1.2 集合间的基本关系一课一练（含解析）

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1.2 集合间的基本关系一课一练
一、单选题
1．已知集合 ,则集合A的真子集的个数为（　　）
A．32 B．4 C．5 D．31
2．下列关系中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．集合，集合，则P与Q的关系是(　　)
A．P＝Q B．PQ C．PQ D．P∩Q＝
4．若 ，则 的子集个数是（　　）
A．6 B．8 C．4 D．2
5．设，，若，则a的取值范围是（　　）
A． B．（-∞，-1] C． D．
6．设集合 ， ，若 ，则 的最大值为（　　）
A．－2 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．以下四个选项表述正确的有（　　）
A． B．
C． D．
8．对任意A， ，记 ，并称 为集合A，B的对称差.例如，若 ， ，则 ，下列命题中，为真命题的是（　　）
A．若A， 且 ，则
B．若A， 且 ，则
C．若A， 且 ，则
D．存在A， ，使得
三、填空题
9．设定义在R上的函数f（x）满足对 x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）﹣f（x））＞0，则{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素个数为　 　．
10．已知A={x|3≤x≤22}，B={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B A，则a的取值范围为　 　．
11．设集合 ， ．记 为同时满足下列条件的集合 的个数：
① ；②若 ，则 ；③若 ，则 ．
则（ ） 　 　；
（ ） 的解析式（用 表示） 　 　．
四、解答题
12．设，，
，求使的充要条件．
13．已知集合 ， ，且 ，求实数x的值.
14．已知：集合 ，其中
． ，称 为 的第 个坐标分量．若 ，且满足如下两条性质：
① 中元素个数不少于 个．
② ， ， ，存在 ，使得 ， ， 的第 个坐标分量都是 ．则称 为 的一个好子集．
（1）若 为 的一个好子集，且 ， ，写出 ， ．
（2）若 为 的一个好子集，求证： 中元素个数不超过 ．
（3）若 为 的一个好子集且 中恰好有 个元素，求证：一定存在唯一一个 ，使得 中所有元素的第 个坐标分量都是 ．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】 ,
因为集合 中有五个元素,所以集合 真子集的个数为: .
故答案为：D
【分析】首先求出集合 ,然后根据集合 中元素的个数,利用公式 求出集合 真子集的个数.
2．【答案】B
【解析】【解答】是元素，而是集合，而元素和集合之间不能用包含关系，A选项错误；是两个元素的实数集，是一个元素的点集，元素类型都不相同，因此不具有包含关系，C选项错误，这两个集合中的元素分别是，，显然这两个点不一定是同一个点，于是两个集合不一定相等，D选项错误；由于空集是任何非空集合的真子集，是单元素非空集合，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据题意由元素与集合之间的关系，集合之间的关系，由此对选项逐一判断即可得出答案。
3．【答案】C
【解析】【分析】∵，，所以.
4．【答案】C
【解析】【解答】依题意 ，所以 ,其子集个数为 ，
故答案为：C.
【分析】先求得 的具体元素，然后求 ，进而确定子集的个数.
5．【答案】B
【解析】【分析】求出集合B，由A B即可找到a所满足的不等式，解出它的取值范围．
【解答】集合B=（a，+∞)，，则只要a≤-1即可，即a的取值范围是（-∞，-1]．
故选B．
6．【答案】C
【解析】【解答】解：因为 ,
,且 ,
所以
所以 的最大值为3.
故选：C
【分析】先将 整理至 ,根据 得到 ,即可得出 的最大值.
7．【答案】B,C
【解析】【解答】 ， 错误； ， 正确； ，故 ，C正确；
，D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据元素和集合，集合与集合的关系依次判断每个选项得到答案.
8．【答案】A,B,D
【解析】【解答】解：对于A选项，因为 ，所以 ，
所以 ，且B中的元素不能出现在 中，因此 ，即A符合题意；
对于B选项，因为 ，所以 ，
即 与 是相同的，所以 ，即B符合题意；
对于C选项，因为 ，所以 ，
所以 ，即C不符合题意；
对于D选项，设 ， ，则 ， ，
所以 或 ，又 ， ，
或 ， ，
所以 或 ，
因此 ，即D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】根据新定义及交 并 补集运算，逐一判断即可.
9．【答案】0或1
【解析】【解答】解：∵函数f（x）满足对 x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）﹣f（x））＞0，
即t＞0时，f（x+t）﹣f（x）＞0，
t＜0时，f（x+t）﹣f（x）＜0，
即函数值随着自变量的增大而增大，减小而减小
则函数f（x）为定义在R上的增函数
则函数f（x）的图象与直线y=a至多有一个交点
故{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}的元素个数为0或1
故答案为：0或1
【分析】由已知中函数f（x）满足对 x，t∈R，且t≠0，都有t（f（x+t）﹣f（x））＞0，结合函数单调性的定义，我们可得到函数f（x）为定义在R上的增函数，进而根据增函数的图象和性质可得其图象与直线y=a至多有一个交点，分析{（x，y）|y=f（x）}∩{（x，y）|y=a}所表示的几何意义，即可得到答案．
10．【答案】（﹣∞，9]
【解析】【解答】解：集合A={x|3≤x≤22}，集合B={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，
∵B A
当B≠ 时，要使B A成立，
必需满足： ，
解得：6≤a≤9．
当B= 时，满足B A，此时：3a﹣5＜2a+1，
解得：a＜6，
综上所得：a的取值范围为（﹣∞，9]．
故答案为（﹣∞，9]．
【分析】根据B A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．
11．【答案】4；
【解析】【解答】解：（ ）当 时， ，符合条件的集合 为： ， ， ， ，故 ．（ ）任取偶数 ，将 除以 ，若商仍为偶数，再除以 ，经过 次后，商必为奇数，此时记商为 ，于是 ，其中， 为奇数， ．
由条件可知，若 ，则 ， 为偶数，若 ，则 为奇数，于是 是否属于 ，由 是否属于 确立，设 是 中所有的奇数的集合，因此 等于 的子集个数，当 为偶数时（或奇数时）， 中奇数的个数是 （或 ）．
∴ .
【分析】一个偶数是否属于集合A与它对应的奇数是否属于集合A有关，因此只需要讨论所有奇数属于集合A的情况。
12．【答案】解：由已知=，=或，等价于，解得；或解得，所以使的充要条件是.
【解析】【分析】利用集合包含关系结合充分条件、必要条件的定义可求出a的范围。
13．【答案】解：因为集合 ， ，且 ，
∴
若 ，解得 ；
若 ，解得 或 （舍）；
综上，实数x的值为0或 .
【解析】【分析】根据题意，分别讨论 ， 两种情况，即可得出结果.
14．【答案】（1）解： ，
（2）解：对于 ，考虑元素 ；
显然 ， ， ， ，对于任意的 ， ， ， 不可能都为 ，
可得 ， 不可能都在好子集 中．
又因为取定 ，则 一定存在且唯一，而且 ，
由 的定义知道， ， ，
这样，集合 中元素的个数一定小于或等于集合 中元素个数的一半，而集合 中元素的个数为 ，所以 中元素个数不超过
（3）解： ， ，定义元素 ， 的乘积为 ，显然 ．我们证明“对任意的 ， 都有 ．”假设存在 ， 使得 ，则由（ ）知，(XY)'=(1 x1y1，1 x2y2， 1 xiyi， 1 xnyn)∈S ．
此时，对于任意的 ， ， ， 不可能同时为 ，矛盾，所以 ．
因为 中只有 个元素，我们记 为 中所有元素的乘积，根据上面的结论，我们知道 ，显然这个元素的坐标分量不能都为 ，不妨设 ，根据 的定义 ，可以知道 中所有元素的 坐标分量都为 ．下面再证明 的唯一性：若还有 ，即 中所有元素的 坐标分量都为 ．所以此时集合 中元素个数至多为 个，矛盾．所以结论成立
【解析】【分析】（1）根据好子集S的定义，好子集中任何三个元素必须有某个坐标分量都是1，X和Y除第一个坐标分量都是1外，其它分量都不同，因此，Z和W的第一个分量也必须是1.（2）考虑元素X的对称元素X'，这两个元素不可能同时在好子集S中，又不同元素的对称元素不同，故S中的元素个数小于或等于中元素的一半。（3）定义元素X和Y的乘积XY，证明集合和S对这种乘积运算封闭，考虑S中所有元素的乘积构成的元素Z，则Z必有某个坐标分量为1，相应的，S中所有元素的这个坐标分量为1，最后证明这种都为1的坐标分量是唯一的。
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