数学人教A版（2019）选择性必修第一册 2.4.1圆的标准方程 课件（共27张ppt）

(共27张PPT)
2.4.1 圆的标准方程
问题1 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
圆心、半径
问题2 已知圆心为A(a,b),半径r，试试根据圆的定义求这个圆的方程.
提示：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
设M()为圆上任意一点，则r=|MA|=
平方得=2
导入
若圆心在坐标原点, 则圆的标准方程是：
圆心为A(a,b),半径r的圆的标准方程是：
=2
新课讲授
例1 求圆心为
否在这个圆上.
典型例题
解: 圆心为，半径为5的圆的标准方程是
r=|MA|=
把点的坐标代入方程的左边，得，等式成立，所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方程的左边，得，等式不成立，所以点不在这个圆上.
1. 写出下列圆的标准方程:
(1) 圆心为C(－3, 4), 半径是
(2) 圆心为C(－8, 3), 且经过点M(－5, －1).
变式1
例1 求圆心为
否在这个圆上.
典型例题
3 在例1 中，在圆内还是在圆外？请思考课本P83的探究.
思考：点M0(x0, y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么 在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么 试观察点M0(x0, y0)与圆心距离与半径的大小关系，你有什么发现？
概念生成
设点 到圆心的距离为 ，半径为 .
与 的大小 点与圆的位置
点 在圆内
点 在圆上
点 在圆外
1. 已知P1(4, 9), P2(6, 3)两点, 求以线段P1P2为直径的圆的标准方程, 并判断点M(6, 9), N(3, 3), Q(5, 3)在圆上, 圆内, 还是在圆外.
变式2
2.若在平面直角坐标系上有两点A(-2,0),B(4,0),则以线段AB为直径的圆的标准方程为　　　　.
(x-1)2+y2=9
[解析]易知线段AB的中点为M(1,0),如图所示,
则圆M的半径r=|AB|==3,
即圆M的标准方程为(x-1)2+y2=9.
变式2
例2 的三个顶点分别是求
的外接圆的标准方程.
待定系数法！
典型例题
例2 的三个顶点分别是求的外接圆的标准方程.
Ｍ
1、圆心：两条弦的垂直平分线的交点
2、半径：圆心与圆上一点的距离
几何法：
导入
4. 已知△AOB的三个顶点分别是点A(4, 0), O(0, 0), B(0, 3), 求△AOB的外接圆的标准方程.
变式3
待定系数法：
几何法：
解：
例3 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线：上，求此圆的标准方程.
解法一：设圆心的坐标为.因为圆心在直线上，
所以.① 因为，是圆上两点，所以.
根据两点间距离公式，有，
即.② 由①②可得，.
所以圆心的坐标是.
圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
例3 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线：上，求此圆的标准方程.
举一反三
解法二：如图，设线段的中点为.由两点的坐标为，，可得点的坐标为，直线的斜率为.
因此，线段的垂直平分线的方程是，
即.由圆的知识可知，圆心在线段的垂直平分
线上，所以它的坐标是方程组的解.解得C（
所以圆心的坐标是.圆的半径.
所以，所求圆的标准方程是.
变式4
1.求过点 ， 且圆心在直线 上的圆的方程.
[解] （法一）设所求圆的标准方程为 ，
由已知条件知 解得
故所求圆的标准方程为 .
（法二）设点 为圆心，∵点 在直线 上，
∴可设点 的坐标为 .
又∵该圆经过 ， 两点，
，
，
解得 ，
∴圆心坐标为 ，半径 ，
故所求圆的标准方程为 .
（法三）由已知可得线段 的中点坐标为 ，
，
∴弦 的垂直平分线的斜率为 ，
的垂直平分线的方程为 ，
即 .则圆心是直线 与 的交点，
由 得
即圆心为 ，圆的半径为 ，
故所求圆的标准方程为 .
2 .若点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是(　　).　　　
A.-1[解析] 因为点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,所以[(5a+1)-1]2+(12a)2=169a2<1,
解得-D
变式4
（1）判断点与圆的位置关系的方法：①只需计算该点与圆心的距离，与半径作比较即可；②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断.
（2）若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数的取值范围.
已知点 在圆 的外部，则 的取值范围为____________________.

[解析] 由题意知， ，则 ，即 或 .
巩固训练
1.经过坐标原点，且圆心坐标为 的圆的标准方程是( @26@ ).
A. B.
C. D.
C
[解析] 根据题意知，圆的圆心为 ，且过原点，且其半径 ，则其标准方程为 .
2.已知点 与圆 ,则点 ( @28@ ).
A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定
C
[解析] ，
∴点 在圆外.
3.圆心为直线 与直线 的交点，且过原点的圆的标准方程是_________________________.

[解析] 由 可得 即圆心为 ，从而 ，故圆的标准方程为 .
4. 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，求 的外接圆的方程.
[解析] 易知 是直角三角形，且 ，
所以圆心是斜边 的中点 ，半径是斜边长的一半，
即 ，所以外接圆的方程为 .
课堂小结
1.圆的标准方程：
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示.
(3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是.
当时，方程为，表示以原点为圆心、半径为的圆.
课堂小结
2.求圆的标准方程方法：
(1)待定系数法:
①设圆的标准方程为
②由条件列三个方程，解得的值；
③写出圆的标准方程．
(2)几何法:
根据圆的几何性质，求出圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程.
位置关系 点与圆心的距离 利用方程判断
点在圆上
点在圆外
点在圆内
3.点与圆的位置关系