6.2.1 立方根 (教案）

初中数学优秀教学资源评选
教案设计
课题 6.2 立方根
姓名 付美玲
学校 合浦县山口中学
初中数学优秀教学资源评选教案设计
一、教案背景1.面向学生： √中学 □小学 2.学科：数学3.课时：14.学生课前准备：课前预习
二、教学课题人教版6.2立方根（第一课时）
三、教材分析（一）内容解析 数是数学最基本的研究对象，随着人类的生 ( http: / / www.21cnjy.com )产和生活活动的发展进步，对数的认识是在不断地加深和完善的.七年级上册学生经历了从自然数和分数到有理数的递进，本章在有理数的基础上，通过研究平方、立方运算的逆运算引入了新的运算——开平方和开立方运算，以及由开方运算产生的新数——无理数，从而将数的范围扩充到实数范围.本章主要内容是算术平方根、平方根、立方根的 ( http: / / www.21cnjy.com )概念和求法、实数的有关概念和求法.本章的重点是算术平方根和平方根的概念和求法，它们是理解立方根的概念和求法、实数的有关概念和运算的基础. 本章内容不多，篇幅也不大，但是在数学中占有重要地位，不仅是初中阶段学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也是高中数学内容的基础.“立方根”是这一章的第二节内容，是在学生已经了解了算术平方根、平方根的概念及求法之后，对方根的进一步研究.学习立方根的意义在于：（1）它有着广泛应用，因为空间形体都是三维的，有关体积的计算经常涉及开立方的问题.（2）立方根是奇次方根的特例，就像平方根是偶次方根的特例一样，立方根对进一步研究奇次方根的性质具有典型代表意义，同时，也能丰富学生对无理数的认识. 本节课是“立方根”的第一课时，其核心是立 ( http: / / www.21cnjy.com )方根的概念、求法和特征，主要涉及三个重要的问题，一是如何给“立方根”下定义，“平方根”与“立方根”是隶属于“方根”不同的两种概念，学生虽然已经了解了平方根的概念，但是让学生再次经历“方根”概念的形成过程，了解类似的定义方式，有助于学生形成数学思维方式.二是通过立方运算求一个数的立方根，体会转化这一数学思想在求一个数的方根中的作用.三是通过求一些数的立方根，归纳概括立方根的特征.由于本章前两节“平方根”“立方根”在内容上基本是平行的，知识的展开顺序基本相同，因此可以充分利用类比的方法：类比平方根概念的引入方式给出立方根的概念，类比开平方运算给出开立方运算，类比平方与开平方运算的互逆关系研究立方与开立方运算的互逆关系等，通过类比旧知识学习新知识，使学生的学习形成知识的迁移.教学重点：立方根的概念、求法和性质．（二） 目标和目标解析 1．目标（1）了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根（2）了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根（3）体会一个数的立方根的唯一性， 分清一个数的立方根与平方根的区别（4）使学生理解“两个互为相反数”的立方根的关系，即（5）渗透“特殊--- 一般”的特殊的思想方法 2．目标解析（1）通过已知正方体体积求边长这类典型问题，认识到这是一个已知一个数的立方，求这个数是多少的问题，从而抽象出立方根、开立方等概念.（2）类比平方运算与开平方 ( http: / / www.21cnjy.com )运算的互逆关系，探讨立方运算与开立方运算的互逆关系；利用立方与开立方的互逆关系求数的立方根，体会转化思想，并形成开立方运算的经验.（3）通过一个探究问题：分析正数、负数 ( http: / / www.21cnjy.com )和0的立方根的特点，进而归纳得出立方根的特征.通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，由此将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.（4）由于“平方根”“立方根”在内容上基本是平行的，因此学习本节课可以充分利用类比的方法.
四、教学问题诊断分析 学生虽然已了解平方根的概念，但由 ( http: / / www.21cnjy.com )于是第一次接触立方根，并且七年级的学生尚处于感性认识向理性认识的过渡期，很难从本质上理解其含义，因此，教学中要密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析生活实际中的实例，在学生具有了充分的感性认识的基础上引入概念.求一个数的立方根需要转化为立方运算 ( http: / / www.21cnjy.com )，这两种运算的互逆过程对七年级的学生来说，理解并且会用有一定的困难.数学思想方法隐含在数学知识体系里，学生领悟这些思想方法需要一个循序渐进的过程，所以我们要寓数学思想方法于平日的教学中.教学难点：立方根概念的抽象、求一个数的立方根及领悟到数学学习过程中的思想方法.
五、教学支持条件分析根据本节课教学内容的特 ( http: / / www.21cnjy.com )点，采用以探究发现为主，PPT课件为辅的教学组织方式.在教学过程中，通过设置带有启发性和思考性的问题串，创设问题情境，启发学生思考.
六、教学过程设计（一）复习巩固问题 ( http: / / www.21cnjy.com )1：什么是平方根？什么是算术平方根？问题2：正数的平方根有几个？0的呢？负数的呢？问题3：平方和开平方有什么联系？预设：生答1：如果一个数的平方等于(），这个数就叫做的平方根，用 表示.平方根里面正的平方根叫做算术平方根. 生答2：正数有2个平方根，0有一个平方根是0，负数没有平方根. 生答3：平方和开平方是互逆的两种运算.（二）创设情境 引出课题课堂上带来一个小朋友爱玩的彩色正方体魔方,经过课余时间测出魔方的体积是1000cm3问题4：如何求出这个魔方的边长呢 预设：生答1：∵103 =1000，∴边长为10cm； 生答2：设边长为x cm,则x3 =1000. ∵ 103 =1000，∴x=10, ∴边长为10cm； 问题5： 如果魔方体积是27cm3、64cm3、200cm3，相应的边长又分别是多少？预设：生答1：∵33 =27，∴边长为3c m 生答2：∵43 =64，∴边长为4 c m ； 生答3：设边长为x cm,则x3 =200，但不知道x是多少.【设计意图】：密切联系了概 ( http: / / www.21cnjy.com )念的现实原型，引导学生分析现实生活中常见的实物实例，使学生在解决实际问题的同时，获得对立方根的感性认识，领会学习立方根的目的和意义，引出立方根.但是在已有的数中找不到一个数的立方等于200，与过去的认知产生了冲突，体现本节课所学知识的必要性.（三）观察感知 形成概念问题6: 上述问题实质上是已知什么，求什么？预设：生答1：已知正方体的体积，求边长； 生答2：已知一个数的立方，求这个数是几； 生答3：已知幂和指数求底数.【设计意图】：数学学习的一个重要过程就是促使学生的经验获得抽象与提升，在经验—数学本质—再回到经验—再上升到数学本质的过程中巡回往复、不断上升.从上述实际问题中抽象出数学问题，可以使学生更好的理解立方根的本质，顺利抽象出数的立方根的概念，培养了学生从具体到抽象的思维能力.问题7：结合平方根的概念你能给立方根和开立方下定义吗 预设：学生能自己给出立方根的定义及什么是开立方.【设计意图】：对有些相近 ( http: / / www.21cnjy.com )或相似关系的概念，我们可以使用类比的方法去研究，所以我们可以借助平方根的概念来实现对立方根概念的理解和建构，学生从中体会到类比这一思想方法.（四）探索新知 归纳特征填空：∵13 =1 ∴1立方根是_____ ；∵（___）3 =8，∴8的立方根是___； ∵（___）3 =0.064 ∴0.064的立方根是___；∵（___）3 = -1 ∴-1的立方根是___； ∵（___）3 = -8 ∴-8的立方根是___；∵（___）3 = - ∴-的立方根是___； ∵（___）3 = 0 ∴0的立方根是___；预设：生答： 1；2，2；0.4，0.4；-1，-1；-2，-2；-，-；0，0【设计意图】：这是书本教材P49的探究 ( http: / / www.21cnjy.com )改编，挑选些常用的简单数字设计，既可以深化理解立方根的概念，同时由于学生已有关于平方运算与开平方运算互逆关系的经验，所以学生能自主建构立方运算与开立方运算的互逆关系，利用开立方和立方互为逆运算的关系，把求一个数的立方根转化为立方运算的问题.同时又得到一个立方根的特征，立方根等于本身的数有1、-1和0一共3个.问题 8 观察上述一些数的立方根，它们有什么特点？你能类比平方根的特征归纳立方根的特征吗？预设：生1: 发现了正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0. 生2：发现了任何数都有唯一的一个立方根；追问1 平方根的表示前面已经掌握了，那么立方根又该如何表示呢？追问2　你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？立方根的表示方法有什么要注意的地方？追问3下列说法对不对？27的立方根是±3； ②的立方根是； ③－5的立方根是； ④ 当x为任何值时,式子都有意义.【设计意图】：为学生类比平方根研究立方 ( http: / / www.21cnjy.com )根提供平台，但它们毕竟是两个不同的概念，区分清楚它们的不同很有必要，同时分析立方根与平方根不同的特征的原因比如任何数的平方都是非负数，而这些经验对今后继续研究偶次方根、奇次方根有着指导作用. 问题9（教材P50页） 探究： 因为所以 因为所以 因为，所以追问：你认为这个等式有何作用？预设：生答：认为这其中存在着某种规律,于是在教师的指导下试图用一个含字母的式子来表示这个规律,式子应该是 = -.这个关系对于任意实数都成立，求负数的立方根可以先求其绝对值的立方根，然后再取它的相反数。【设计意图】：如果能够提供足够数量 ( http: / / www.21cnjy.com )的素材，学生就容易发现规律、产生归纳的心理需求，自发地进行归纳.上述问题，教师给学生提供足够的动笔机会，教师保持缄默，及时巡视、面批、个别辅导，学生先做后说，经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，体会归纳这一数学思想方法.（五）巩固运用 内化新知问题10（教材P50例题示范 ）求下列各式的值： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 【设计意图】：对书本教材稍有改动，在加深对立方根的求法的理解和掌握、运用=-解题的同时由于不能口算出其值,得借助计算器求值,且通过计算器检验知是一个无限不循环小数即无理数,用计算器计算知=-≈-4.64是一个近似数.同时还可结合教材P51页的探究，教会学生如何使用计算器去求一些立方根是无理数的近似值.也发现了当被开方数的小数点向右或者向左移动3位，则立方根的小数点就相应的向右或者向左移动1位.问题11 比较3,，4的大小.【设计意图】：把整数与立方根放在一起比较，考察学生的变通思维，明显是一个无理数，则需要把整数3,4都转换为立方根的形式，再去比较被开立方的数的大小得出三个数的大小.问题12（教材P51综合运用）要生产一种容积为50L的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少？（用计算器计算，取3.14，结果保留小数点后一位）【设计意图】：呼应开篇引入的“魔方”问题，即数学问题中的立方根问题与实际生活密切相关，让学生再次感受立方根知识的重要性问题13（教材P52页 拓广探索）（1）求，的值.对于任意数，等于多少？（2）求的值.对于任意数，等于多少？【设计意图】：让学生自己通过计算，归纳出=与=这两个运算规律，从而在以后的做题中能运用这个运算律来使计算简便.问题14(能力提升)与平方根、立方根的意义类似,如果xn＝a (n是大于1的整数),那么a就叫做x的n次方 , x就叫做a的n次方根 .请分别求16的四次方根、－32的五次方根;② 请对照数的平方根与立方根的特征,谈谈你对一个数a的n 次方根的( n是大于1的整数)的认识 ③ 要使等式＝－成立,则n与a应满足什么条件 【设计意图】：例题与习题的有效性直接影响 ( http: / / www.21cnjy.com )着课堂教学的高效性.典型的例题和习题反映本节课教学内容的基础知识、基本技能、基本经验和基本方法，不仅具有巩固所学知识的作用，更有优化思维品质的功能，以实现知识向能力的转化.以上这组例、习题层层递进，由简单到复杂、由单一到综合、有具体到抽象，学生在尝试用立方根的概念、性质解决上述问题的过程中，加深了对本节课所学知识的本质理解和掌握，同时体会到研究平方根、立方根方法的价值.（六）归纳小结 感悟提高1、本节课你学到了哪些数学知识？2、感悟到哪些数学思想方法？3、你积累了哪些学习经验和解题经验？你还有哪些困惑？【设计意图】：从知识和方法两个方面创 ( http: / / www.21cnjy.com )设反思情境，让学生对立方根的知识做全面的概括和总结，使学生对本节课的知识有一个系统、全面的认识，对核心思想方法有了更深的体会.学生经历了浓缩知识要点、突出内容本质、反思数学思想方法这一过程，构建了自己的学习经验.4、布置作业1、判断下列说法是否正确(对打√，错打×）：（1）8是512的立方根 ___ （2）±4是64的立方根 ___（3）-2.5是-15.625的立方根 ___ （4）（-3）的立方根是-3 ___ 2、求下列各式的值：（1） （2） （3） （4） （5）3、求下列各式中的x：（1） （2） （3） （七）目标检测设计1.选择题（1）下列各式正确的是（ ）.（A） （B） （C） （D）（2）64的平方根和立方根分别是（ ）.（A）8， （B） （C）， （D）8， 2、填空题（1）-216的立方根是_______； 的立方根是；9的立方根是 ;（2）3、计算：（1） （2） 【设计意图】：设计不同形式的问题，考查学生对本节课所学知识的理解和应用情况，同时可及时了解目标达成情况，从而实现对“教”与“学”的及时反馈.师生共同查缺补漏扬长避短、自我完善.
七、教学反思数学思想方法是对数学的知识内容 ( http: / / www.21cnjy.com )和所使用方法的本质的认识，它是形成数学意识和数学能力的桥梁，是灵活运用数学知识、数学技能和数学方法解决有关问题的灵魂.不管学生将来出社会后从事什么类型的工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法等都随时随地发生作用，使他们受益终身．因此，在概念教学中，我们不仅要在揭示概念的内涵上下功夫，而且还应该追求解决问题的“根本大法”——基本概念所蕴含的思想方法，要从数学思想方法的高度进行概念教学.否则，如果仅仅将数学概念作为一般知识，而忽视数学概念本身所蕴含的思想方法对提高学生数学素质的作用，那么数学教学的价值就显得微乎其微了．