高中数学人教A版（2019）必修1 4.3对数章节综合练习题（含解析）

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4.3 对数
一、选择题
1．（2020高一上·南京期中）下列说法正确的是（　　）
A．因为 ，所以
B．因为 ，所以
C．因为 ，所以
D．因为 ，所以
2．（2019高一上·金华月考）已知log3a＝2，则a等于（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x，则x＝100；④若e＝ln x，则x＝e2.其中正确的是（　　）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
4．下列计算正确的是 （　　）
A． B．
C． D．
5．（2023高三上·建设期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2022高一上·阳信期中）若，则（　　）
A．2 B．4 C．5 D．10
7．（2022·绵阳模拟）设，则的值是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．9
8．（2022高二下·宁波期末）已知，则的值为（　　）
A．3 B． C．4 D．
9．已知符号[x]表示“不超过x的最大整数”，如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2，则[log2 ]+[log2 ]+[log2 ]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．1
10．若对数式log（t﹣2）3有意义，则实数t的取值范围是（　　）
A．[2，+∞） B．（2，3）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
11．已知函数 在 内恒有y＞0，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．0＜a＜1
C．a＜﹣1或a＞1 D．
12．函数y= 是（　　）
A．区间（﹣∞，0）上的增函数 B．区间（﹣∞，0）上的减函数
C．区间（0，+∞）上的增函数 D．区间（0，+∞）上的减函数
13．设 ，则a的取值范围是（　　）
A． B．（0，1） C． D．
14．已知幂函数的图象过点，则的值为 (　　)
A． B．－ C．2 D．－2
15．（2023高一下·普宁期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，，则，，大小关系为（　　）
A． B． C． D．
16．（2022高三上·安阳期中）若，且，则（　　）
A． B． C． D．
17．（2022高一上·武功期中）若，，则的值为（　　）
A．2 B．1 C．8 D．3
18．（2022高三上·河北月考）已知，且，则的最小值为（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
19．（2022高二下·曲靖期末）已知 ，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
20．（2022·雅安模拟）当强度为的声音对应的等级为分贝时，有(其中为常数)．装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（　　）
A． B． C． D．
21．（2022·衡阳模拟）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（　　）
A．128 B．130 C．132 D．134
22．（2023高二上·杭州月考）已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
二、解答题
23．（2023高一上·十堰期末）计算：
（1）；
（2）若，求的值.
24．（2023高二下·韩城期末）（1）求值：；
（2）求值：．
25．（2023高一下·孝感开学考）
（1）求的值；
（2）已知，求的值.
26．（2023高一上·西安期末）求值：
（1）；
（2）．
27．计算:
（1） ;
（2） .
28．（2022高一上·安徽月考）求值：
（1）；
（2）若，求的值．
29．（2019高一上·河南月考）已知函数 的图象经过定点 ， .
（1）求a，b的值；
（2）设 ， ，求 （用m，n表示）.
30．（2023高一上·钦州期末）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，设，且，求（用表示）；
（3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：因为当 （ 且 ）时， ，
所以A的底数为1，是错误的，C的底数为负数，是错误的，
的底数为3，所以化为对数后底数也应为3，所以B符合题意，D不符合题意，
故答案为：B
【分析】结合指对互化公式以及对数的定义对选项逐一分析即可得出结论。
2．【答案】D
【解析】【解答】把log3a＝2化为指数式，有a＝32＝9.
故答案为：D．
【分析】根据对数的定义即可求出．
3．【答案】C
【解析】【解答】因为lg 10＝1，所以lg(lg 10)＝0，故①正确；
因为ln e＝1，所以ln(ln e)＝0，故②正确；
由lg x＝10，得1010＝x，故x≠100，故③错误；
由e＝lnx，得ee＝x，故x≠e2，所以④错误．
故答案为：C.
【分析】利用lg10=1，lne=1，代入计算即可得出结论。
4．【答案】B
【解析】【解答】 ，A不正确，B正确；
C. ，不正确；
D. ，不正确.
故答案为:B.
【分析】直接利用指数与对数的运算法则化简求解即可．本题考查对数的运算法则的应用，是基础题．
5．【答案】A
【解析】【解答】由得，所以.
故答案为：A
【分析】结合指对互换求出a，再由对数运算性质可求出的值.
6．【答案】C
【解析】【解答】∵，
∴.
∴
∴.
故答案为：C
【分析】 根据条件，把指数式化成对数式，结合对数运算性质可得答案.
7．【答案】B
【解析】【解答】由，则，，.
故答案为：B.
【分析】根据指对互化可求出答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】由得，故
故答案为：A
【分析】根据题意由对数的运算性质整理化简，然后由指、对互化公式计算出结果即可。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：[log2 ]+[log2 ]+[log2 ]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]
=﹣2+（﹣2）+（﹣1）+0+1+1+2
=﹣1
故选：A
【分析】根据新定义当x是整数，[x]就是x，当x不是整数时，[x]是点x左侧的笫一个整数点，这个函数叫做“取整函数，先求出各对数值或所处的范围，再用取整函数求解．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：要使对数式log（t﹣2）3有意义，
须 ；
解得t＞2且t≠3，
∴实数t的取值范围是（2，3）∪（3，+∞）．
故选：B．
【分析】根据对数式log（t﹣2）3的定义，底数大于0且不等于1，列出不等式组，求出解集即可．
11．【答案】D
【解析】【解答】解：令t=2x+1，x∈ ，则0＜t＜1，
∵ 在区间 内恒有y＞0，
∴0＜a2﹣1＜1，即1＜a2＜2，
解得， ．
故选D．
【分析】由函数的定义域 求出对数真数的范围，根据题意和对数函数的性质，确定底数与“1”的大小，求出a的范围．
12．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，函数y= 的图象与函数y= 的图象关于y轴对称，所以函数y= 是区间（﹣∞，0）上的增函数．
故选A．
【分析】函数y= 与数y= 的图象关于y轴对称，作出函数y= 的图象，直观得到函数的增区间．
13．【答案】C
【解析】【解答】解：由 ，得： ，因为0＜a＜1，所以 ，取交集得：0＜a＜ ．
所以a的取值范围是 ．
故选C．
【分析】因为0＜a＜1，1=logaa，运用对数函数的单调性得到a的范围．
14．【答案】A
【解析】【分析】先设，求出函数的解析式，然后将点代入解析式，即可求出结果．
【解答】设，则
∴
又∵由幂函数y=f（x)的图象过点
∴，
故选A．
15．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵函数是定义在上的偶函数，
∴，
∵，
又∵上单调递减
∴ ，
故选：A.
【分析】直接利用函数的单调性、偶函数的性质，对数函数和指数函数性质比较大小即可.
16．【答案】A
【解析】【解答】，∴，
又，∴，，
∴，即.
故答案为：A.
【分析】根据题意和对数的运算公式，求得，进而得到和，即可求解.
17．【答案】D
【解析】【解答】因为，所以；
又，所以
所以
故答案为：D.
【分析】先把指数式化成对数式，再利用对数的运算性质进行计算，可得答案.
18．【答案】D
【解析】【解答】因为，所以，即，所以．因为，则，所以，，
，
则，，
当且仅当时，等号均成立．
故答案为：D．
【分析】根据指数式与对数式的关系，结合基本不等式及指数式的运算性质，即可求出相应的最小值。
19．【答案】A
【解析】【解答】解：由3a=2可得，a=log32= ，
因为ln3>1>ln2>0 ，
所以又因为c=20.3>20=1 ，
所以c>b>a .
故选：A
【分析】首先根据指数对数互化公式以及换底公式求出a ，然后再利用中介值“1”即可比较a ，b ， c的大小.
20．【答案】D
【解析】【解答】设装修电钻的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为.
由题意得：，解得
∴装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为： .
故答案为：D.
【分析】设装修电钻的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，由列出方程即可求得，进而可求解。
21．【答案】B
【解析】【解答】由题设，，则，
所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为130次.
故答案为：B
【分析】由已知可得，再由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.
22．【答案】D
【解析】【解答】由题可知，，，易知a，．
因为，
所以．
另一方面，，所以；
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和对数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
23．【答案】（1）解：原式
.
（2）解：将等式两边同时平方得，
则.
【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质求解即可；
（2）利用有理数指数幂的运算性质求解即可.
24．【答案】（1）解：
（2）解：原式
【解析】【分析】 (1) 根据指数幂的运算求解；
(2)根据对数的定义和运算法则运算求解.
25．【答案】（1）解：；
（2）解：由，故，，故，
.
【解析】【分析】（1）根据对数的运算性质进行计算即可；
（2）计算得 ， 变换得 ，计算可得 的值.
26．【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质进行运算即可；
（2）运用对数的运算性质进行运算即可.
27．【答案】（1）解：
=3
（2）解：
【解析】【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可；（2）利用对数的运算性质和换底公式计算即可.
28．【答案】（1）解：
.
（2）解：，则，
∴
∴．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合指数幂的运算法则和对数的运算法则，进而化简求值。
（2）利用已知条件结合指数式与对数适当互化公式，再结合换底公式和对数的运算法则，进而求出 的值。
29．【答案】（1）解：因为函数 的图象经过定点 ， ，
所以
解得
（2）解：由（1）得 ，
则 ， ，
所以
【解析】【分析】（1）由题意可得 ，解方程组即可求解.（2）由（1）可求出m,n，再利用换底公式即可求解.
30．【答案】（1）解：当时，
故 ，所以不等式的解集为；
（2）解：当时，，
，
.
（3）解：在（2）的条件下，不等式化为，
即在区间上有解. 令，则，
，，
，又是正整数，故的最大值为3.
【解析】【分析】利用已知条件和a的值得出函数的解析式，再结合对数函数的单调性，进而得出不等式 的解集。
（2）利用已知条件结合函数的解析式和代入法以及换底公式和对数的运算法则，进而用m，n表示出 。
（3） 在（2）的条件下，不等式化为 在区间上有解，令，再利用函数求最值的方法得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而结合是正整数，从而得出的最大值。
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