高中数学人教A版（2019）必修1 4.4对数函数之解答题专项练习题（含解析）

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4.4 对数函数 解答题专项
一、解答题
1．已知函数且在区间上的最大值是2.
（1）求的值；
（2）若函数的定义域为，求不等式中的取值范围.
2．函数的定义域
3．（2023高三上·吉林开学考）已知
（1）解上述不等式；
（2）在（1）的条件下，求函数的最大值和最小值及对应的的值.
4．（2023高一下·信阳开学考）已知函数.
（1）若当时，函数有意义，求实数的取值范围.
（2）是否存在实数，使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.
5．（2023高一上·定州期末）已知函数，x∈[，9].
（1）当a=0时，求函数f(x)的值域；
（2）若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.
6．（2023高二下·韩城期末）已知函数．
（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性(并予以证明)；
（2）求使的x的取值范围．
7．（2023高一上·大荔期末）已知函数．
（1）用定义法证明在上单调递增；
（2）求不等式的解集；
（3）若，对使不等式成立，求实数的取值范围．
8．（2023高一上·楚雄期末）已知为上的偶函数，当时，．
（1）当时，求的解析式；
（2）若，求的取值范围．
9．（2023高一上·保山期末）已知函数（）.
（1）当时，解关于的不等式：；
（2）若在时都有意义，求实数的取值范围.
10．（2023高一上·榆林期末）已知是对数函数.
（1）求a的值.
（2）函数，，是否存在正实数k，使得有解？若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由.
11．（2023高一上·西安期末）已知函数．
（1）若的定义域为，求a的取值范围；
（2）若的值域为，求a的取值范围：
（3）若，求的值域：
12．（2023高一上·增城期末）已知函数.
（1）若函数的图像过点，求b的值：
（2）若函数在区间上的最大值与最小值的差为2，求a的值．
13．（2023高一上·桐柏期末）已知函数．
（1）当时，求在区间上的值域；
（2）当时，是否存在这样的实数a，使方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
14．（2023高一上·东莞期末）已知函数．
（1）若m＝f（3），n＝f（4），求的值；
（2）求不等式的解集；
（3）记函数，判断的奇偶性并证明．
15．（2023高一上·内江期末）已知函数（且）.
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性并证明；
（3）已知函数，求的取值范围.
16．（2023高一上·内江期末）已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.
（1）求的值；
（2）已知，求函数的最大值和最小值.
17．（2023高一上·朝阳期末）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若函数是偶函数，求m的值；
（3）当时，若函数的图象与直线有公共点，求实数b的取值范围．
18．（2022高一上·宝鸡期末）已知函数（且）.
（1）若在区间上的最大值与最小值之差为1，求a的值；
（2）解关于x的不等式.
19．（2023高一上·延庆期末）已知函数．
（1）当时，求的反函数；
（2）若时的最小值是，求解析式．
20．（2023高一上·延庆期末）已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）若，求的取值范围；
（3）当时，求的值域．
21．（2022高一上·葫芦岛月考）已知函数（且）.
（1）若的值域为，求的取值范围；
（2）若的定义域为，且在上存在零点，求的取值范围.
22．（2022高一上·保定月考）已知函数.
（1）在给定的坐标系中作出在上的图象；
（2）若函数（，且），且当时，的图象始终在的图象上方，求的取值范围.
23．（2022高一上·赣州月考）已知函数，其中.且.
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求使成立的的集合.
24．（2022高一上·湖北月考）已知函数.
（1）求的值域；
（2）若对于，都，使得，求实数的取值范围.
25．已知函数的图象关于原点对称.
（1）求的值；
（2）判断的单调性；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
26．已知函数满足，函数，其中．
（1）求的值域（用表示）；
（2）求的取值范围；
（3）若存在实数，使得有解，求的取值范围．
27．（2023高一上·钦州期末）已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，设，且，求（用表示）；
（3）在（2）的条件下，是否存在正整数，使得不等式在区间上有解，若存在，求出的最大值，若不存在，请说明理由.
28．（2023高一上·钦州期末）已知函数的图象在定义域上连续不断.若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质.
（1）若满足性质，且，求的值；
（2）若，试说明至少存在两个不等的正数，同时使得函数满足性质和.（参考数据：）
（3）若函数满足性质，求证：函数存在零点.
29．（2023高一上·大连期末）已知函数的图像与函数的图像关于直线对称，函数．
（1）若，求在上的最大值；
（2）设，，求的最小值，其中．
30．（2022高一上·清远月考）已知函数，其反函数为．
（1）定义在的函数，求F（x）的最小值；
（2）设函数的定义域为D，若有，且满足，我们称函数为“奇点函数”．已知函数为其定义域上的“奇点函数”，求实数m的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当时，函数在区间上是减函数，
因此当时，函数取得最大值2，即，因此.
当时，函数在区间上是增函数，
当时，函数取得最大值2，即，因此.
故或
（2）解：因为的定义域为，
所以，则，即，
代入不等式，得，
则，解得，因此的取值范围是.
【解析】【分析】(1)分 和 两种情况讨论对数函数单调性，进而求a的值；
(2)由函数的定义域为 ，可得二次函数， 结合（1）求a的值，然后利用指数函数的单调性求m的取值范围.
2．【答案】解；由题意知 ，
整理得 ，
解得 ；
∴函数y的定义域为（- ，-1]∪[1， ）．
【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域.
3．【答案】（1）解：由题意得
所以不等式的解集为
（2）解：
，则
【解析】【分析】(1)根据题意结合对数函数的定义以及单调性可得 ，运算求解即可；
(2)换元令 ，可得 ，结合二次函数性质运算求解.
4．【答案】（1）解：因为且，设，则为减函数，
所以当时，，
要使有意义，则时，恒成立．
所以．所以．
又且，所以且，
所以的取值范围为；
（2）解：由（1）知，且，为减函数，
要使函数在上为增函数，
根据复合函数的单调性可知，，且
则，解得，
所以存在使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为.
【解析】【分析】（1）设，得到为减函数，根据题意转化为时，恒成立，得到，再结合对数函数的性质，即可求得的取值范围；
（2） 由（1）得到为减函数，根据复合函数的单调性可知，得到，求得的值，进而确定函数的最小值，得到答案.
5．【答案】（1）解：当a=0时，，x∈[，9].
∴，，
∴，
∴函数f(x)的值域为；
（2）解：令，
即函数的最小值为，
函数图象的对称轴为，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍）；
综上，实数a的值为或.
【解析】【分析】（1）由题意可得，结合定义域，可得函数的值域；
（2） 令，即函数的最小值为， 根据二次函数的性质，分类讨论，，，即可得到结果.
6．【答案】（1）解：由题意，函数，
使函数有意义，必须有，解得，
所以函数的定义域是，所以定义域关于原点对称，
所以
所以函数是奇函数.
（2）解：由，可得，
当时，可得，解得的取值范围是(0，)．
当时，有，解得的取值范围是(－，0)．
综上所述，当时，x的取值范围是(0，)，当时，x的取值范围是．
【解析】【分析】（1） 根据对数函数的性质，要使函数有意义，列出不等式组，求得函数的定义域，结合偶函数的定义与判定的方法，即可得到函数是奇函数；
（2） 根据题意，转化为，分和，两种情况，结合对数函数的性质，列出不等式组，即可求解.
7．【答案】（1）证明：设，
则，
，
，，，，
，，
故在上单调递增．
（2）解：由于，所以是偶函数，且在上单调递增，
，
两边同时平方可得，
解得或
所以原不等式的解集为或．
（3）解：由于，使得成立，
令，可知，
由于单调递增，，t在上单调递增，则由复合函数单调性知
函数在上单调递增，，
故，
即，
所以，
令，则，当时等号成立，
则，
则，
令，
所以当时，取得最大值，
则，
即的取值范围为．
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）根据函数单调性和奇偶性可得 ， 求解可得原不等式的解集.
（3）由于，使得成立，由于单调递增，，t在上单调递增，则由复合函数单调性可得， 利用基本不等式可求出 ，令 ，再利用二次函数的性质可求出实数的取值范围．
8．【答案】（1）解：当时，，，
又为上的偶函数，，
即当时，.
（2）解：当时，为减函数，为减函数，
又为上的偶函数，当时，为增函数；
，可化为，
，当时，，即的取值范围为.
【解析】【分析】（1） 当时，， 结合奇偶性可得，由此可得结果；
（2）根据对数型复合函数单调性和奇偶性可得单调性，将所求不等式化为，由，可得结果.
9．【答案】（1）解：当时，，
因为在上单调递增，且，
由得，解得：，
即不等式解集为.
（2）解：在时都有意义，即在上恒成立，
即在时恒成立，
即在时恒成立，
令，，则只需即可，
令，，
∵，，
当且仅当，，且，即时等号成立，
∴，
∴，即最大值为1，
∴，
∴的取值范围为.
【解析】【分析】（1） 时，， 再根据结合对数函数的单调性得到，即可求解；
（2） 在时都有意义，即在上恒成立，即在时恒成立，分离参数得 在时恒成立， 构造函数，
（），则只需即可，利用换元法令，， 结合基本不等式即可求解.
10．【答案】（1）解：因为是对数函数，所以，
解得.
（2）解：由（1）知，
，，
令，因为，，
所以t在上单调递增，且.
令，因为在上单调递增，
所以，.
因为有解，所以，
解得，即k的取值范围为.
【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义及定义域得， 解得；
（2） 由（1）知，，，令，由二次函数的性质得t在上单调递增，且，令，根据对数函数单调性得，计算计算求解即可.
11．【答案】（1）解：的定义域为等价于恒成立，
则，解得；
（2）解：的值域为等价于是值域的子集，
即存在，使得成立，
则，解得；
（3）解：时，，
，又是递增函数，
故，故的值域为.
【解析】【分析】（1）的定义域为等价于恒成立， 进而求解；
（2） 的值域为 ，等价于存在，使得成立， 进而求解即可；
（3） 时，先计算得，再借助的单调性进行求解.
12．【答案】（1）解：因为函数的图像过点，
所以，
即；
（2）解：因为，函数在区间上的最大值与最小值的差为2，
因为，故在上是增函数，
所以，
解得.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数的解析式代入法得出实数b的值。
（2）利用已知条件结合对数型函数的图象判断出函数的单调性，进而得出函数的最值，从而得出实数a的值。
13．【答案】（1）解：当时，，
对称轴为：，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增；
则，
所以在区间上的值域为；
（2）解：由，
令，可得，
即，
令，，，
函数在区间内有且只有一个零点，
等价于两个函数与的图象在内有唯一交点；
①当时，在上递减，
在上递增，
而，
所以函数与的图象在内有唯一交点.
②当时，图象开口向下，
对称轴为，
在上递减，
在上递增，
与的图象在内有唯一交点，
当且仅当，
即，
解得，
所以.
③当时，图象开口向上，
对称轴为，
在上递减，
在上递增，
与的图象在内有唯一交点，
，
即，
解得，
所以.
综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.
【解析】【分析】(1)由题意可得 ，利用二次函数的性质即可求解出 在区间上的值域；
(2) 函数在区间内有且只有一个零点，即 ，，，等价于两个函数与的图象在内有唯一交点，根据h(x)中a是否为零，以及图象开口方向与对称轴的位置讨论交点个数，即可求出a的取值范围 .
14．【答案】（1）解：由，，得，，
所以．
（2）解：由题得，
即，
所以，
解得，
所以，
所以不等的解集为．
（3）解：是奇函数，
由题得，
所以x<－1或x>1，
所以F（x）的定义域关于原点对称，
因为，
所以，
所以函数F（x）是奇函数．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合函数解析式代入法、指数与对数的互化公式以及指数幂的运算法则，进而得出 的值。
（2）利用已知条件结合对数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
（3）利用已知条件结合奇函数的定义，进而判断并证出函数F(x)的奇偶性。
15．【答案】（1）解：要使函数有意义，则必有，即，
解得，所以函数的定义域是 .
（2）解：函数是奇函数，
∵，，
∴函数是奇函数
（3）解：使，即
当时，有，，，且函数的定义域是，所以，
当时，有，即得解得.
综上所述：当时，的取值范围为；当时，的取值范围为.
【解析】【分析】 (1)根据对数函数的性质可得 可得函数的定义域；
(2)根据奇偶性定义判断即可；
(3)利用对数的运算，对a进行讨论，即可求出不等式 的解集.
16．【答案】（1）解：由题意知定点的坐标为，且点又在函数的图像上.
∴，即解得.
（2）解：由得，令，则，
.
∴当，即，时，，
当，即，时，.
【解析】【分析】 (1)由题意知定点的坐标 ，把点A的坐标代入 ，由对数的运算性质，可求出 的值；
(2) 利用对数运算性质求出x的取值范围，函数变成 ，再根据二次函数的性质求出最值.
17．【答案】（1）解：当时，即，即，解得；
（2）解：函数是偶函数，则，即，即，即，
∵，故；
（3）解：当时，，.
∵为减函数，故在上单调递增，且值域为
∵函数的图象与直线有公共点，故实数b的取值范围为.
【解析】【分析】（1）利用m的值得出函数的解析式，再结合对数函数的单调性和指数函数的单调性，进而得出不等式的解集。
（2）利用已知条件结合偶函数的定义，进而得出实数m的值。
（3） 利用m的值得出函数的解析式，再结合对数的运算法则得出，，再利用函数为减函数，故在上单调递增，且值域为，再结合函数的图象与直线有公共点，进而得出实数b的取值范围。
18．【答案】（1）解：因为在上为单调函数，
且函数在区间上的最大值与最小值之差为1，
所以，解得或.
（2）解：因为函数是上的减函数，
所以，即，
当时，，原不等式解集为；
当时，，原不等式解集为.
【解析】【分析】（1）已知函数在区间上最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可；
（2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集.
19．【答案】（1）解：当时，.
所以，
所以，
所以或，
此时是两个对着同一个，因此不是单调函数，
因此，没有反函数；
（2）解：令，则原函数可化为.
因为，
所以，即.
因为二次函数的对称轴为，
①当，即时，有最小值.
②当，即时，有最小值.
③当，即时，有最小值.
综上的最小值的解析式为
【解析】【分析】(1)利用a的值得出函数的解析式，再结合反函数求解方法得出函数f(x)的反函数。
（2） 令，则原函数可化为，再利用结合指数函数的单调性，进而得出t的取值范围，再结合二次函数的对称性结合分类讨论的方法，再利用二次函数的开口方向判断出二次函数的单调性，进而得出二次函数的最小值，从而得出函数的最小值的解析式。
20．【答案】（1）解：由得，故的定义域为，
而，故为奇函数，
（2）解：由，
得，解得，故原不等式的解集为
（3）解：
当时，，
故的值域为
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合奇函数的定义，进而证出函数为奇函数。
（2）利用已知条件结合对数型函数的单调性，进而得出满足不等式的x的取值范围。
（3）利用已知条件结合奇函数的定义和函数的单调性，进而得出当时的函数的值域。
21．【答案】（1）解：令，则.
因为的值域为，所以可以取遍所有正数，
所以，
整理得，解得，
又，
所以，即的取值范围为.
（2）解：因为的定义域为，
所以在恒成立，
所以，得或.
因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
又在上存在零点，
所以，当时，；
当时，
所以，解得.
所以，的取值范围为.
【解析】【分析】（1）由 的值域为，可得可以取遍所有正数，，求解可得的取值范围；
（2）由 的定义域为， 可得 在恒成立， 根据判别式得到不等式，求解可得 或，再利用复合函数的单调性可求得 的取值范围 .
22．【答案】（1）解：当时，，当时，，
在上的图象如图所示.
（2）解：由题意得的图象过定点.
当时，在上单调递增，所以，得.
当时，在上单调递减，所以，
得，即.
综上，的取值范围为.
【解析】【分析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号后可作出在上的图象；
（2） 由题意得的图象过定点 ，根据和 两种情况的单调性进行求解即可求出 的取值范围.
23．【答案】（1）解：要使函数有意义，则，
解得，
即函数的定义域为；
（2）解：
，
是奇函数.
（3）解：若，
解得：，
若，则，
，解得，
故不等式的解集为.
【解析】【分析】（1）根据函数成立的条件求出函数的定义域；
（2）根据奇偶性的定义进行判断即可；
（3）利用对数的运算性质结合对数函数的单调性可得不等式的解集.
24．【答案】（1）解：令，则，，故当，即时取最小值，故的值域为
（2）解：对于，都，使得，即.
由（1），，又在上为增函数，故，故，解得.
【解析】【分析】（1）利用换元法结合二次函数的性质可求出 的值域；
（2）由已知条件可得 ， 又在上为增函数， 可得 ，求解可得实数的取值范围.
25．【答案】（1）解：因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，即，解得.
（2）解：易知的定义域为R，令，
因为函数及都在上单调递增，所以在上单调递增，
根据复合函数的性质，可知在上单调递增，
又因为是定义在R的奇函数，所以在R上单调递增.
（3）解：由题意，在上恒成立，
等价于在上恒成立，
则在]上恒成立.
令，显然是增函数，则.
，所以在上恒成立.
则，令，则，
当且仅当，即时，等号成立.
所以所以，即，故的取值范围为.
【解析】【分析】 (1) 根据题意利用奇函数的定义分析求解；
(2)根据单调性的性质结合奇函数的对称性分析判断；
(3)由题意可得 在]上恒成立，换元， 分离常数结合基本不等式运算求解.
26．【答案】（1）解：因为在上单调递增，
当时，；当时，．
所以的值域为
（2）解：因为，所以或．
由（1）知，，
所以，即的取值范围是
（3）解：．因为，所以，
此时和均成立，所以的定义域为．
①当时，令，则．
所以恒有解，满足条件，此时．
②当时，，
因为，所以，
此时在上单调递减，
所以，与矛盾，此时不存在．
综上所述，的取值范围是．
②解法二：当时，，
所以，
此时，
即无解，不符合题意，此时不存在．
综上所述，的取值范围是．
【解析】【分析】（1）利用函数的单调性即可得出在上单调递增，从而得出结论；
（2）由题意可得先求出b的范围，再根据已知条件可推出a，b关系，从而求解；
（3）由可推出，结合已知条件，从而可求得复合函数的定义域，.再分类讨论b的范围，用函数解不等式恒成立即可.
27．【答案】（1）解：当时，
故 ，所以不等式的解集为；
（2）解：当时，，
，
.
（3）解：在（2）的条件下，不等式化为，
即在区间上有解. 令，则，
，，
，又是正整数，故的最大值为3.
【解析】【分析】利用已知条件和a的值得出函数的解析式，再结合对数函数的单调性，进而得出不等式 的解集。
（2）利用已知条件结合函数的解析式和代入法以及换底公式和对数的运算法则，进而用m，n表示出 。
（3） 在（2）的条件下，不等式化为 在区间上有解，令，再利用函数求最值的方法得出函数的最值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而结合是正整数，从而得出的最大值。
28．【答案】（1）解：因为满足性质，
所以对于任意的x，恒成立.
又因为，
所以，，
，
由可得，
由可得，
所以，.
（2）解：若正数满足，等价于，
记，
显然，，
因为，所以，，即.
因为的图像连续不断，
所以存在，使得，
因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.
（3）证明：若，则1即为零点；
因为，若，则，矛盾，故，
若，则，，，
可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
若，则由，可得，
由，可得，
由，可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
综上，函数存在零点.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合恒成立问题求解方法，再结合函数的性质和代入法得出函数的值，从而得出 的值 。
（2） 若正数满足等价于，记， 再结合函数零点存在性定理，所以存在，使得，因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和。
（3）利用已知条件结合分讨论的方法和零点存在性定理，进而证出函数f(x)存在零点。
29．【答案】（1）解：因为函数的图像与函数的图像关于直线对称，即与互为反函数，所以
当，有，
则，
又时，，所以，
所以，
当且仅当，即时等号同时成立，所以在上的最大值为；
（2）解：，
等价于，即，因为，
当时，恒成立，所以，
则，所以在上单调递增，所以；
当时，，此时当时，，当时，，所以，
在上单调递减，在上单调递增，所以；
当时，，当时，与上一种情况相同，所以；
当时，恒成立，所以，则，所以在上单调递减，所以；
综上，的最小值.
【解析】【分析】（1） 利用函数的图像与函数的图像关于直线对称，即与互为反函数，所以，当，有，
则，当时结合不等式的基本性质和对数函数的单调性，再结合函数的单调性得出函数在上的最大值。
（2）利用 ，则等价于，即，再利用，再利用分类讨论的方法结合不等式恒成立问题求解方法和函数的单调性，进而得出函数最值，从而得出当时，恒成立，所以，则，再利用复合函数的单调性，即同增异减，所以在上单调递增，再利用函数的单调性求出函数的最小值，从而得出 的最小值。
30．【答案】（1）解：由题意得，
所以，．
令，，设，，
则为开口向上，对称轴为的抛物线，
在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为．
（2）解：①设在上存在满足“奇点函数”性质，
则．
令，则，
当且仅当时取等号，又，
所以，即，
所以，
所以，
所以；
②设在存在满足“奇点函数”性质，则，
即有解，
因为在上单调递减，
所以；
同理当在存在满足“奇点函数”性质时，
解得；
所以实数m的取值范围．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合反函数求解方法，进而得出函数g(x)的解析式，从而得出F(x)的解析式，再利用换元法和x的取值范围以及二次函数的图象求最值的方法，从而得出函数F(x)的最小值。
（2） ①设在上存在满足“奇点函数”性质，则，令，再利用均值不等式求最值的方法结合，进而得出t的取值范围，所以，再结合函数求值域的方法得出实数m的取值范围；
②设在存在满足“奇点函数”性质，则，即有解，再利用在上单调递减，进而得出实数m的取值范围，同理当在存在满足“奇点函数”性质时，进而得出实数m的取值范围，再结合教教你的运算法则，从而得出实数m的取值范围。
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