1.4 充分条件与必要条件一课一练（含解析）

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1.4 充分条件与必要条件一课一练
一、单选题
1．已知 ， ，则“ ”是“ ， ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．已知 , 为非零向量，则“ ”是“ 与 夹角为锐角”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知复数z在复平面内对应的点为M，在复平面内对应的点为N，i是虚数单位，则“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 为两条不重合直线， 为两个不重合平面，下列条件中， 的充分条件是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知a，b为实数，则“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数 ，则 在 上不单调的一个充分不必要条件可以是（　　）
A． B．
C． 或 D．
二、多选题
7．下列条件可以作为的充分不必要条件的有（　　）
A． B． C． D．
8．已知是不同的平面，是不同的直线，则使得成立的充分条件是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知则p是q的　 　条件.（从“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选择适当的一种填空）
10．已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣1）（2﹣x）＞0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　 　．
11．使命题“，”为真命题的一个充分条件是　 　.
四、解答题
12．若“ 是“ 或 ”的充分不必要条件，求m的取值范围.
13．已知集合 ，集合 .若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
14．设 为 的三边，求证：方程 与 有公共根的充要条件是 .
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】 ， 时， ，取“=”的充要条件是 ，
因为 时，不一定有 ， 。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出 “ ”是“ ， ”的必要不充分条件。
2．【答案】B
【解析】【解答】根据向量数量积的定义式可知，若 ，则 与 夹角为锐角或零角，若 与 夹角为锐角，则一定有 ，所以“ ”是“ 与 夹角为锐角”的必要不充分条件，故答案为：B.
【分析】根据向量数量积的定义结合两向量夹角的取值范围，从而结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“ ”是“ 与 夹角为锐角”的必要不充分条件。
3．【答案】C
【解析】【解答】设复数，复数z在复平面内对应的点为M在第一象限，则，
，在复平面内对应的点为N在第四象限，则.
反之，也成立，
“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的充要条件.
故答案为：C
【分析】设复数，复数z在复平面内对应的点为M在第一象限，则，在复平面内对应的点为N在第四象限，则.反之，也成立.
4．【答案】B
【解析】【解答】当 时，若 ，可得
又 ，可知
故答案为：
【分析】利用面面平行的判断方法，结合线面垂直的判定即可得结果.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：若a=﹣4，b=1，满足a+b≤2，但a≤1且b≤1不成立，即充分性不成立，
若a≤1且b≤1，则a+b≤2成立，即必要性不成立，
故“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的必要不充分条件，
故选：B．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
6．【答案】D
【解析】【解答】 ，
若 在 上不单调，令 ，
则函数 对称轴方程为
在区间 上有零点（可以用二分法求得）.
当 时，显然不成立；
当 时，只需
或 ，解得 或 .
故选:D.
【分析】先求函数在 上不单调的充要条件，即 在 上有解，即可得出结论.
7．【答案】B,D
【解析】【解答】由，即，解得，因为，所以是的必要不充分条件，故A错误；
所以是的充分不必要条件，故B正确；
，所以是的必要不充分条件，故C错误；
所以是的充分不必要条件，故D正确；
故答案为：BD
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而找出可以作为的充分不必要条件的条件。
8．【答案】B,C
【解析】【解答】对于A，当时，可能相交，可能平行，可能异面，所以A不符合题意，
对于B，当时，由线面平行的性质可得，所以B符合题意，
对于C，当时，由线面垂直的性质可得，所以C符合题意，
对于D，当时，可能平行，可能异面或相交，所以D不符合题意，
故答案为：BC
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法以及充分条件的判断方法，进而找出使得成立的充分条件。
9．【答案】必要而不充分
【解析】【解答】当，若时，若时，故p不是q的充分条件；
当时，必有，故p是q的必要条件；
综上，p是q的必要而不充分.
故答案为：必要而不充分.
【分析】由已知条件结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
10．【答案】[﹣2，5]
【解析】【解答】解：由|x﹣a|＜4，解得：a﹣4＜x＜a+4，
得p：a﹣4＜x＜a+4；
由（x﹣1）（2﹣x）＞0，解得：1＜x＜2，
故q：1＜x＜2，
若p是q的必要不充分条件，
即（1，2） （a﹣4，a+4），
故 ，解得：a∈[﹣2，5]，
故答案为：[﹣2，5]．
【分析】分别求出关于p，q的不等式，根据充分必要条件的定义，求出a的范围即可．
11．【答案】（答案不唯一，取内任意一个实数都可以）
【解析】【解答】命题“，”为真命题
当时，恒成立，符合题意，
当时，则，解得，
综上所述，实数的范围为，
则使命题“，”为真命题的一个充分条件为，
故答案为：（答案不唯一，取内任意一个实数都可以）.
【分析】利用已知条件结合充分条件的判断方法和全称命题真假性判断方法，进而找出使命题“，”为真命题的一个充分条件 。
12．【答案】解析由 可得 ，
由已知条件，知 .
∴ .故m的取值范围是 .
【解析】【分析】利用已知条件就结合充分条件、必要条件的判断方法，从而求出实数m的取值范围。
13．【答案】解：由题意可知集合 是集合 的真子集，
时， ，
则 解得 ，经检验， 符合题意.
时， ，符合题意.
时， ，
则 ，解得 ，经检验， 不符合题意.
综上，
【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，转化为集合的关系进行求解．充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“p q”，称p为q的充分条件．意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件．
14．【答案】解：充分性：∵∠A＝90°，
∴a2＝b2＋c2.于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
∴x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.∴[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.
∴该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，∴该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a).
可以发现，x1＝x3，
∴方程有公共根.
必要性：设x是方程的公共根，则
由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去).代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.∴∠A＝90°.
综上,方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°
【解析】【分析】充分性，证明当证明方程 与 有公共根即可；再证必要性，根据方程 与 有公共根证明即可.
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