高中数学人教A版（2019）必修1 5.1 弧度制与角度制章节综合练习题（含解析）

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5.1 弧度制与角度制
一、选择题
1．（2023高一下·卧龙月考）已知角2022°，则角的终边落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023高一下·钦州月考）已知角，则符合条件的最大负角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022高一上·攀枝花期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．锐角是第一象限的角
B．终边相同的角必相等
C．小于的角一定为锐角
D．第二象限的角必大于第一象限的角
4．（2020高一上·南县月考）小明出国旅游，当地时间比中国时间快一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023高一下·资阳期末）若角α是第二象限角，则是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
6．（2023高一下·黄浦期末）在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
7．（2023高一下·湖口期中）若是第四象限角，则是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
8．（2023高一下·钦州月考）若是第三象限角，则所在的象限是（　　）
A．第一或第二象限； B．第三或第四象限；
C．第一或第三象限； D．第二或第四象限．
9．（2023高一下·钦州月考）已知集合，则下列集合与P相等的是（　　）
A．
B．
C．
D．或
10．（2023高一上·密云月考）若，，则角是（　　）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
11．（2023高三上·安徽月考）设角是第一象限角，且满足，则的终边所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2023高二上·西乡县开学考）下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2023高一下·钦州月考）下列各角中，与角终边相同的角为（　　）
A． B． C． D．
14．（2023高一下·钦州月考）下列选项中，与角终边相同的角是（　　）
A． B． C． D．
15．（2022高一上·诸暨期末）一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于（　　）
A． B． C． D．1
16．（2022高三上·河北月考）如图所示的时钟显示的时刻为4：30，设半个小时后时针与分针的夹角为，则（　　）
A． B． C． D．
17．（2022高一下·上饶期末）时针经过四个小时，转过了（　　）
A． B． C． D．
18．（2022高一下·宿州期中）将210°化成弧度为（　　）
A． B． C． D．
19．（2022·凉山模拟）如图，是共享单车前轮外边沿上的一点，前轮半径为，若单车向右行进时（车轮无滑动），下列描述正确的是（　　）
A．点在前轮的左下位置，距离地面约为
B．点在前轮的右下位置，距离地面约为
C．点在前轮的左上位置，距离地面约为
D．点在前轮的右上位置，距离地面约为
20．（2021高一下·南通期末）英国数学家泰勒发现了如下公式： ，其中 ．根据该公式可知，与 的值最接近的是（　　）
A． B．
C． D．
21．（2020高一上·梅州期末）“密位制”是用于航海方面的一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分为6000等份，每一个等份是一个密位，那么200密位对应弧度为（　　）
A． B． C． D．
22．（2023高一下·湖南期末）令圆锥的底面半径为r，母线长为l，若，则圆锥的侧面展开图的圆心角为（　　）
A． B． C． D．
23．（2023高一下·浙江期中）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
24．（2023·深圳模拟）圆锥侧面展开图扇形的圆心角为60°，底面圆的半径为8，则圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
25．（2023高一下·钦州月考）下列说法正确的是（　　）
A．第二象限角比第一象限角大
B．角与角是终边相同角
C．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D．将表的分针拨快10分钟，则分针转过的角的弧度数为
26．（2023高一下·浦东期末） 下列命题中正确的是（　　）
A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角
C．第二象限的角是钝角 D．小于90°的角都是锐角
27．（2023·广东模拟）已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（　　）
A． B． C． D．
二、解答题
28．（2023高一下·钦州月考）若，，试确定，分别是第几象限角．
29．（2023高一下·钦州月考）如图，写出终边落在阴影部分的角的集合
（1）
（2）
30．（2023高一下·钦州月考）已知.
（1）写出与角终边相同的角的集合；
（2）写出在内与角终边相同的角.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】因为，
所以角与222°角的终边相同，
222°角的终边在第三象限，所以角的终边落在第三象限，
故答案是：C.
【分析】利用终边相同的角和象限角求解。
2．【答案】A
【解析】【解答】依题意，，
取时，有最大负角.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合最大负角求解方法，进而结合k的值得出符号条件的最大负角。
3．【答案】A
【解析】【解答】对于A中，根据锐角的定义，可得锐角满足是第一象限角，所以A符合题意；
对于B中，例如：与的终边相同，但，所以B不正确；
对于C中，例如：满足，但不是锐角，所以C不正确；
对于D中，例如：为第一象限角，为第二象限角，此时，所以D不正确.
故答案为：A.
【分析】根据锐角的定义，可判定A正确；利用反例可分别判定B、C、D错误，即可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】由题意知：时针需要顺时针旋转 ，即转过的角的弧度数 .
故答案为：D.
【分析】 需要将表的时针顺时针旋转周角的，即转过的角的弧度数 。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：根据α是第二象限角，得，即.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角
故答案为：C.
【分析】根据角α是第二象限角，得到，由分k为奇数和偶数求出是第三或第一象限角．
6．【答案】D
【解析】【解答】解：因为是与关于y轴对称的一个角，所以与的终边相同，
即，所以.
故答案为：D.
【分析】根据角与角的终边关于y轴对称，即可确定角与角的关系．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 是第四象限角，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以是第三象限角.
故选：C
【分析】由 是第四象限角得到 的范围，再计算 的范围，即可得到 所在的象限.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：因为α为第三象限角，即，
所以，
当k为奇数时， 是第四象限的角，
当k为偶数时， 是第二象限的角.
故选：D.
【分析】根据α是第三象限角的范围，可判断所在的象限.
9．【答案】D
【解析】【解答】A选项，表示终边在y轴的角的集合，
B选项，表示终边在x轴的角的集合，
C选项，表示终边在y轴非负半轴的角的集合，
D选项，表示终边在坐标轴的角的集合，
故选：D.
【分析】分别判断各选项表示终边的位置即可得出答案.
10．【答案】D
【解析】【解答】根据三角函数的定义有，所以，
所以在第四象限，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合象限角的判断方法，进而找出正确的选项。
11．【答案】C
【解析】【解答】由角是第一象限角，有，可得，可知为第一或第三象限角，又由，可得为第三象限角.
故答案为：C.
【分析】利用象限角的定义判断θ的取值范围，再通过解不等式得到的范围，得到其可能象限，再利用绝对值等式进一步确定所在象限。
12．【答案】A
【解析】【解答】解：因为，所以与角的终边相同的角的表达式为.
故答案为：A.
【分析】利用角度制与弧度制的互化公式，结合终边相同的角的特征可得答案.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：与26°角终边相同的角为θ=k·360°+26° ，k∈Z ，
对选项A：取θ=k·360°+26°=206° ，不是整数解，排除；
对选项B：取θ=k·360°+26°=-334° ，k=-1 ，正确；
对选项C：取θ=k·360°+26°=116° ，不是整数解，排除；
对选项D：取θ=k·360°+26°=-1546° ，不是整数解，排除；
故选：B
【分析】确定26°角终边相同的角为θ=k·360°+26° ，k∈Z ，再依次判断每个选项即可.
14．【答案】D
【解析】【解答】解：与角 终边相同的角表示为θ=-30°+360°·k，k∈Z ，
当k=1 时，θ=330° ，故330°与角终边相同.
故选：D
【分析】首先表示出与α终边相同的角，再根据选项判断即可.
15．【答案】B
【解析】【解答】根据题意：作出如下图形，，
则为等边三角形，故.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合等边三角形的定义，进而得出这条弦所对的圆心角对应的弧度数。
16．【答案】B
【解析】【解答】半小时后是5：00整，时针指向5，分针指向12，．
故答案为：B．
【分析】根据时钟夹角的特点，结合弧度制的定义，即可得到相应的角.
17．【答案】B
【解析】【解答】时针顺时针旋转，转过一圈（12小时）的角度为，
则时针经过四个小时，转过了。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合角度与弧度的互化公式，进而得出时针经过四个小时，转过了的弧度数。
18．【答案】D
【解析】【解答】。
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合角度与弧度的互化公式，进而将210°对应的弧度数。
19．【答案】D
【解析】【解答】自行车在向右行进的过程中，点在前轮上按照顺时针的方向在旋转，
点转过的弧度数为，
而弧度为第一象限角，故点在前轮的右上位置，
距离地面约为.
故答案为：D.
【分析】根据题意由圆心角公式结合实际问题，计算出角A的大小然后由象限角的定义判断出点A的位置，结合正弦函数的图象以及性质代入数值计算出结果即可。
20．【答案】B
【解析】【解答】原式 。
故答案为：B
【分析】利用 ，其中 ，从而结合弧度与角度的互化公式和诱导公式，从而求出与 的值最接近的选项。
21．【答案】B
【解析】【解答】200密位对应弧度为
故答案为：B
【分析】 根据6000密位对应的是2π弧度，列比例式求出200密位对应的弧度数.
22．【答案】C
【解析】【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，
由题意可得：，解得，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为.
故答案为：C.
【分析】根据圆锥的侧面展开图，结合弧长公式运算求解.
23．【答案】B
【解析】【解答】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长，，
于是扇形的面积，即当时，，此时，
所以所求圆心角的弧度为.
故答案为：B
【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数的性质求解可得 圆心角的弧度 .
24．【答案】A
【解析】【解答】设圆锥的半径为r，母线长为l，则，
由题意知，，解得：，
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：A.
【分析】运用扇形的弧长公式及圆锥的侧面积公式计算即可.
25．【答案】C
【解析】【解答】选项A：第二象限角可能为负角，如-240° ，第一象限角也有可能为正角，如60° ，故A错误；
选项B： 600°-60°=540°≠k·360°，故60°角与600°角终边不同，故B错误；
选项C：斜三角形的内角为锐角或者钝角，故其内角为第一象限角或第二象限角，故C正确；
选项D：分针拨快是顺时针旋转，得到的角为负角，故D错误.
故选：C
【分析】根据任意角，象限角，终边相同的角的概念逐项判断.
26．【答案】B
【解析】【解答】A、与终边相同角可以表示为，与不一定相等，A错误；
B、 锐角是取值范围为的角，是第一象限的角， B正确；
C、 第二象限角取值范围为，锐角是取值范围为的角，C错误；
D、锐角是取值范围为的角， 但，不是锐角，D错误.
故答案为：B
【分析】根据象限角和终边相同角的定义逐一判断选项.
27．【答案】C
【解析】【解答】设圆锥和圆柱的底面半径为，
因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，
则圆锥和圆柱的高为，
所以圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，
所以圆锥和圆柱的侧面积之比为，
故答案为：C.
【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可.
28．【答案】解：由 ，，得： ，，所以2α为第一象限角；
由得： ，
当k=2n，n∈Z时， ，则为第一象限角；
当k=2n+1，n∈Z时， ，则为第三象限角；
综上所述：为第一象限角；为第一或第三象限角.
【解析】【分析】分别求得和，根据对k的取值的讨论可求得结果.
29．【答案】（1）解： 解：由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 .
（2）解： 由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为 = .
【解析】【分析】根据实线表示的边界可取，虚线表示的边界不可取，且按逆时针方向旋转时角度变大分析即可.
30．【答案】（1） 解：与角α终边相同的角的集合为 .
（2）解： 令 ，得 .
又k∈Z ，∴k=-2，-1，0，
∴在内与角终边相同的角为： ， ， .
【解析】【分析】（1）根据任意角的定义，即旋转周期，可得答案.
（2）由（1）结论，可得 ，解出k的值，即可得到答案.
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