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3.2平面直角坐标系
一、单选题
1．已知点，，点P在x轴上，且三角形的面积为5，则点P的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据题意可求得，表示出，即可求解．
【详解】解：根据题意，画出示意图，
∵点，，
∴，
∵，解得，
∴点P的坐标是或，
故选：D．
【点睛】本题借助三角形的面积求点的坐标，考虑到点P的坐标有两种情况是关键．
2．平面直角坐标系内轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据平行于横轴上的点纵坐标相等分析计算即可．
【详解】∵轴，
∴A点与B点纵坐标相同，横坐标之差等于其距离，
B点横坐标为，或，
故B点坐标为：或．
故选：D
【点睛】本题考查平行于坐标轴的线上的点的坐标特征，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
3．已知点在y轴上，则点在第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【答案】A
【分析】直接利用y轴上点的坐标特点（横坐标为0）得出n的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴，
∴，
∴点即，在第四象限．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标．记住y轴上点的坐标特点、各象限内点的坐标的符号是解决的关键．y轴上点的坐标特点是：横坐标为0；四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
4．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点．……以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的坐标为和友好点的定义，顺次写出点、、、的坐标，发现循环规律，即可求解．
【详解】解：当点的坐标为时，点的友好点的坐标为，
点的友好点的坐标是，
点的友好点的坐标是，
点的友好点的坐标是，
……以此类推，
∴，，，（n为自然数），
∵，
∴点的坐标为，
故选：C
【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，从已知条件得出循环规律是解题的关键．
5．已知x为实数，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】A
【分析】，令，，，则表示，点到点和点的距离的和，如图，可得当三点共线时，的值最小，值为，计算求解即可．
【详解】解：∵
，
令，，，
∴表示，点到点和点的距离的和，如图，
∴当三点共线时，的值最小，值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，点，，，若平分，轴，轴，且，则的值为（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知在一、三象限或二、四象限的平分线上即，则有或（不合题意，舍去），在第一象限，结合轴得即可求解．
【详解】解：由题意可知，平分，轴，轴，且，
可知在一、三象限或二、四象限的平分线上，
，
即或（不合题意，舍去），
解得：，
，
故：在第一象限，
轴，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标系内点的特点；解题的关键是结合题意得到在一、三象限或二、四象限的平分线上，从而求解．
7．如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】过C作轴于M，轴于N，推出证，推出，求出，代入求出即可．
【详解】解：过C作轴于M，轴于N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
．
故选:A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出AM=BN和推出．
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，、、．规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，的顶点D的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用平行四边形的性质求出点D的坐标，再将前几次变换后D点的坐标求出来，观察规律即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A（-1，3）、B（1，1）、C（5，1），
∴D（3，3），
把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位后，
∴D（2，-3），
观察，发现规律：D0（3，3），D1（2，-3），D2（1，3），D3（0，-3），D4（-1，3）
……
∴对于横坐标，每次变换减一，对于纵坐标，奇数次变换为-3，偶数次变换为3.
∴经过2022次变换后，D（-2019，3）．
故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换，点的坐标——规律性，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是先求出D的坐标，再利用变换的规律求解．
9．如图，正方形，，，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次记为，，）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点的坐标为．（ ）
A．（503，503） B．（-504，504） C．（-505，-505） D．（506，506）
【答案】C
【分析】找到三条规律：循环节；点与象限，坐标、正方形的边长与正方形的序号间的关系就可以判定．
【详解】根据题意，得到如下规律：各点的循环节为4，余数为1的点位于第三象限，余数为2的点位于第二象限，余数为3的点位于第一象限，余数为0的点位于第四象限，
且第一个正方形边长为2，各点纵坐标，横坐标的绝对值等于正方形个数的序号，
∵2017÷4=504…1，
∴顶点是第505个正方形的第一个顶点，位于第三象限，
∴其坐标为（-505，-505），
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，坐标的规律，正确找到坐标与正方形个数序号之间的规律是解题的关键．
二、填空题
10．已知点P的坐标为，则点P到x轴的距离为 ．
【答案】
【分析】根据点到轴的距离等于其纵坐标的绝对值即可得．
【详解】解：点到轴的距离为，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于其纵坐标的绝对值是解题关键．
11．已知，，点C在x轴上，且的面积为4，则点C的坐标为 ．
【答案】或
【分析】画图分析可知，点C的坐标可能在直线的右侧，也可能在直线的左侧，据此即可求解．
【详解】如图，设点C的坐标为，
∵
∴
在图1中，
即
解得，
故C的坐标为
在图2中，
即
解得
故C的坐标为
故答案为：或
【点睛】本题考查了坐标系中已知三角形的面积求点的坐标，解题的关键是画图分析解题．
12．已知在中，，，将放在平面直角坐标系中如图所示，若，则点坐标为 ．
【答案】
【分析】过C作x轴的平行线，与y轴交于E，过A作的垂线，垂足为D，证明，得到，，根据A，B的坐标求出相应线段的长度，设，根据线段的和差求解即可．
【详解】解：如图，过C作x轴的平行线，与y轴交于E，过A作的垂线，垂足为D，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，设，
则，
则，
解得：，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
13．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰，等腰 ，连接交y轴于P点，点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】过点E作轴于点G，证明得到，证明，得到，由此求出的长即可得到答案．
【详解】∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
∵ 等腰，等腰 ，
∴，
∴，
过点E作轴于点G，
∴,，
∵,
∴,
∴，
∵，
∴，
∵,
∴,
∴，
故，
故，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，点、、，若在平面直角坐标系中存在一点，使得，且，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】根据、两点坐标，得到轴，且，再根据，推出轴，设，则，然后利用，求出的值，即可得到点的坐标．
【详解】解： ，，
轴，且，
，
轴，
、两点横坐标相同，
，
设，
，
，
或，
点的坐标为或．
【点睛】本题考查了平行于坐标轴的直线上的点坐标特征，坐标两点的距离，解题关键是掌握平行于轴的直线上的点坐标纵坐标相同，平行于轴的直线上的点坐标横坐标相同．
15．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B是x轴上一点．以为腰，作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图所示，过点C作轴于D，设点B的坐标为，证明，得到，进而求出点C的坐标为，利用勾股定理得到，则的最小值即为点到点的距离的倍，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作轴于D，设点B的坐标为，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为，
∴，，
∴
，
∴的最小值可以看做在x轴上的一点到点和到点的距离之和的最小值的倍，
∴的最小值，
由对称性可知，当，同理可证的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列．如根据这个规律，第个点的坐标为 ．
【答案】
【分析】以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在轴上；为偶数时，从轴上的点向上开始排列，求出与最接近的平方数为，然后写出第个点的坐标即可．
【详解】解：从正方形的观点考虑，
右下角对应的横坐标为时，共有个整数点，即；
右下角对应的横坐标为时，共有个整数点，即；
右下角对应的横坐标为时，共有个整数点，即；
右下角对应的横坐标为时，共有个整数点，即；
∴可得：右下角对应的横坐标为时，共有个整数点，
根据图形，可得：横坐标为奇数时，最后一个点在轴上；为偶数时，从轴上的点向上开始排列，
∵，是奇数，
∴第个点是横坐标时，从轴上的点向上的第个点，
∴第个点的坐标为．
故答案为：
【点睛】本题考查了点的坐标的规律变化，从正方形的观点考虑求解更简便，要注意正方形的右下角的点的横坐标是奇数和偶数时的不同．
17．如图，已知，，第四象限的点到轴的距离为，若，满足，则点坐标为 ；与轴的交点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据和二次根式有意义的条件，得到c的值，再根据第四象限的点到轴的距离为得到C点的坐标；再把BC直线方程求解出来，即可得到答案．
【详解】解：∵，
根据二次根式的定义得到：，
∴c=2，
∴并且，
即，
∴，
又∵第四象限的点到轴的距离为，
∴，
故点坐标为，
又∵，
∴B点坐标为，点坐标为，
设BC直线方程为：y=kx+b，
把B、C代入直线方程得到，
当x=0时，，
故与轴的交点坐标为．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、直角坐标系的应用，解题的关键是正确求解c的值和m的值，解题时应灵活运用所学知识．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，点的坐标为．
(1)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标；
(2)将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点，若点在第三象限，且点到轴的距离为7，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与y轴平行的直线上的点横坐标相等，即可解答；
（2）根据点的平移规律，得出，再根据点在第三象限，且点到轴的距离为7，得出点M的横坐标为，求出m的值即可．
【详解】（1）解：∵点在过点且与轴平行的直线上，
∴，解得：，
∴；
（2）解：∵点向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点，
∴，
∵点在第三象限，且点到轴的距离为7，
∴，解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，解题的关键是掌握与x轴平行的直线上的点纵坐标相同，与y轴平行的直线上的点横坐标相同；点的平移坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
19．在平面直角坐标系中对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”，下图中的P，Q两点即为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为
①在点，，中，为点A的“等距点”的是点________．
②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，求点B的坐标．
(2)若，两点为“等距点”，求a的值．
【答案】(1)①E、F；②
(2)1或2
【分析】（1）①找到x，y轴距离最大为3的点即可；
②先分析出直线上的点到x，y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；
（2）先分析出直线上的点到x，y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可
【详解】（1）解：①∵点到x，y轴的距离中最大值为3，
点到x，y轴的距离中最大值为3，
点到x，y轴的距离中最大值为3，
点到x，y轴的距离中最大值为5，
∴与A点是“等距点”的点是E、F．
②当点坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有、、，
这些点中与符合“等距点”的是．
故答案为：①E、F；②．
（2）解：，两点为“等距点”，
①若时，此时到x，y轴的距离中的最大值为4，
则或，
解得：（舍去）或．
②若时，此时到x，y轴的距离中的最大值大于4，
则，
解得：或（舍去）．
根据“等距点”的定义知，或符合题意．
即a的值是1或2．
【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，坐标与图形的性质，解题的关键是首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题．
20．如图，A点的坐标为，B点的坐标为，且，D为x轴上的一个动点，，且，连接交y轴于点M．
(1)求A，B两点坐标．
(2)若D点的坐标为，求E点的坐标．
(3)当D点在x轴上运动时，求证：为定值．
【答案】(1)A点的坐标为，B点的坐标为，
(2)
(3)
【分析】（1）根据非负数的性质求出的值即可；
（2）过点作轴于．证明可得结论；
（3）是定值，证明可得为的中点；证明可得结论．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴，，
∴A点的坐标为，B点的坐标为，
（2）过点作轴于．
，，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
．
（3），
，
，
，
轴，
，
，，
，
，
，
是定值．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且四边形的面积为48．
(1)如图1，直接写出点的坐标；
(2)如图2，点从出发以每秒1个单位的速度沿轴正半轴运动，同时点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，交线段于，设运动的时间为，当时，求的值；
(3)如图3，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连交轴于，当时，求点的坐标．
【答案】(1)点的坐标
(2)
(3)或
【分析】（1）根据矩形的面积列方程即可得到结论；
（2）过作于，由，得到，求解即可得到结论；
（3）如图3（1）和（2），设，由平移的性质得，过作轴于，根据三角形和梯形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵四边形的面积为48，，
∴，解得，
又∵点在第一象限，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
（2）如图，过作于，
∵，
∴，
即，
∴，
解得；
（3）如图3（1）和（2），
设，由平移的性质得，
过作轴于，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，解得或，
∴或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、平移的性质、矩形面积、三角形和梯形的面积的计算等知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
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3.2平面直角坐标系
一、单选题
1．已知点，，点P在x轴上，且三角形的面积为5，则点P的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．平面直角坐标系内轴，，点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．已知点在y轴上，则点在第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
4．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点．……以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知x为实数，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．6
6．在平面直角坐标系中，点，，，若平分，轴，轴，且，则的值为（ ）
A．9 B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，，则等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，、、．规定“把先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，的顶点D的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，正方形，，，…（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序依次记为，，）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点的坐标为．（ ）
A．（503，503） B．（-504，504） C．（-505，-505） D．（506，506）
二、填空题
10．已知点P的坐标为，则点P到x轴的距离为 ．
11．已知，，点C在x轴上，且的面积为4，则点C的坐标为 ．
12．已知在中，，，将放在平面直角坐标系中如图所示，若，则点坐标为 ．
13．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰，等腰 ，连接交y轴于P点，点P的坐标是 ．
14．在平面直角坐标系中，点、、，若在平面直角坐标系中存在一点，使得，且，则点的坐标为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B是x轴上一点．以为腰，作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列．如根据这个规律，第个点的坐标为 ．
17．如图，已知，，第四象限的点到轴的距离为，若，满足，则点坐标为 ；与轴的交点坐标为 ．
三、解答题
18．在平面直角坐标系中，点的坐标为．
(1)若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标；
(2)将点向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点，若点在第三象限，且点到轴的距离为7，求点的坐标．
19．在平面直角坐标系中对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离中的最大值等于点Q到x，y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”，下图中的P，Q两点即为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为
①在点，，中，为点A的“等距点”的是点________．
②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，求点B的坐标．
(2)若，两点为“等距点”，求a的值．
20．如图，A点的坐标为，B点的坐标为，且，D为x轴上的一个动点，，且，连接交y轴于点M．
(1)求A，B两点坐标．
(2)若D点的坐标为，求E点的坐标．
(3)当D点在x轴上运动时，求证：为定值．
21．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，轴于，轴于，，且四边形的面积为48．
(1)如图1，直接写出点的坐标；
(2)如图2，点从出发以每秒1个单位的速度沿轴正半轴运动，同时点从出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，交线段于，设运动的时间为，当时，求的值；
(3)如图3，将线段平移，使点的对应点恰好落在轴负半轴上，点的对应点为，连交轴于，当时，求点的坐标．
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