高中数学人教A版（2019）必修1 4.2指数函数章节综合练习题（含解析）

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4.4 指数函数
一、选择题
1．（2023高二下·宁波期末）函数的值域是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高一上·大通期末）若是指数函数，则有（　　）
A．或 B． C． D．且
3．（2021高三上·长春月考）已知函数 ，则函数 的值域为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·咸阳模拟）函数的大致图象为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2022高一上·南阳期中）函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（　　）．
A． B． C． D．3
6．（2021高一上·陈仓期中）函数 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021高二下·通州期末）已知指数函数 ，将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数 的图象，再将 的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数 的图象重合，则 的值是（　　）
A．±3 B．3 C． D．
8．（2020高一上·江苏月考）将函数 的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象恰好与函数 的图象重合，则函数 的解析式是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2022高二上·广州期中）某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（　　）
A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个
10．已知函数，则的增区间为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2023高三上·吉林开学考）“2x>2”是“x2>1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．（2021高三上·赣州期中）函数 的值域为（　　）
A． B． C． D．
13．（2020高一上·张家口月考）已知指数函数 在 上单调递增，则 的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
14．（2023高一下·杭州期末） 已知函数（e为自然对数的底数），则（　　）
A．
B．，当时，
C．
D．，当时，
15．（2023高一上·内江期末）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（　　）
A．，，， B．，，，
C．，，，， D．，，，，
16．（2023高一上·门头沟期末）函数（且）的图象过定点（　　）
A． B． C． D．
17．（2022高一上·联合期中）已知函数满足（其中），则函数的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
18．（2020高三上·浙江期末）在同一直角坐标系中，函数 ， （ 且 ）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
19．（2019高一上·牡丹江月考）函数 （ 且 ）的图象必经过点（　　）
A． B． C． D．
20．（2023·广州模拟）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
（2023·河北会考）已知函数．
21．若函数的最大值为1，则实数（　　）
A． B． C． D．
22．关于函数的单调性，下列判断正确的是（　　）
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
23．若函数有两个零点、，给出下列不等式：
①；②；③；④．
其中恒成立的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（2023高二下·韩城期末）不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
25．（2023·广西模拟）已知函数且的图象过点，若当时，的值域中正整数的个数超过2023个，则的最小值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
26．（2022高二下·蒲城期末）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下所需的训练迭代轮数至少为（　　）
A．11 B．22 C．44 D．67
二、解答题
27．（2022高三上·白山）已知定义域为的函数是奇函数．
（1）求实数、的值；
（2）判断函数在的单调性并给予证明；
（3）求函数的值域．
28．（2022高一上·通州期中）已知函数.
（1）求函数在区间上的最大值和最小值；
（2）若方程在区间内有解，求实数的取值范围.
29．（2021高一上·浙江期中）已知函数 .
（1）若 在 是增函数，求实数 的取值范围；
（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
30．（2020高一上·唐山期中）已知函数f(x)＝ ，a为常数，且函数的图象过点(－1，2).
（1）求a的值；
（2）若g(x)＝4－x－2，且g(x)＝f(x)，求满足条件的x的值.
31．（2020高一上·辽宁期中）已知函数 是R上的偶函数，且当 时，
（1）求函数 的解析式；
（2）求方程 的解集.
32．（2022高一上·保定期末）已知是幂函数，是指数函数，且满足，．
（1）求函数，的解析式；
（2）若，，请判断“是的什么条件？（“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】因为，即，所以函数的值域是.
答案是：B.
【分析】利用指数函数的性质即可得解。
2．【答案】C
【解析】【解答】因为是指数函数，
所以，解得.
故答案为：C．
【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：当x<-1时，f(x)=x2-2>-1，
当x≥-1时，，
综上可得函数 的值域为 .
故答案为：B
【分析】根据分段函数，结合二次函数与指数函数的值域求解即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】依题意可得，
又，则根据指数函数图象即可判断只有B符合．
故答案为：B．
【分析】由函数，结合指数函数的图象与性质，即可求解.
5．【答案】B
【解析】【解答】观察图像①与②可知，图像①是指数函数，图像②是幂函数，
因为图像①单调递减，由指数函数的图象性质可知，排除D；
再由图像②存在的图像，由幂函数的图象性质可知的分母为奇数，排除AC；
综上：满足a的取值要求，A的可能取值为.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数的单调性和幂函数的单调性与奇偶性性，求得的取值范围，结合选项，即可求解.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：当a>1时， 函数 在R上是增函数，且过点(-1，0)，排除AB；
当0故答案为：Ｄ
【分析】根据指数函数的图象与性质求解即可．
7．【答案】D
【解析】【解答】解：将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数 的图象，则 ，
再将 的图象向右平移2个单位长度，则得到的函数关系数为 ，
因为所得图象恰好与函数 的图象重合，
所以 ， ，解得 或 （舍去），
故答案为：D
【分析】 根据函数图象变换法则求出函数的解析式，建立方程关系进行求解即可.
8．【答案】A
【解析】【解答】由题意，将函数 的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度可得函数 的图象，
所以 .
故答案为：A.
【分析】由函数平移的性质结合指数函数的图象即可得出答案。
9．【答案】B
【解析】【解答】20分钟分裂一次，经过3个小时，总共分裂了九次，
也就是29=512个。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合指数函数的模型，进而得出细菌由1个可繁殖成的个数。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：令 ，，在单调递增，在单调递减单调递增， 在单调递减单调递增 .
故答案为：A.
【分析】根据复合函数单调性求 的增区间 .
11．【答案】A
【解析】【解答】解：因为在定义域内单调递增，且，解得，
，解得或，
且是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据指数函数单调性解，根据二次不等式解，结合充分、必要条件与包含关系分析判断.
12．【答案】B
【解析】【解答】由已知 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的值域是 ．
故答案为：B．
【分析】根据题意整理化简函数的解析式，再由基本不等式即可求出函数的最小值，由此即可求出函数的值域。
13．【答案】B
【解析】【解答】 解得 ，
又函数在 上单调递增，则 ，
故答案为：B
【分析】根据指数函数定义，系数为1，解出a值，再根据增函数底大于1，取a=2；
14．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵指数函数的增长速度更快，∴当x＞x0时，f（x）＜g（x），故A错误；
B、f（eπ）=e2π+π＞25，，
∴f（x）=g（x）的零点x0＞eπ，
故B错误；
C、∵f（x）=g（x）的零点x0＞eπ，
∴，f（x）＞g（x），
故C错误；
D、当x＞x0时，f（x）＜g（x）恒成立，
故D正确．
故选：D．
【分析】根据指数函数的增长速度更快，可判断AD选项的正确性；又f（eπ）=e2π+π＞25，，可判断BC选项的正确性．
15．【答案】C
【解析】【解答】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.
故答案为：C．
【分析】 只需明确直线与函数图象的交点的纵坐标大小，即可得出答案.
16．【答案】B
【解析】【解答】由指数函数（且）的图象恒过定点，
所以在函数中，当时，恒有，
所以（且）的图象过定点。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合指数型函数的图象过定点的性质，进而得出函数（且）的图象过的定点坐标。
17．【答案】C
【解析】【解答】因为，则，
因为，则，所以，且函数在上单调递减，
故函数的图象如C选项中的函数图象.
故答案为：C.
【分析】化简函数，得到，进而得到且函数的单调性，即可求解.
18．【答案】C
【解析】【解答】当 时，函数 在 上单调递减且是曲线，向下平移一个单位长度得 ，排除A，B，C，D，没有符合题意的;
当 时，函数 在 上单调递增且是曲线，向下平移一个单位长度得 ，排除B，当 时， ，排除D.
此时 ，函数 （ 且 ）在 上单调递增，排除A.
故答案为：C.
【分析】分 和 两种情况分析这两个函数的单调性，进而得出结论.
19．【答案】A
【解析】【解答】因为函数 （ 且 ）恒过定点 ，
把图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得 ，
所以定点 向右平移 个单位，再向上平移 个单位，得 为函数
图象过的定点。
故答案为：A.
【分析】利用指数函数恒过定点的性质结合指数函数的图形平移变换，得出函数 （ 且 ）的图象必经过的定点。
20．【答案】D
【解析】【解答】由，，，
则，，
又，，
则，即，
所以．
故答案为：D．
【分析】根据指数函数，幂函数的性质即可判断b【答案】21．B
22．A
23．D
【解析】【分析】（1）令，则，由指数函数的单调性以及二次函数的性质得；
（2）利用换元法，结合二次函数和指数函数的单调性，最后利用复合函数的单调性即可求解；
（3）由题意可知，、是关于的二次方程的两根，根据函数有两个不同的正零点，可求得，得到，利用指数函数的单调性可判断①；利用二次函数的基本性质可判断②③④的正误.
21．，令，
则，
当时，，
解得.
故答案为：B
22．令，函数可化为为，
因为函数开口向上，对称轴为，即.
当时，函数单调递增；
当时，函数单调递减，又因为在上单调递减，
由复合函数的单调性可得，函数在上单调递增.
故答案为：A.
23．，
令，则，令，可得，
令，则函数有两个不同的正零点，
所以，，解得，
由题意可知，、是关于的二次方程的两根，
由韦达定理可得，
所以，，所以，，可得，①对；
由韦达定理可得，则，
所以，，②对；
，③对；
，④对.
故答案为：D.
24．【答案】B
【解析】【解答】因为 ，且在上单调递增，
则，可得或，解得或，
所以 不等式的解集为 .
故答案为：B.
【分析】根据指数函数单调性可得，再根据绝对值不等式运算求解.
25．【答案】C
【解析】【解答】依题意，；
易知在上单调递增，
当时，，此时正整数的个数是1027，
当时，，此时正整数的个数是2051，
故的最小值为11，
故答案为：C.
【分析】根据题意求得的值，得到在上单调递增，分和两种情况，即可求解.
26．【答案】D
【解析】【解答】由得，故，由题意得，故至少迭代67轮，
故答案为：D
【分析】根据已知条件代入可解得，进而得，根据，解不等式即可求解.
27．【答案】（1）解：定义域为的函数是奇函数
，，
即，解得，
即，
又
是奇函数，
；
（2）解：由（1）得，其为定义域在上的单调减函数，
任取，
，
，，
，即，
函数是上单调递减函数；
（3）解：，
，
，
，
，
即函数的值域为
【解析】【分析】 (1) 根据奇函数的定义取，，求出，并用定义证明；
(2) 根据单调性的定义结合指数函数单调性分析证明；
(3) 根据指数函数单调性结合不等式性质分析求解.
28．【答案】（1）解：函数在区间上为增函数，
最大值为，的最小值为.
（2）解：方程在区间内有解即函数与函数在区间内有交点.
函数在区间上为增函数，
，
解得.
【解析】【分析】（1）根据指数函数 的单调性，进而求得函数的最值；
（2）根据题意，转化为 函数与函数在区间内有交点 ，求函数在 上的值域，进而求得的取值范围.
29．【答案】（1） ，令 ，则 ，由 可得 ，
由条件可知 在 是增函数.
当 时，结论显然成立；当 时，则 ，∴ .
综上， 的取值范围为 .
（2）由 可得 ，因为 ，所以 ，所以 ，令 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，∴ ，
所以 的范围是 .
【解析】【分析】(1)首先整理化简函数的解析式，令整理得出结合对勾函数的性质即可求出k的取值范围。
(2)首先在化简不等式由此得出不等式，结合题意即可得出不等式，利用分离参数的方法即可得出不等式，令整理化简得出，由函数的性质整理化简即可得出k的取值范围。
30．【答案】（1）解：由已知得 ，
解得a＝1.
（2）解：由（1）知 ，
又g(x)＝f(x)，
则4－x－2＝ ，
，
令 ，
则t>0，t2－t－2＝0，
即(t－2)(t＋1)＝0，
又t>0，故t＝2，即 ，
解得x＝－1，
故满足条件的x的值为－1.
【解析】【分析】(1)把点的坐标代入到函数的解析式求出a的值即可。
(2)由已知条件得到方程利用整体思想令求解出结果进而得到x的值。
31．【答案】（1）设 ，则 ，
所以 ，
因为函数 为偶函数，
所以 ，
所以函数 的解析式为 .
（2）当 时，
；
当 时， .
，
所以方程 的解集为 .
【解析】【分析】 (1)根据题意，设 ，则 ，求出f(-x)的表达式，结合函数的奇偶性分析可得f (x)的解析式，综合即可得答案；
(2)根据题意，结合函数的解析式分析x<0与x≥0两种情况讨论，求出程f(x)=-2的解，综合两种情况即可得答案.
32．【答案】（1）解：设，，则
则，代入，
∴，.
（2）解：由（1）知，，，
当时，，有，得，
又由，有，得，故，
当时，，有，得，
又由，有，，解得，故，
由，故“”是“”的必要不充分条件．
【解析】【分析】（1）设，根据，求得的值，即可求解；
（2）由（1）得到，转化为，求得，再由，求得，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
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