高中数学人教A版（2019）必修1 4.5 函数的应用（二）之分段函数专项练习题（含解析）

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4.5 函数的应用（二）之分段函数专项
一、选择题
1．（2022高一上·沈阳期中）设，则的值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2022高一上·沈阳期中）设函数则（　　）
A． B． C．10 D．-8
3．（2022高二下·宁波期末）已知，则f(3)=（　　）
A．3 B．5 C．7 D．9
4．（2023·广东模拟）已知函数若，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·山西模拟）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
6．（2023·榆林模拟）已知函数满足，当时，，若对任意的，都有，则m的最大值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2023·武汉模拟）已知函数，若的值域是，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023高一上·岳阳期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023高一上·张家口期末）已知函数，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2022高三上·临沂期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 4元
超过但不超过 6元
超过 8元
若某户居民上月交纳的水费为66元，则该户居民上月用水量为（　　）
A． B． C． D．
11．（2022高一上·河北期中）已知函数设，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
12．（2022高一上·博罗期中）已知函数，则不等式的解集为（　　）．
A． B．
C． D．
13．（2022高一上·常州月考）已知函数 的最小值为，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2022高一上·河南月考）某企业生产一种化学产品的总成本（单位：万元）与生产量（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，要使每吨的平均生产成本最少，则生产量控制为（　　）
A．20吨 B．40吨 C．50吨 D．60吨
15．（2022高一上·河南期中）已知函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
16．（2022高三上·聊城期中）已知函数，若函数在R上有两个零点，则m的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
17．（2022高一上·青岛期中）某地供电公司．为鼓励小微企业增加夜间时段用电，规定在月度所属夜间计费时段内采用按用电量分段计费的方法来计算电费，夜间月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数关系如图所示，当夜间月用电量为300度时，应交电费为（　　）
A．130元 B．140元 C．150元 D．160元
18．（2022高一上·湖南期中）已知函数的定义域为，当时，，若对，，使得，则正实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
19．（2022高一上·嘉善月考）已知f（x）=使f（x）≥–1成立的x的取值范围是（　　）
A．[–4，2） B．[–4，2] C．（0，2] D．（–4，2]
20．（2022高一下·揭东期末）设表示函数在闭区间I上的最大值．若正实数a满足，则正实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
21．（2022高二下·舟山期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
22．（2022·浙江模拟）已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
23．（2022·天津市模拟）定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（　　）
A．的值域为
B．图象的对称轴为直线
C．当时，
D．方程恰有5个实数解
24．（2022高一下·岑溪期中）函数 ，若 ，则实数a的值为（　　）
A．±1 B．-2或±1 C．-1 D．-2或-1
二、解答题
25．（2023高二下·浙江月考）已知函数满足，其中.
（1）求实数的值；
（2）若对于任意的，均有成立，求实数的取值范围.
26．（2023高三下·上海市开学考）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
27．（2023高一下·湖南期中）已知函数的最小值为.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
28．（2023高一上·五华期末）已知函数.
（1）在所给坐标系中作出的简图；
（2）解不等式.
29．（2023高一上·孝义期末）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完（利润=销售额—成本）
（1）求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
（2）当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
30．已知函数.
（1）画出的图象；
（2）求的解集.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】，
又，
故的值为11.
故答案为：D
【分析】由分段函数解析式计算即可得解.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：函数，所以.
故答案为：A.
【分析】根据分段函数解析式，直接代入求值即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】.
故答案为：B
【分析】由分段函数的解析式，把数值代入到合适的式子计算出结果即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】由解析式易知：在R上递增，又，
所以，则.
故答案为：D
【分析】由指数函数的性质判断分段函数的单调性，结合已知不等式求参数范围.
5．【答案】C
【解析】【解答】由题意可知
所以，，，而无解.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件求出，利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解.
6．【答案】B
【解析】【解答】因为函数满足，则，
当时，，，
当时，，，，
当时，，，，
当时，，或.
时，恒成立，时，
因为任意的，，
所以，故m的最大值是5.
故答案为：B
【分析】根据题意作出函数f (x)的在x∈[0， 5]上的图象，结合图象即可求出 m的最大值 .
7．【答案】B
【解析】【解答】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当，值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故答案为：B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】因为函数为上的增函数，
所以，函数在上为增函数，可得，
函数在上为增函数，可得，且有，
所以，，解得.
故答案为：D.
【分析】利用分段函数的单调性进行分析，列出不等式组求解即可.
9．【答案】B
【解析】【解答】因为，，
所以，
因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】由分段函数得，.
10．【答案】C
【解析】【解答】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，
当时，，
当时，，
当时，.
故若某户居民上月交纳的水费为66元，则用水量在内，令，解得.
故答案为：C.
【分析】设用户的用水量为，缴纳的水费为元，求出关于的函数解析式，再令，解出，即可得解.
11．【答案】A
【解析】【解答】当时，，
，当时，，
，当时，，则，
当时，，
（当且仅当时等号成立），当时，，（当且仅当时等号成立），当时，，
则.
综上，
故答案为：A．
【分析】分和两种情况，分别解不等式即可求出a的取值范围 .
12．【答案】A
【解析】【解答】当时，单调递减，且；
当时，单调递减，且；
故在上单调递减，所以，解得。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式，再利用分类讨论的方法结合函数的单调性，进而得出不等式 的解集 。
13．【答案】A
【解析】【解答】当时，，当且仅当时取等号，故此时的最小值为，
当时，，对称轴为，
当时，在单调递减，此时最小值为，要使的最小值为，则，
当时，在单调递减，在单调递增，此时最小值为，不满足的最小值为，
综上
故答案为：A
【分析】根据二次函数的性质以及基本不等式即可每一段上函数的最值，进而可得的最值.
14．【答案】B
【解析】【解答】因为总成本y与生产量x之间的关系为，
设平均生产成本为，则，
当时，，
则时，最小为100，
当时，，
当且仅当，即时，最小为90，
综上，，即生产量控制在40吨时，每吨的平均生产成本最少。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式，再结合分类讨论的方法，再利用函数求最值的方法和比较法，进而得出分段函数的最小值，从而得出生产量控制在40吨时，每吨的平均生产成本最少。
15．【答案】C
【解析】【解答】∵函数在上是增函数，
∴，求得，
故答案为：C．
【分析】根据已知条件，列出不等式组，解该不等式组即得实数a的取值范围.
16．【答案】D
【解析】【解答】因为函数，
当时，令可得，解得，所以在上有一个零点，又函数在R上有两个零点，所以当时，方程有一个根，所以方程在上有一个根，即函数与函数的图象在时有且只有一个交点，作函数的图象如下：
观察图象可得，所以，所以m的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】 当x<0时，f(x)=2x+1有一个零点，只需当x≥0时，有一个根，利用“分离参数法”结合函数图象求解出 m的取值范围 .
17．【答案】D
【解析】【解答】结合函数图象可知，当时，与之间是一次函数，设
当时，；当时，；
则，解得，
此时；
所以当时，。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合函数的图象和待定系数法，从而结合代入法得出函数的解析式，再利用函数的解析式和代入法得出当夜间月用电量为300度时应交的电费。
18．【答案】C
【解析】【解答】对，，使得，，
当时，，
当时，，，
由得，
又，在上为增函数，，，，
的取值范围为
故答案为：C．
【分析】转化为，结合分段函数和一次函数性质，求解即可.
19．【答案】B
【解析】【解答】∵f（x）≥–1，∴或，∴–4≤x≤0或0故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法和一元一次不等式求解方法以及一元二次不等式求解方法，进而结合并集的运算法则，从而得出使f（x）≥–1成立的x的取值范围。
20．【答案】A
【解析】【解答】函数的图像如下：
的对称轴为x=2，，；
分类讨论如下：①当时，，
依题意，，而函数在时是增函数，，
，故不可能；
②当时，，依题意，，即，
令，解得：，，，，如图；
则有：并且，解得：；
或者并且，无解；
故答案为：A.
【分析】作图分析函数的特点，再分类讨论可得正实数a的取值范围 .
21．【答案】A
【解析】【解答】因为，当时函数单调递增且，当时函数单调递增且，所以在定义上单调递增，所以等价于，解得
故答案为：A
【分析】 判断函数f (x)在R上是单调增函数，把不等式化为，求解可得实数a的取值范围.
22．【答案】A
【解析】【解答】由题设，，图象如下：
所以，
又是R上的增函数，所以对恒成立，
所以，则，即．
故答案为：A．
【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，易知f (x)单调递增且关于(0， 1)对称，再将不等式转化为结合单调性求实数a的取值范围 .
23．【答案】C
【解析】【解答】解：因为，所以，即，即是以4为最小正周期的周期函数，
因为，所以的部分函数图象如下所示：
所以函数的值域为，A不符合题意；
函数的对称轴为，B不符合题意；
当时，，所以，所以当时，，C符合题意；
方程的解的个数，即的解的个数，即函数与的交点个数，结合函数图象可知，函数与只有4个交点，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】 依题意可得，f (x)是以t为最小正周期的周期函数，再根据[-1， 3]上的解析式，画出函数的部分图象，结合函数图象，逐项进行判断，可得答案.
24．【答案】C
【解析】【解答】当 时，令 ，与 矛盾，不合题意；
当 时，令 ，取 ，符合题意。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合分段函数的解析式和代入法，进而得出实数a的值。
25．【答案】（1）因为，即，
可得，
若，则，不恒成立，不合题意；
若，则；
综上所述：.
（2）当时，不等式显然成立；
当时，等价于，
设，
（ⅰ）当，即时，
当时，；
当时，；
所以，故；
（ⅱ）当，即时，
当时，；
当时，；
因为，即。
所以；
综上所述：，可得.
所以实数的取值范围.
【解析】【分析】（1）根据题目所给的等式，代入求解方程即可；
（2）将绝对值打开，以a=1为分界点，分成、两段进行讨论.
26．【答案】（1）解：当时，
，
当时，
，
所以年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式为
（2）解：当时，，
所以函数在上单调递增，所以当时， 取得最大值1450，
当时，
，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1490，
因为，
所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元
【解析】【分析】（1）分和两种情况，由利润 = 销售收入—成本，知，再代入的解析式，进行化简整理即可；
（2）当时，利用配方法求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，比较两个最大值后，取较大的即可.
27．【答案】（1）解：函数，对称轴为，
当即时，函数在上单调递增，
所以，即；
当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即；
当即时，函数在上单调递减，
所以，即，
故.
（2）解：由（1）知，当时，，函数单调递减，
当时，，对称轴为，函数在上单调递减，
当时，，函数单调递减，
注意到是连续函数，所以函数在R上单调递减.
由，得，解得，
故实数m的取值范围为.
【解析】【分析】（1）根据题意可知二次函数对称轴为，分类讨论当、、时函数的单调性，求出对应的最小值即可；
（2）由（1），结合一次函数、二次函数的性质可知函数在R上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可求解.
28．【答案】（1）解：的简图如下：
；
（2）解：由已知得或，
解得或，
即不等式的解集为．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分段函数的解析式画出分段函数的图象。
（2）利用已知条件结合分段函数的图象得出不等式的解集。
29．【答案】（1）解：由题意得当时，，
当时，，
所以，
（2）解：由（1）得当时，，
当时，，
当时，
，当且仅当，即时等号成立，
，时，，，
时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.
【解析】【分析】（1）根据题意分情况列式即可；
（2）根据分段函数的性质分别计算最值.
30．【答案】（1）解：当时，；
当时，；
当时，；
故，函数图象如图所示：
；
（2）解：由题得，当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
综上，的解集为或.
【解析】【分析】(1)根据绝对值的意义采用“零点分段法”求出函数解析式，进而可得函数 的图象；
(2)根据分段函数的意义在每一 段上分别求解不等式，即可得 的解集.
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