究点二 离散型随机变量均值的性质
【例3】 已知随机变量X的分布列为
若Y=-2X,则E(Y)= .
变式探究 本例条件不变,若Y=2X-3,求E(Y).
规律方法 与离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路
若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b(a≠0),a,b为常数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,由X的取值计算ξ的取值,求出对应的概率,再由定义法求得E(ξ).
探究点三 均值的实际应用
【例4】 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);
(2)求η的分布列及均值E(η).
解 (1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知,
表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.
P( )=(1-0.4)3=0.216,
P(A)=1-P( )=1-0.216=0.784.
(2)η的可能取值为200元,250元,300元.
P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,
P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2.
因此η的分布列为
E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240.
η 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
规律方法 1.实际问题中的均值问题
均值在实际中有着广泛的应用,如体育比赛的安排和成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益等,都可以通过随机变量的均值来进行估计.
2.概率模型的解答步骤
(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.
(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值.
(3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.
变式训练3[北师大版教材例题]根据气象预报,某地区近期暴发小洪水的概率为0.25,暴发大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,为保护设备,有以下3种方案:
方案1:运走设备,搬运费为3 800元.
方案2:建一保护围墙,建设费为2 000元,但围墙只能防小洪水.
方案3:不采取措施,希望不发生洪水,此时遇到大洪水时要损失60 000元,遇到小洪水时要损失10 000元.
你会选择哪一种方案呢
解 用X1,X2和X3分别表示3种方案的损失.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3 800元,即X1=3 800,
故E(X1)=3 800(元).
采用方案2,遇到大洪水时,损失2 000+60 000=62 000(元);没有大洪水时,损失2 000元.
因此,E(X2)=62 000×0.01+2 000×(1-0.01)=2 600(元).
采用方案3,遇到大洪水时,损失60 000元;遇到小洪水时,损失10 000元;无洪水时,损失0元.因此,E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×(1-0.01-0.25)
=3 100(元).
由此可见,平均而言方案2的损失最小,可供选择.
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1.已知随机变量X的分布列如下表,随机变量X的数学期望E(X)=1,则x的值为( )
X 0 1 2
P 0.4 x y
A.0.3 B.0.24 C.0.4 D.0.2
D
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2.某射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目X的数学期望为( )
A.2.44 B.3.376
C.2.376 D.2.4
C
解析 X的可能取值为3,2,1,0,P(X=3)=0.6;
P(X=2)=0.4×0.6=0.24;
P(X=1)=0.42×0.6=0.096;
P(X=0)=0.43=0.064.
所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376.
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3.(多选题)[2023广东汕头高二阶段练习]一个袋中装有除颜色外其余完全相同的6个黑球和4个白球,现从中任取4个小球,设取出的4个小球中白球的个数为X,则( )
A.随机变量X服从二项分布
B.随机变量X服从超几何分布
C.P(X=2)=
D.E(X)=
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4.已知X的分布列为
设Y=2X+1,则Y的数学期望E(Y)的值是 .
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5.某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样.购买一瓶,若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.
(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;
(2)求中奖人数ξ的分布列及均值E(ξ).
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所以中奖人数ξ的分布列为