北师大版数学七年级上册 3.5探索与表达规律 课后练习 （含解析）

探索与表达规律
一．选择题
1．按照一定规律排列的式子：，，，，则第7个式子是　　
A． B． C． D．
2．将连续正整数按如图所示的位置顺序排列，根据排列规律，则2023应在　　
A．处 B．处 C．处 D．处
3．有一列按规律排列的数：，9，，81，，729，，则第个数是　　
A． B． C． D．
4．如图所示，将部分偶数依顺序排列成三角形数阵，从上到下称为行．图中数6为第2行、从左向右第2个数；数为第4行、从左向右第3个数，那么第11行、从左向右第5个数为　　
A．210 B．230 C． D．
5．若2023个数、、、、满足下列条件：，，，，，则　　
A．2 B． C． D．
6．计算的值等于　　
A． B． C．1012 D．1013
7．若是不为2的有理数，则我们把称为的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”， 是的“哈利数”， 是的“哈利数”， ，以此类推，则等于　　
A．3 B． C． D．
8．找出以下图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是　　
A．3033 B．3034 C．3035 D．3036
9．用边长为1的菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案的周长为4，第②个图案的周长为此规律排列下去，则第⑨个图案的周长为　　
A．36 B．38 C．40 D．45
10．将一些完全相同的棋子按如图所示的规律摆放，第①个图中有4颗棋子，第②个图中有7颗棋子，第③个图中有12颗棋子，，按此规律，则第⑨个图中棋子的颗数是　　
A．52 B．67 C．84 D．101
11．如图，是由相同大小的圆点按照一定规律摆放而成，按此规律，则第个图形中圆点的个数为　　
A． B． C． D．
12．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2022个图形中共有　　个五角星．
A．6068 B．6067 C．6066 D．6065
二．填空题
13．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
，，，，，，
问题：第2022个数是 　　．
14．观察下列各式：，，，，把你发现的规律用含有字母的式子表示出来为　 　．
15．在很小的时候，我们就用手指练习过数数．一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2023时对应的指头是 　　．（填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指）
16．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成如图图案．若第100个图案中有张白色纸片，则的值为 　　．
17．你喜欢吃拉而吗？拉而馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第 　　次后可拉出64根细面条．
三．解答题
18．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
请回答下列问题：
（1）按以上规律写出第5个等式：
　　　　；
（2）求的值．
19．探索规律：观察下面※由组成的图案和算式，解答问题：
（1）请猜想　　；
（2）请猜想　　；
（3）请用上述规律计算：的值．
20．观察下面三行数：
，4，，16，，64，；①
，5，，17，，65，；②
0，3，，9，，33，；③
（1）第①行的第9个数是 　　，第①行第个数是 　　（用的式子表示）；
（2）设第①行第个数为，用含的式子表示第②，③行数的第个数；
（3）取第①，②，③行的第100个数分别记为，，，求的值．
21．【观察思考】
【规律发现】
（1）第5个图案中“★”的个数是 　　．
（2）第5个图案中“◎”的个数是 　　；第2023个图案中“◎”的个数是 　　．
【猜想说理】
（3）有人猜想：当是正整数时，第个图案与第个图案中“★”的个数之差为．你同意他的说法吗？请写出理由．
22．阅读材料：课堂上，老师在黑板上讲解了以下两道题：
问题1：计算：． 解：． 这个问题采用了乘法的分配律． 问题2：计算． 解：原式． 这个问题采用了乘法的交换律和结合律．
尝试解决：（1）计算：．
应用解决：（2）将24减去它的，再减去余下的，再减去余下的，，依次类推，直到减去余下的，最后的结果是多少？
（3）已知有理数，把叫做的差倒数，如的差倒数为的差倒数为，若，的差倒数为，的差倒数为，的差倒数为，，依次类推，求的值．
参考答案
1．
解：，
，
，
第7个式子是：，
故选：．
2．
解：，
应在3的位置，也就是在处．
故选：．
3．
解：根据所给数列可知，
后一个数是前一个数的倍，
又第一个数是，
所以第个数是．
故选：．
4．
解：观察所给数列可知，
所有数的绝对值是从2开始的连续偶数，
且第行有个数，
所以前10行一共有个数，
又从2开始的第100个偶数是200，
即第10行最后一个数的绝对值是200．
所以第11行第一个数的绝对值是202，
又奇数行第一个数为正，偶数行第一个数为负，
且所有行都为正负数相间排列，
所以第11行、从左向右第5个数为：210．
故选：．
5．
解：因为，
所以，
，
，
，
，
因为，
，
则，
故选：．
6．
解：
，
故选：．
7．
解：，
，
，
，
，
该数列每4个数为1周期循环，
，
．
故选：．
8．
解：根据图形变化规律可知：
第1个图形中黑色正方形的数量为2，
第2个图形中黑色正方形的数量为3，
第3个图形中黑色正方形的数量为5，
第4个图形中黑色正方形的数量为6，
，
当为奇数时，黑色正方形的个数为，
当为偶数时，黑色正方形的个数为，
第2023个图形中黑色正方形的数量是，
故选：．
9．
解：第①个图案的周长为，
第②个图案的周长为，
第③个图案的周长为，
第④个图案的周长为，
，
此规律排列下去，则第⑨个图案的周长为，
故选：．
10．
解：第①个图形中，棋子数量为；
第②个图形中，棋子数量为；
第③个图形中，棋子数量为；
以此类推，
第个图形中，棋子数量为；
第⑨个图形中共有棋子的颗数是，
故选：．
11．解：观察图形的变化可知：
第1个图形中圆点的个数为；
第2个图形中圆点的个数为；
第3个图形中圆点的个数为；
发现规律，
则第个图形中圆点的个数为．
故选：．
12．
解：第一个图形五角星数目：，
第二个图形五角星数目：，
第三个图形五角星数目：，
第四个图形五角星数目：，
第个图形五角星数目：，
第2022个图形中五角星数目为：．
故选：．
13．．
解：一串有理数为：，，，，，，，
这列数的第个数的分母是，当为奇数时，分子是1，当为偶数时，分子是，
第2022个数是，
故答案为：．
14．解：，，，，
规律为：．
故答案为：．
15．中指．
解：根据题意，大拇指上的数据为：1，9，17，都是8的倍数加1，
，
在大拇指上，
倒推2023在中指位置．
故答案为：中指．
16．301．
解：第1个图案中有个白色纸片，
第2个图案中有个白色纸片，
第3个图案中有个白色纸片，
，
第个图案中有个白色纸片，
当时，，
故答案为：301．
17．6．
解：根据所给图形可知，
捏合1次可拉出面条的根数为：；
捏合2次可拉出的面条根数为：；
捏合3次可拉出的面条根数为：；
所以捏合次可拉出的面条根数为：（根．
令得，
，
所以捏合到第6次可拉出64根细面条．
故答案为：6．
18．．
解：（1），
故答案为：，；
（2）
．
19．（1）100；（2）；（3）9100．
解：（1）由图得：，1有1项；
，有2项；
，有3项；
，有4项；
，有5项；
共有项，
，
故答案为：100；
（2），
，
故答案为：；
（3）当时，，当时，
．
20．（1），；
（2）第②行的第100个数是，第③行的第100个数是；
（3）．
解：（1）观察第①行数可知，
后一个数是前一个数的倍，且第一个数是，
所以第①行的第9个数是，
第①行的第个数是．
故答案为：，．
（2）观察第①②两行数可知，
第②行的第个数比第①行的第个数大1，
所以第②行的第个数是：．
观察第②③两行数可知，
第③行的第个数比第②行的第个数大，
所以第③行的第个数是：．
（3）第①行的第100个数为：，
即．
第②行的第100个数为：，
即．
第③行的第100个数为：，
即．
所以
．
21．（1）15；
（2）15，6069；
（3）同意，见解答过程．
解：（1）第1个图案中“★”的个数是：1，
第2个图案中“★”的个数是：，
第3个图案中“★”的个数是：，
，
第个图案中“★”的个数是：，
第5个图案中“★”的个数是：，
故答案为：15；
（2）第1个图案中“◎”的个数是：3
第2个图案中“◎”的个数是：，
第5个图案中“◎”的个数是：，
，
第个图案中“◎”的个数是：，
第5个图案中“◎”的个数是：，
第2023个图案中“◎”的个数是：，
故答案为：15，6069；
（3）同意，理由如下：
第个图案中“★”的个数是：，
则
．
22．（1）9900；
（2）1；
（3）．
解：（1）原式
；
（2）由题意，列式如下：
；
（3），的差倒数为，的差倒数为，的差倒数为，，
，，，
每3个差倒数一循环，
，，，
．