高中数学人教A版（2019）必修1 第四章 指数函数对数函数零点综合卷章节综合练习题（含解析）

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第四章 指数函数对数函数零点综合卷
一、选择题
1．（2023高一上·连江开学考）化简二次根式的结果为（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．x2+x3=x5 B．
C．（x2）3=x6 D．（2x）3= 6x3
3．化简的结果为（　　）
A．－ B．－ C．－ D．－6ab
4．（2023高二上·昆明开学考）下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（　　）
A． B． C． D．
5．已知是定义在上的偶函数且在上为减函数，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·宁波期末）函数的值域是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023高一下·衢州期末） 函数零点所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
8．已知函数，则的增区间为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023高三上·深圳月考）设，，，则a、b、c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
10．（2023高三上·哈尔滨开学考）方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2023高二下·安康月考）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·安康月考）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2023高二下·韩城期末）不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
14．（2023高二下·成都期末）已知函数，则（　　）
A．4 B．8 C．16 D．32
15．（2023高一下·深圳月考）已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
16．（2022高三上·白山）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，，则（　　）
A． B． C．2 D．3
二、多项选择题
17．若函数在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“等域区间”.下列函数存在“等域区间”的是（　　）
A． B． C． D．
18．已知a，，，，且，则下列说法正确的为（　　）
A．ab的最小值为1 B．
C． D．
19．（2023高二上·昆明开学考）下列运算中正确的是（　　）
A． B．
C．当时， D．若，则
20．（2023高二下·杭州期中）已知函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．导函数的单调递减区间为
B．的图象关于点中心对称
C．过原点只能作一条直线与的图象相切
D．恰有两个零点
三、填空题
21．（2023高二上·长沙开学考）已知，则的值为　 　．
22．（2023高三上·吉林开学考）已知m，n是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为　 　.
23．已知函数若从集合中随机选取一个元素m，则函数恰有7个零点的概率是　 　．
24．（2023高二上·昆明开学考）若指数函数的图象经过点，则　 　；不等式的解集是　 　.
四、解答题
25．（2023高三上·吉林开学考）已知
（1）解上述不等式；
（2）在（1）的条件下，求函数的最大值和最小值及对应的的值.
26．（2023高一上·温州期末）已知函数为偶函数.
（1）求出a的值，并写出单调区间；
（2）若存在使得不等式成立，求实数b的取值范围.
27．（2023高一上·定州期末）已知函数，x∈[，9].
（1）当a=0时，求函数f(x)的值域；
（2）若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.
28．（2023高一上·大荔期末）已知函数．
（1）用定义法证明在上单调递增；
（2）求不等式的解集；
（3）若，对使不等式成立，求实数的取值范围．
29．（2023高二上·昆明开学考）设为实数，已知函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）证明：在区间上单调递减：
（3）当时，求函数的取值范围.
30．已知函数．
（1）若关于的方程在区间上恰有2个不同的实数解，求的取值范围；
（2）设函数，若，对总有成立，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可知：，则，
所以 .
故答案为：A.
【分析】根据根式的定义可知，再结合根式运算求解.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：A、与不是同类项不能合并，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误.
故答案为：C.
【分析】A合并同类项判断；B同底数幂的乘法求解判断；C利用幂的乘方求解判断；D利用积的乘方求解判断.
3．【答案】C
【解析】【解答】解： .
故答案为：C.
【分析】根据同底指数幂的运算法则化简.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：A、函数 在上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，A不符合题意；
B、函数 在上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，B不符合题意；
C、函数 在上连续，有零点但函数值在零点两侧同号，不可用二分法求零点，C符合题意；
D、函数 在上连续，有唯一零点且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据二分法求零点定义知函数连续且零点存在性，同时存在符号互异的函数值，进而判断选项.
5．【答案】A
【解析】【解答】解：由f(x)是偶函数可得：，
由指数函数性质可得：在R上单调递减，
∴，
又∵，
∴，
∵f(x)在[0，+∞)上是减函数，
∴，
即a＜b＜c.
故答案为：A.
【分析】综合运用函数奇偶性、单调性、对数运算、指数对数函数性质求解.
6．【答案】B
【解析】【解答】因为，即，所以函数的值域是.
答案是：B.
【分析】利用指数函数的性质即可得解。
7．【答案】B
【解析】【解答】为增函数，
由零点存在定理可得B正确.
故答案为：B
【分析】先判断，再由零点存在定理即可解得.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：令 ，，在单调递增，在单调递减单调递增， 在单调递减单调递增 .
故答案为：A.
【分析】根据复合函数单调性求 的增区间 .
9．【答案】A
【解析】【解答】解： ，
即
故答案为：A.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小，可得答案.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：结合函数与的图像可得两个函数图象有两个交点，即方程 |x2-2x|=a2+1
解有两个.
故答案为：B
【分析】先画出函数的图像，再结合把方程的解的个数转换成函数图象交点的个数问题即可
11．【答案】B
【解析】【解答】解：
故答案为：B
【分析】先利用对数函数的单调性计较a，c，再利用不等式的性质比较b，c即可求解.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：A 因为恒成立，故A选项不正确.
B 当x>0时，令则恒成立，所以g(x)在上单调递增，
即在上单调递增，又
由零点存在定理可得在上存在零点即所以f(x)在（0，）上单调递减，上
单调递增，f(x)在处取得最小值即
所以即f(x)的极小值大于3，故B选项正确，CD选项不正确.
故答案为：B
【分析】先根据f(x)大于零恒成立可排除A选项，当x>0时，对f(x)二次求导可判断f(x)在（0，）上单调递减，上单调递增，结合二次函数求最值可求出f(x)的极小值大于3，即可求解.
13．【答案】B
【解析】【解答】因为 ，且在上单调递增，
则，可得或，解得或，
所以 不等式的解集为 .
故答案为：B.
【分析】根据指数函数单调性可得，再根据绝对值不等式运算求解.
14．【答案】C
【解析】【解答】当x=-2时，，
，
当x=-2时，，
，
，
，
故选：C.
【分析】首先根据分段函数的解析式，可知时，f(x)是周期函数，求出f(-2)的值，再根据时，指数函数表达式，求出f(f(-2))值.
15．【答案】A
【解析】【解答】解：令
在同一坐标系画出y=f(x)与y=1的图象，如图所示，
由图象可得，若有4个零点，
则实数a的取值范围是.
故选：A
【分析】根据函数的零点的几何意义，作出分段函数f(x)与y=1的图象，数形结合，可得答案.
16．【答案】D
【解析】【解答】因为，即 ，
又因为是定义在上的奇函数，则，
可得，
所以函数是以4为周期的周期函数，
所以，
，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意分析可得，进而可得函数是以4为周期的周期函数，结合对数的定义运算求解.
17．【答案】B,C
【解析】【解答】解： 由题意可知：若函数存在“等域区间”，等价于与直线至少有2个交点时，
结合图象可得：
对于A：因为 与相切，只有1个交点，故A错误；
对于B：因为 与有2个交点，故B正确；
对于C：因为 与有2个交点，故B正确；
对于D：因为 与相切，只有1个交点，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】根据题意可知若函数存在“等域区间”，等价于与直线至少有2个交点时，利用图象逐项分析判断.
18．【答案】B,C
【解析】【解答】解：因为 ，，且，
对于A：因为，当且仅当时，等号成立，
所以 ab的最大值为1，故A错误；
对于B：因为，则 ，故B正确；
对于C：因为，故C正确；
对于D：因为，则 ,
当且仅当，即时，等号成立，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】对于A：根据不等式运算求解；对于B：由A中结果结合对数函数单调性分析判断；对于C：利用基本不等式运算求解；对于D：整理可得，根据“1”的灵活运用结合基本不等式运算求解.
19．【答案】B
【解析】【解答】解：A ， A错误；
B ，B正确；
C ，C错误；
D ，，，则 ，D错误.
故答案为：B.
【分析】A根据换底公式判断选项，B利用对数运算判断选项，CD利用根式和分数指数幂的互化运算判断.
20．【答案】B,C
【解析】【解答】因为，所以，
则导函数为对称轴是，且开口向上的抛物线，
故其单调减区间为，A不符合题意；
因为，
所以的图象关于点中心对称，B符合题意；
设过原点的直线与相切于点，
则，整理得，
令，，
令，得或，令，得，
故有极大值，极小值，
由三次函数性质得只有一个解，
则过原点只能作一条直线与的图象相切，C符合题意；
令，得或，令，得，
所以函数有极大值，极小值，
由三次函数性质得有三个解，即有三个零点，
D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合导数的运算法则得出导函数，再结合二次函数图象与性质判断原函数的单调性，进而得出导函数的单调减区间可判断A；根据选项来判断函数是否关于点中心对称，即求的值是否为0来判断B；设切点，利用求导和两点得出有关切线斜率的方程，从而将切线数量问题转换成方程根的问题，进一步构造函数依托最值分析根的情况得出切线数量可判断C；有求导分析原函数单调性与最值从而得出函数 的零点个数可判断D。
21．【答案】
【解析】【解答】因为，所以，可得，，所以.
【分析】根据对数和指数互化可得，从而推出，计算求解即可.
22．【答案】
【解析】【解答】解： 函数的图象经过点， 则，即，
因为 m，n是正实数， 则 ，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】根据题意可得，则结合基本不等式运算求解.
23．【答案】
【解析】【解答】解：当时，解得的值为，当时，函数有最小值，由，可得，即的值为，因为，所以当时，方程的实数解得个数分别为；当时，方程实数解得个数分别为；当时，方程的实数解个数为2，所以当时，函数恰有7个零点，故概率为.
故答案为：.
【分析】先由，求得的值，再根据，即可，根据以及数形结合分情况求解即可.
24．【答案】；
【解析】【解答】解：设指数函数为(且) ，则解得， ， ；
，又是上的增函数， ，即，解得.
故答案为：；.
【分析】第一空：先求出 指数函数解析式 ，再求；第二空：将转化为，进而求解 .
25．【答案】（1）解：由题意得
所以不等式的解集为
（2）解：
，则
【解析】【分析】(1)根据题意结合对数函数的定义以及单调性可得 ，运算求解即可；
(2)换元令 ，可得 ，结合二次函数性质运算求解.
26．【答案】（1）解：因为，所以，
由偶函数知，解得；
即，由对勾函数知，
当时，即时函数单调递减，当时，即时函数递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）解：由题意可得，即，
令，；
解一：，则在上有解，即.
若，即，此时，解得，∴；
若，即，此时，解得，此时无解；
综上，；
解二：由得，令，则.
，所以.
解三：由得，令，则，
，所以.
【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义列出方程，根据方程恒成立求出a，由对勾函数性质写出单调区间；
(2)化简不等式换元后转化为 ， ，分别考虑二次不等式有解转化为 或分离参数后转化为 ， 利用 ，也可转化为 ，求函数 的最大值，即可得实数b的取值范围.
27．【答案】（1）解：当a=0时，，x∈[，9].
∴，，
∴，
∴函数f(x)的值域为；
（2）解：令，
即函数的最小值为，
函数图象的对称轴为，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
当时，，
解得（舍）；
综上，实数a的值为或.
【解析】【分析】（1）由题意可得，结合定义域，可得函数的值域；
（2） 令，即函数的最小值为， 根据二次函数的性质，分类讨论，，，即可得到结果.
28．【答案】（1）证明：设，
则，
，
，，，，
，，
故在上单调递增．
（2）解：由于，所以是偶函数，且在上单调递增，
，
两边同时平方可得，
解得或
所以原不等式的解集为或．
（3）解：由于，使得成立，
令，可知，
由于单调递增，，t在上单调递增，则由复合函数单调性知
函数在上单调递增，，
故，
即，
所以，
令，则，当时等号成立，
则，
则，
令，
所以当时，取得最大值，
则，
即的取值范围为．
【解析】【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；
（2）根据函数单调性和奇偶性可得 ， 求解可得原不等式的解集.
（3）由于，使得成立，由于单调递增，，t在上单调递增，则由复合函数单调性可得， 利用基本不等式可求出 ，令 ，再利用二次函数的性质可求出实数的取值范围．
29．【答案】（1） 函数是奇函数， 对任意恒成立，；
（2）由(1)知，对任意，设，则，，，，即， 在区间上单调递减；
（3）由(2)知 在区间上单调递减， 当，有且，，当，有，
，函数的取值范围是.
【解析】【分析】(1)由奇函数的定义得化简求解；
(2)利用单调性的定义证明；
(3)利用（2）的单调性结合指数函数的性质求其范围.
30．【答案】（1）解：函数，由得，
依题意，曲线与直线在区间上恰有2个交点，
，当时，，当时，，
因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，取最小值，最小值为，
，又，
所以.
（2）解：由总有成立知，
函数在上的最小值不大于函数在上的最小值，即，
由（1）知，在区间上，，
当时，，当时，，当时，，
因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
于是，则有，即，
所以的取值范围是.
【解析】【分析】（1） 先根据在区间上恰有2个不同的实数解，转化为 与在区间上恰有2个交点，讨论的单调性后，通过数形结合即可求出m的范围.
（2）由题意可知 ， 先根据（1）得到 在的最小值；再讨论 在的单调性求出最大值；最后根据 ，即可求的取值范围．
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