高中数学人教A版（2019）必修1 4.5 函数的应用（二）之二分法、零点 选择题专项练习题（含解析）

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4.5 函数的应用（二）之二分法、零点 选择题专项
一、选择题
1．（2023高二上·昆明开学考）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023高二上·恩施期末）关于x的一元二次不等式的解集为，则的取值范围（　　）
A．a >0 B．01
3．（2023高二下·福州期末）函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023高一下·衢州期末） 函数零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023高二下·嘉兴月考）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高三上·哈尔滨开学考）方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数的定义域为，且若方程有两个不同实根，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·梅州模拟）用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023高一下·孝感开学考）若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程的一个近似解（精确度0.04）为（　　）
A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375
10．用二分法求方程 在[ 上的根时，取中点 ，则下一个有根区间为（　　）
A． B．
C． D．
11．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（　　）
A． B． C． D．
12．用二分法求函数 在区间 上的零点，要求精确度为 时，所需二分区间的次数最少为（　　）
A． B． C． D．
13．（2023·联合模拟）已知函数，若关于x的方程有且仅有四个相异实根，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
14．（2022高一上·如皋期中）关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
15．（2022高三上·玉溪月考）已知函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
16．（2022高一下·深圳期末）已知函数，则方程的解的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2022·宜宾模拟）定义在R上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程恰有5个解，则m的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
18．（2022·江西模拟）已知函数的图象关于直线对称，对，都有恒成立，当时，若函数的图象和直线，有5个交点，则k的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
19．（2022高一下·深圳期中）已知函数，若方程有六个相异实根，则实数的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
20．（2022高三上·天津市期末）已知，函数若恰有2个零点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
21．若是方程的解，则（　　）
A． B． C． D．
22．（2024高三上·硚口）若函数有两个零点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
23．（2023高一下·安徽竞赛）已知函数，若，是函数的两个零点，且，则实数（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
24．（2023高二下·安康月考）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
25．（2022高一上·杭州期末）函数，若，则的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
26．（2023高二下·成都期末）已知方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
27．（2022高二下·德州期末）设，已知关于x的方程恰有6个不同的实数根，则k的取值范用为（　　）
A．（-2，0） B．（-3，-2） C．［-3，-2） D．［-2，0）
28．（2023高二下·高台月考）已知函数若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
29．（2023高二下·浙江期中）已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
30．若函数在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“等域区间”.下列函数存在“等域区间”的是（　　）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A、函数 在上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，A不符合题意；
B、函数 在上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，B不符合题意；
C、函数 在上连续，有零点但函数值在零点两侧同号，不可用二分法求零点，C符合题意；
D、函数 在上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二分法求零点定义知函数连续且零点存在性，同时存在符号互异的函数值，进而判断选项.
2．【答案】B
【解析】【解答】要使一元二次不等式的解集为，则需满足，
故答案为：B
【分析】 根据判别式列出不等式求得a的取值范围.
3．【答案】C
【解析】【解答】 ， ，
又 在 上单调递增，
在区间 存在唯一零点.
故答案为：C.
【分析】 利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间.
4．【答案】B
【解析】【解答】为增函数，
由零点存在定理可得B正确.
故答案为：B
【分析】先判断，再由零点存在定理即可解得.
5．【答案】A
【解析】【解答】原不等式变形得m<
问题转化为m<在（0，2]上有解.
设
由于，当且仅当x=时取得等号.
则g(x)max=
故m<， 选择A
【分析】通过参变量分离，将问题转化为m<在（0，2]上有解，通过基本不等式求出右边式子得最大值，因此m<.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：结合函数与的图像可得两个函数图象有两个交点，即方程 |x2-2x|=a2+1
解有两个.
故答案为：B
【分析】先画出函数的图像，再结合把方程的解的个数转换成函数图象交点的个数问题即可
7．【答案】A
【解析】【解答】解：函数 的图象如图所示，
当 时，函数 的图象与函数 的图象有两个交点，
即方程 有且只有两个不相等的实数根．
故答案为：A
【分析】函数 的图象，结合图象得到 时，函数 的图象与函数 的图象有两个交点，即可求解.
8．【答案】B
【解析】【解答】令，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
，
所以函数在区间上有唯一零点，
所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是.
故答案为：B.
【分析】令，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案.
9．【答案】D
【解析】【解答】由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0.03125，满足精度要求，观察各选项，只有D中值1.4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，
故答案为：D．
【分析】由表格结合零点存在定理知零点在上，区间长度为0.03125，满足精度要求，结合二分法的定义可得答案.
10．【答案】D
【解析】【解答】令 ,
因为 ,
,
,
所以下一个有根区间为 .
故答案为：D
【分析】通过计算 ,可得答案.
11．【答案】C
【解析】【解答】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f（a） f（b）＜0A、B中不存在f（x）＜0，D中函数不连续．
故答案为：C．
【分析】根据函数图象理解二分法的定义，函数f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且有f（a） f（b）＜0．即函数图象连续并且穿过x轴．
12．【答案】C
【解析】【解答】开区间 的长度等于1 ，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过 此操作后，区间长度变为 ，
用二分法求函数 在区间 上近似解，
要求精确度为 ，
，解得 ，
故答案为：C.
【分析】根据二分法分特点，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，即可确定达到要求精度时所需二分法次数.
13．【答案】D
【解析】【解答】
，，
关于的方程有且仅有四个相异实根，
根据对称性知，时，有且仅有两个相异实根，
即在上有两个不相等的实数根，
化简得：.
令，，
由，得，由，得，
在为减函数，为增函数，
又时，，
时，，的简图如图所示：
直线恒过点， ，，
时，此时直线相切，直线与曲线只有一个公共点， 此时方程在上有一个实数根，不符合题意；
由图可知当或时，直线与均有两个公共点，
即方程在上有两个不相等的实数根，
∴关于的方程有且仅有四个相异实根时， 的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】由已知根据对称性知，时，有且仅有两个相异实根，即在上有两个不相等的实数根，结合图像，可求出实数k的取值范围.
14．【答案】D
【解析】【解答】令，要满足在上有两个不相等的实根，则
，解得
故答案为：D
【分析】根据题意可得，求解可得实数的取值范围.
15．【答案】D
【解析】【解答】函数 的大致图象如图所示，对于方程 有5个不同的实数解，
令 ，则 在 ， 上各有一个实数解或 的一个解为-1，另一个解在 内或 的一个解为-2，另一个解在 内.
当 在 ， 上各有一个实数解时，设 ，则 解得 ；
当 的一个解为-1时， ，此时方程的另一个解为-3，不在 内，不满足题意；
当 的一个解为-2时， ，此时方程的另一个解为 ，在 内，满足题意.
综上可知，实数a的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】作差函数 的大致图象，对于方程 有5个不同的实数解，令 ，则 在 ， 上各有一个实数解或 的一个解为-1，另一个解在 内或 的一个解为-2，另一个解在 内，分类讨论，求出实数a的取值范围.
16．【答案】C
【解析】【解答】解：令，得，
则方程的解的个数即函数与函数的图象的交点的个数．
作出函数与函数的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，
故方程的解的个数为2个．
故答案为：C
【分析】首先由反比例函数以及一次函数的图象作出函数f(x)的图象，然后由数形结合法结合题意即可得出答案。
17．【答案】B
【解析】【解答】∵，
∴函数关于直线对称，又为定义在R上的偶函数，
故函数关于直线对称，
作出函数与直线的图象，
要使关于x的方程恰有5个解，则函数与直线有5个交点，
∴，即.
故答案为：B.
【分析】 由题可知函数y= f (x)与直线y= m(x + 1)有5个交点，利用数形结合即得答案.
18．【答案】C
【解析】【解答】由题设关于y轴对称，即为偶函数，
又，则，即是周期为4的函数，
若，则，故，
所以且，又过定点，
所以与的部分图象如下图示：
当过时，；
当过时，；
由图知：时，和直线有5个交点.
故答案为：C
【分析】首先整理化简已知条件就得出函数为偶函数，由此作出函数的图象，利用数形结合法即可得出满足题意的k的取值范围，从而得出答案。
19．【答案】D
【解析】【解答】的图像如图所示：
则要使方程有六个相异实根即使在上有两个相异实根；
则解得：.
故答案为：D.
【分析】先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题，同时再结合函数f (x)的图象，确定b的取值范围.
20．【答案】B
【解析】若是一个零点，则只有一个零点，即有，且此时当时，只有一个实根，而，解方程根得，易得.
即当时，恰有2个零点，.
若不是函数的零点，则为函数的2个零点，于是
.
综上：.
故答案为：B.
【分析】若是一个零点，则只有一个零点，即有，且此时当时，只有一个实根，利用二次函的性质求解可得 的取值范围 .
21．【答案】C
【解析】【解答】解：令，显然单调递增，又，，只有一个零点且在，.
故答案为：C.
【分析】令，结合函数单调性和零点存在性定理判断取值范围.
22．【答案】B
【解析】【解答】解： 有两个零点，
令，则在 有两个零点，
，令解得，在 和单调递减，在 单调递增，要使在 有两个零点，则，解得 .
故答案为：B.
【分析】 函数有两个零点，即在 有两个零点，进而求导分析.
23．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，将x1代入g(x)得：ex1+e1-x1-a=0，即，即，
同理将x2代入g(x)得，
设方程t2-at+e=0，则ex1，ex2是方程的两个根，其中t1=ex1，t2=ex2，
则有ex1ex2=t1t2=e，即x1+x2=1，
又因为f(x1)+f(x2)=-4，
即ex1-e1-x1-ax1+ex2-e1-x2-ax2=-4，
即ex1-e1-x1-ax1+e1-x1-ex1-a(1-x1)=-a=-4，
∴a=-4，
故答案为：C．
【分析】根据题意，将x1、x2代入函数g(x)，整理得到ex1，ex2是方程t2-at+e=0的两个根，利用换元法，得到x1+x2=1，代入f(x1)+f(x2)=-4，化简求解a即可.
24．【答案】B
【解析】【解答】解：A 因为恒成立，故A选项不正确.
B 当x>0时，令则恒成立，所以g(x)在上单调递增，
即在上单调递增，又
由零点存在定理可得在上存在零点即所以f(x)在（0，）上单调递减，上
单调递增，f(x)在处取得最小值即
所以即f(x)的极小值大于3，故B选项正确，CD选项不正确.
故答案为：B
【分析】先根据f(x)大于零恒成立可排除A选项，当x>0时，对f(x)二次求导可判断f(x)在（0，）上单调递减，上单调递增，结合二次函数求最值可求出f(x)的极小值大于3，即可求解.
25．【答案】A
【解析】【解答】令，解得或，
即函数的零点为和a，又，
由零点的存在性定理，得，
，
所以，，
又，得，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合函数零点的求解方法以及零点存在性定理，进而结合作差法比较出 的大小关系 。
26．【答案】D
【解析】【解答】，
设，
分别作出如下图像：
所以f(x)函数图象是以D(1，0)，半径为1的半圆
当相切时，只有一个交点，
圆心D(1，0)到直线的距离，
，此时只有一个交点，
由题意可知函数图象有两个不等的实根，
当图像过点B时，
代入B(2，0)得，
但时，
，
时，有两个不同根.
故选：D.
【分析】首先结合将方程进行化简，得到两个函数，结合图像存在两个不同的交点，利用点到直线距离公式，求出m范围.
27．【答案】B
【解析】【解答】 的图象如图所示，
令，设关于 的方程的两个根分别为 ，由关于 的方程恰好有6个不同的实数根，等价于关于 的图象与 公有6个交点，由图可知： 或者，设，当时，则 ；
当， 则 不符合要求；
故
故答案为：B
【分析】由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，结合二次函数的图象作出函数f(x)的图象，利用数形结合法以及方程根的情况，即可得出关于k的不等式组，求解出k的取值范围即可。
28．【答案】D
【解析】【解答】解：函数恰有三个零点，问题转化为函数和函数图象恰有三个交点，当和，画出两函数图象，由图象可知函数与恰有三个交点，满足题意；
当时，由，求导得，所以函数在原点的切线斜率为2，设过原点的直线与函数相切于点，对函数求导可得，，所以切线为，又因为切线过原点，所以，解得，由图可知当时，只有时，两函数图象有3个交点，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】 函数恰有三个零点，将问题转化为函数与图象恰有3个不同的交点，当和时，画出图象，由图象可知两图象恰有3个交点，满足题意；当，分别求函数，过原点的切线，再画出图象，结合图象求满足条件的实数的范围即可.
29．【答案】C
【解析】【解答】存在两个零点，则有两个不同的实数根，
当时，只有一个零点，不符合题意，故，
即有两个不同的实数根，
记，
当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，故当时，取极大值也是最大值，
又当时，，如图为的图象
要使有两个不同的实数根，则，所以，
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合函数的零点与方程的根的等价关系，所以有两个不同的实数根，当时，只有一个零点，不符合题意，故，即有两个不同的实数根，
记当时结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极大值，再利用比较法得出函数的最大值，当时，，再结合的图象，要使有两个不同的实数根，从而得出t的取值范围。
30．【答案】B,C
【解析】【解答】解： 由题意可知：若函数存在“等域区间”，等价于与直线至少有2个交点时，
结合图象可得：
对于A：因为 与相切，只有1个交点，故A错误；
对于B：因为 与有2个交点，故B正确；
对于C：因为 与有2个交点，故B正确；
对于D：因为 与相切，只有1个交点，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】根据题意可知若函数存在“等域区间”，等价于与直线至少有2个交点时，利用图象逐项分析判断.
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