高中数学人教A版（2019）必修1 3.3幂函数章节综合练习题（含解析）

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3.3 幂函数
一、选择题
1．（2023高二下·长春期中）幂函数的图象过点，则（　　）
A． B．2 C． D．
2．（2023高一下·浙江期中） 已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023高一上·安徽期末）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数（　　）
A．或 B． C． D．
4．（2023高一上·北碚期末）已知幂函数在上单调递减，则（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
5．（2022高一上·重庆市月考）已知函数是幂函数，且在上递减，则实数（　　）
A． B．2或 C．4 D．2
6．已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
7．（2022高一上·齐齐哈尔期中）已知a= ，b= ，c= ，则（　　）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
8．（2023·天津卷）若，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．（2023·广州模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2023高一上·定州期末）设，，，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
11．（2022高一上·武冈期中）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（　　）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
12．（2023高一上·河北期末）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （　　）
A． B． C． D．
13．（2023高一上·十堰期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2022高一上·东莞期中）给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件(x1>x2>0)的函数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．（2022高三上·上饶月考）已知幂函数的图象过点(9，3)，则函数在区间［1，9]上的值域为（　　）
A．［－1，0] B． C．［0，2] D．
16．（2020·江门模拟）若函数f(x)是幂函数，且满足 ，则 的值为（　　）
A．－3 B． C．3 D．
17．（2018高一上·西宁期末）已知幂函数 的图象经过函数 （ 且 ）的图象所过的定点，则幂函数 不具有的特性是（　　）
A．在定义域内有单调递减区间 B．图象过定点
C．是奇函数 D．其定义域是
18．使不等式x2＞ 成立的x的取值范围是（　　）
A．x＜0或x＞1 B．0＜x＜1 C．x＞1 D．x＜1
19．（2022高一上·洛阳期中）已知幂函数过点，则的解集为（　　）
A． B． C． D．
20．（2023高一上·魏县期末）下列命题中，正确的有（　　）个
①对应：是映射，也是函数；
②若函数的定义域是（1，2），则函数的定义域为；
③幂函数与图像有且只有两个交点；
④当时，方程恒有两个实根.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
21．（2023高一下·宝山期末）若幂函数为奇函数，则该函数的表达式　 　
22．（2023高一下·黄浦期末）已知和，其中，若对任意的成立，则所有的的值为　 　．
23．（2023·金山模拟）已知函数和的表达式分别为，，若对任意，若存在，使得，则实数的取值范围是　 　.
24．（2023高一上·襄阳期末）已知幂函数，指数函数，若在上的最大值为4，则　 　.
三、解答题
25．（2022高一上·清远月考）化简求值（需要写出计算过程）.
（1）化简；
（2）计算：；
（3）若，，求的值.
26．（2022高一上·贵港期中）已知幂函数在上单调递减.
（1）求的值；
（2）求的解集.
27．（2022高一上·鞍山月考）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
28．（2023高一上·郴州期末）已知是幂函数，且在上单调递增．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
29．（2022高一上·河南期中）已知幂函数在上单调递增．
（1）求实数m的值；
（2）若对，，使得都成立，求实数t的取值范围.
30．（2021高一上·湖南月考）设函数的定义域为D，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数．已知幂函数在内是单调增函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，当的最小值是0时，求m的值；
（3）若函数，且是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】由幂函数的图象过点 ，可得，解得，
则
故
故选： B.
【分析】根据已知条件先求出a，求出函数的解析式，计算f(2)即可得答案.
2．【答案】C
【解析】【解答】∵，∴x≥0，∴A∩B={0，1，2}
【分析】重点考察的定义域条件，同时结合集合的符号运算得出结果
3．【答案】D
【解析】【解答】由幂函数的定义知，解得或．
又因为为偶函数，所以指数为偶数，故只有满足．
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合幂函数的定义和偶函数的定义，进而得出实数m的值。
4．【答案】D
【解析】【解答】由题意，幂函数，可得，
即，解得或，
当时，函数，可得函数在上单调递减，符合题意；
当时，函数，可得函数在上单调递增，不符合题意.
故答案为：D
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值.
5．【答案】D
【解析】【解答】由题知是幂函数，
则，
解得或，
在上递减，
，
将代入可得，不符合题意，故舍去，
将代入可得，符合题意，
故.
故答案为：D
【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据幂函数的单调性确定出m的值.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：由 得
取，可得，推不出 ；
取，可得，推不出 ；
故“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：C.
【分析】由 得，利用赋值法结合充分条件、必要条件的定义可得答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a=2 = ， b=3 ，c=25 = ，
综上可得：b＜a＜c，
故选A
【分析】b=4 = ，c=25 = ，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．；本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
8．【答案】D
【解析】【解答】由指数函数在R上单调递增，
故，即，
由幂函数在上单调递增，
故，即，
∴，
故选：D.
【分析】由a、b同一底数结构可利用指数函数单调性比较大小，结合特殊值1即可得出答案.
9．【答案】D
【解析】【解答】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故答案为：D．
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断b10．【答案】D
【解析】【解答】解：因为，
，
，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，，，由，可得，即可得答案.
11．【答案】D
【解析】【解答】由题图知：，，，
所以，，依次可以是，，3．
故答案为：D
【分析】根据幂函数在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数的可能取值.
12．【答案】D
【解析】【解答】根据幂函数的性质，
在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，
故答案为：D
【分析】根据幂函数的性质，在第一象限内的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断.
13．【答案】C
【解析】【解答】设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，
所以，即，解得，
即该幂函数的解析式为，其定义域为，
为偶函数，且在上为减函数.
故答案为：C．
【分析】设幂函数为，根据函数过点代入求出a，即可得到函数解析式，再根据幂函数的性质判断即可得答案.
14．【答案】A
【解析】【解答】①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，＝；
②函数f(x)＝x2的图象是凹形曲线，故当x1>x2>0时，；
③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是凹形曲线，
故当x1>x2>0时，；
④函数f(x)＝x的图象是凸形曲线，故当x1>x2>0时，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2；
⑤在第一象限，函数f(x)＝1x的图象是一条凹形曲线，
故当x1>x2>0时，f(x1+x22)故仅有函数f(x)＝x满足当x1>x2>0时，f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2，
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数图象是凹形曲线和凸形曲线的定义，进而找出满足要求的函数的个数。
15．【答案】B
【解析】【解答】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1，9]上的值域为．
故答案为：B．
解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得，
所以．因为，所以．因为，
所以，所以，解得，即函数在区间[1，9]上的值域为．
故答案为：B．
【分析】 根据幂函数经过的点可求解析式，代入中通过分离常数法即可求解出答案.
16．【答案】D
【解析】【解答】设 ，则由 ，得 .
所以 ，故 .
故答案为：D.
【分析】设出幂函数的一般形式，从而把 转化为关于幂指数的方程，解出幂指数后可求 .
17．【答案】D
【解析】【解答】函数 过定点 ，故 。故 .故函数是 上的减函数， A正确。B过点 ，正确。是奇函数，故C是正确的。D定义域中无x=0这个值，故定义域不是R。函数不符合这一特点。
故答案为：D。
【分析】由指数函数的性质求出其过定点的坐标，从而求出a的值，再结合幂函数的性质判断。
18．【答案】A
【解析】【解答】解：若x＜0，则不等式x2＞ 恒成立，
当x=0时，不等式x2＞ 不成立．
当x＞0时，不等式x2＞ 等价为x6＞x成立，解得x＞1，
故不等式的解为x＜0或x＞1，
故选：A．
【分析】根据不等式的性质，结合x的符号即可得到结论．
19．【答案】C
【解析】【解答】设，则，则，，
由可得，解得，
因此，不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】根据题意求得幂函数，把不等式转化为，结合不等式的解法，即可求解.
20．【答案】C
【解析】【解答】对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；
对于②，若函数的定义域是（1，2），则 故函数的定义域为，故②对
对于③，幂函数为偶函数，在上单调递增，在上单调递减且图像过 ，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过 所以两个图像有且只有两个交点；故③对；
于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合映射和函数的定义、函数的定义域求解方法、幂函数的图象求交点个数的方法、两函数的图象的交点的横坐标与方程的根的等价关系，进而找出真命题的个数。
21．【答案】
【解析】【解答】解：由 为幂函数，得 为 ，解得m=5或m=0，
当m=5时，f(x)=x6 ，函数f(x)是偶函数，不符合题意，
当m=0时，f(x)=x ，函数f(x)是奇函数，符合题意，
所以f(x)=x，
故答案为：f(x)=x .
【分析】根据给定的条件，利用幂函数与奇函数的定义，结合性质求解作答.
22．【答案】、、
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，且幂函数恒过点，
当时在上单调递减，
当时在上单调递增，且越大在上增长趋势越快，
所以要使对任意的成立，则，故符合题意的k有、、1.
故答案为：、、1.
【分析】根据幂函数的性质判断即可.
23．【答案】
【解析】【解答】对任意，若存在，使得，；
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，；
当时，，
①当时，，，
则在上恒成立，在上单调递增，
，，解得：，
；
②当时，，，
令，解得：，
（i）当，即时，在上恒成立，
在上单调递减，，
，解得：，；
（ii）当，即时，在上恒成立，
在上单调递增，，
，解得：（舍）；
（iii）当，即时，
若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减，
，，解得：（舍）；
③当时，，，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
当，即时，，
，解得：，；
当，即时，，
，解得：，；
综上所述：实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】由题意可得f(x)max>g(x)max，由二次函数及幂函数的性质可得f (x)在[-3， 0]上的最大值为2 ，所以只需利用导数及分类讨论思想，求出g(x)在上的最大值，代入求解即可得实数的取值范围 .
24．【答案】512
【解析】【解答】由题意可知，且，
所以幂函数在上单调递增，
所以，故，即，，
.
故答案为：512.
【分析】根据幂函数的性质可得a的值，再代值计算即可得答案.
25．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：因为，，所以，
所以.
【解析】【分析】（1）由根式的运算性质即可求解；
（2）根据幂指数的运算性质即可求解；
（3）根据指数与对数的互化即可求解.
26．【答案】（1）解：由题意得，即.
当，时，在上单调递增，不符合题意；
当，时，在上单调递减，符合题意.
所以，.
（2）解：由题意得，得，得或，
即的解集为.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合幂函数的定义和幂函数的单调性，进而得出m的值，从而求出函数的解析式，再利用代入法求出函数的值。
（2）利用已知条件结合幂函数的单调性，进而结合一元二次不等式求解方法，进而得出不等式 的解集。
27．【答案】（1）解：，
，
（）
即或
在上单调递增，为偶函数
即
（2）解：
，，，
∴
（3）解：由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
【解析】【分析】(1)由题意利用幂函数的定义和性质，求得m、k的值，可得函数的解析式；
(2)由题意可得 ， 两边平方，解一元二次不等式，求得 的取值范围；
(3)由题意可得 ，利用基本不等式求得 的最小值．
28．【答案】（1）解：是幂函数，
∴，解得或；
又在上单调递增，
∴，
∴的值为4；
（2）解：函数，
当时，在区间上单调递增，最小值为；
当时，在区间上先减后增，最小值为，
当时，在区间上单调递减，最小值为．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合幂函数的定义，进而得出m的值，再结合幂函数的图象判断出幂函数的单调性，进而得出满足要求的实数m的值。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法和函数的单调性，进而求出函数在区间上的最小值。
29．【答案】（1）解：因为幂函数在上单调递增，
所以；
（2）解：由（1）可得
因为对，使得都成立
所以，其中，由（1）可得函数在上的最大值为8，所以，又，使得都成立
所以，
因为，所以是关于a的单调递增函数，
∴，即，∴或，
所以实数t的取值范围为.
【解析】【分析】（1）根据条件结合幂函数的定义及性质列关系式求出实数m的值；
（2）由（1）可得 ，由条件可得，结合（1）可得，再由该不等式在时成立，列不等式求解即可.
30．【答案】（1）解：因为幂函数在内是单调增函数，
所以，解得，
所以函数的解析式为．
（2）解：，，，
令，则，，则，，，
当，即时，的最小值为（1），
所以，解得；
当，即时，的最小值为，
所以，解得（舍；
当，即时，的最小值为（2），
所以，解得（舍．
综上，的值为-1．
（3）解：，，则在，上单调递减，
因为是“佳”函数，
所以，
令，，
则，，所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，，
所以，代入，
得，
因为，所以，得，
令，，，
所以，该函数在，上单调递减，
所以，
所以实数的取值范围是.
【解析】【分析】(1)由幂函数的定义以及函数的单调性，整理化简计算出p的值由此得出函数的解析式。
(2)根据题意构造函数结合二次函数的图象和性质，即可求出m的取值范围再由已知条件整理化简即可得出满足条件的m的值。
(3)首先由函数的单调性结合 “佳”函数 的定义计算出a与b的取值，再由题意整理化简即可得出S与T的关系，然后由整理化简已知条件结合二次函数的图象和性质利用整体思想即可得出答案。
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