专题18.16平行四边形折叠和作图问题 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题18．16 平行四边形折叠和作图问题（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，将ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在处，若，则为（ ）
A．66° B．104° C．111° D．124°
2．如图，已知的一组邻边AB，BC，用尺规作图作，下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（　　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1=∠2=36°，则∠B为（ ）
A．127° B．126° C．125° D．124°
4．如图，在□ABCD中，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交AB 于点E，交CD于点F，交AC于点O，连接CE，若AD＝6，△BCE的周长为14，则CD的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
5．如图， ABCD中，点E在边BC上，以AE为折痕，将△ABE向上翻折，点B正好落在CD上的点F处，若△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，则FD的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，已知的顶点，点B在x轴正半轴上，按以下步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点G；③作射线，交边于点H，则点H的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将 ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．AF＝EF B．AE＝AF C．AB＝EF D．FD＝EC
8．如图，将平行四边形ABCD沿直线BD对折，点A恰好落在AD延长线上的点A′处，若∠A＝60°，BC＝3，则A′B的长为（ ）
A．5 B． C．6 D．
9．如图，中，，点E为的中点．按以下步骤作图：
①以点E为圆心、任意长为半径画弧，交于点M，N；
②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
③作射线交于点F，连接．
则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB＝45°，BD＝4，将纸片沿对角线AC对折，使得点B落在点B′的位置，连接DB'，则DB'的长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．15
二、填空题
11．把一张长方形纸按如图所示折叠，所得的四边形是 四边形．
12．如图，在 中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为 ．
13．如图，将 进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，，，，则线段的长度为 ．
14．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD．若∠B＝65°，则∠BCD的大小是 °．
15． ABCD中，点E在边BC上，以AE为折痕，将△ABE向上翻折，点B正好落在CD上的点F处，若△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，则FD的长为 ．
16．如图，，分别是的边，上的点，，，将四边形沿翻折，得到，交于点，则的周长为 .
17．如图，的顶点，按下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于点D、E；②分别以点D、E为圆心，大于DE的一半长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线OF，交边AC于点G．则AG的长度为 ．
18．如图，为平行四边形，对角线与相交于点，，，将沿所在直线翻折到其原来所在的同一平面内，若点的落点记为则，则的长是 ．
三、解答题
19．如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为EF，连接CF．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求线段的长．
20．将一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E，F均在BD上），折痕分别为DH，BG．
(1)求证：四边形BGDH为平行四边形；
(2)若AB＝6，BC＝8，求四边形BGDH的周长．
21．如图，将平行四边形ABCD沿着对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′与AD相交于点E．
(1) EB与ED相等吗？证明你的结论；
(2)连接AC′，判断AC′与BD的位置关系，并说明理由．
22．如图，将□ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，点E在AD上.
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若，求四边形ABFE的周长.
23．如图，将ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落到AB边上的点处，折痕交CD边于点E，连接BE
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）若BE平分∠ABC，求证：
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠ACD=∠BAC=∠B′AC，由三角形的外角性质求出∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再由三角形内角和定理求出∠B即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=23°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-46°-23°=111°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据各个图形的做法结合平行四边形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：图①，由作图可知，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知，图①作法与理论依据正确；
图②，
由作图可知，作AC的垂直平分线，得到AC的中点O，再连接BO并延长到点D，使，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，图2作法与理论依据正确；
图③，作同位角相等，得出，再截取，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得，图3作法与理论依据正确；
图④，作同位角相等，得出，再截取，“一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形”，因此图4作法与理论依据不正确；
综上所述，作法与理论依据正确的是图①、图②、图③，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法及尺规作图的意义是解题的关键．
3．B
【分析】根据翻折可得∠B′AC=∠BAC，根据平行四边形可得DC∥AB，所以∠BAC=∠DCA，从而可得∠1=2∠BAC，进而求解．
【详解】解：根据翻折可知：∠B′AC=∠BAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠BAC=∠DCA=∠B′AC，
∵∠1=∠B′AC+∠DCA，
∴∠1=2∠BAC=36°，
∴∠BAC=18°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠2=180°-18°-36°=126°，
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质．
4．C
【分析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=6，CD=AB，再由垂直平分线的性质得出AE=CE，据此可得出结论．
【详解】解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，AD=6，
∴AD=BC=6，CD=AB，
∵△BCE的周长为14，
∴BE+EC+BC= BE+AE+BC=AB+BC=6+AB=14，
则CD=AB=8．
故选：C．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
5．C
【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AD+DC＝14，此为解题的关键性结论；再运用△FDA的周长为21，求出FD的长，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC．
由题意得，BE＝FE，AB＝AF．
∵△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，
∴CE+CF+EF＝7，DF+AD+AF＝21，
∴（CE+EF）+（DF+CF）+AD+AF＝28，
即2（AD+DC）＝28，
∴AD+DC＝14，即AD+AF＝14，
∴FD＝21-14＝7．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质及平行四边形的性质，根据以上性质找到等量关系AD+DC＝14是解题的关键．
6．A
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOD中，AD=，依据∠AHD=∠ADH，即可得到AH=AD=，可得H（，2）．
【详解】∵的顶点，
∴AO=2，OD=1，
∴Rt△ADD中，AD=，
由题可得，DG平分∠ADB，
∴∠ADH=∠FDH，
又∵AH∥DF，
∴∠AHD=∠FDH，
∴∠AHD=∠ADH，
∴AH=AD=，
∴H（，2），
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解题的关键．
7．B
【分析】根据平行四边形的性质及折叠变换进行推理，可知A、C、D均成立，只有B不成立．
【详解】解：∵平行四边形ABCD沿AE翻折，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB＝AF，BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAF，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF，故选项A正确，不符合题意；
∴AF＝BE
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AB＝EF＝AF＝BE，故选项C正确，不符合题意，
∵AD＝BC，
∴AD AF＝BC BE，即FD＝EC，故选项D正确，不符合题意；
不能证明选项B，故选项B不一定成立，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形中的翻折问题，已知翻折就是图形全等，翻折是一种对称变换，它属于轴对称，解题的关键是掌握轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
8．C
【分析】由折叠可得．，，，根据和三角形内角和定理得，根据平行四边形的性质得，根据直角三角形的性质即可得．
【详解】解：由折叠可得，，，，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
9．C
【分析】根据三角形内角和求出，由平行四边形的性质，求出，由题意得垂直平分，利用垂直平分线的性质求解．
【详解】解：根据三角形内角和，
，
，
由题意得：垂直平分，
∴FB=FC，
，
而，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、垂直平分线的性质、平行四边形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
10．A
【分析】先利用平行四边形的性质得到，再由折叠的性质得到，，由此可得到，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
由折叠的性质可知：，，
∴，
∴，
∴在直角三角形中，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
11．平行
【分析】长方形对边平行，有；由折叠知根据“有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”作出判断．
【详解】解：纸片为长方形，
∴．
∴，
由叠法知，
．
∴，
∴，
是平行四边形．
故答案为：平行．
【点睛】此题考查了平行四边形的判断，折叠的性质，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
12．6
【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明，此为解题的关键性结论；运用的周长为，求出的长，即可解决问题．
【详解】解：如图，四边形为平行四边形，
，；
由题意得：，；
的周长为，的周长为，
，，
，
即，
，即；
，
故答案为：．
【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的方法是准确找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．
13．
【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AB=CD=DE+CE=9，ABCD，可得∠=90°，由折叠的性质可得=DE=5，AD=，由勾股定理可求的长，AC的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD=DE+CE=9，ABCD，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠=90°，
∵将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到，
∴=DE=5，AD=，
∴= =3，
∴=AC+3=AD=BC，
∵，
∴，
∴AC=12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求出的长是本题的关键．
14．115
【分析】根据以为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧，得，，得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求出．
【详解】∵以为圆心，以长为半径作弧；再以顶点为圆心，以长为半径作弧
∴，
∴四边形是平行四边形
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质．
15．7
【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AD+DC=14，此为解题的关键性结论；运用△FDA的周长为21，求出FD的长，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=DC；
由题意得：BE=FE，AB=AF；
∵△FCE的周长为7，△FDA的周长为21，
∴CE+CF+EF=7，DF+AD+AF=21，
∴（CE+EF）+（DF+CF）+AD+AF=28，
即2（AD+DC）=28，
∴AD+DC=14，即AD+AF=14，
∴FD=21-14=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的方法是准确找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点来分析、判断、解答．
16．18
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠AEG=∠EGF，根据折叠的性质得到∠GEF=,推出△EGF是等边三角形，于是得到结论.
【详解】解：∵四辺形ABCD是平行四辺形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG=∠EGF，
∵将四边形沿翻折，得到，
∴∠GEF=，
∴∠AEG=60°，
∴∠EGF=60°，
∴△EGF是等边三角形，
∵EF=6，
∴△GEF的周长=18.
故答案为：18．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定及性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
17．
【分析】如图，先利用勾股定理计算出OA＝，再利用基本作图和平行线的性质得到∠AOG＝∠AGO，则AG＝AO＝，从而求解．
【详解】解：如图，∵ AOBC的顶点A的坐标为，
∴ACOB，OA＝，
由作法得OG平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠BOG，
而ACOB，
∴∠AGO＝∠BOG，
∴∠AOG＝∠AGO，
∴AG＝AO＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图 基本作图，解题的关键是熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
18．
【分析】利用折叠的性质和平行四边形的性质得到△B′ED是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：根据折叠的性质知，∠BEA=∠B′EA=45°，则∠B′ED=90°．
又由折叠的性质得BE=B′E
∵平行四边形ABCD
∴BE=DE，
∴BE=DE=B′E，
∴△B′ED是等腰直角三角形，
∴DB′=DE=×BD=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质以及翻折变换（折叠的性质）．推知DB′=BB′是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形AFCE是平行四边形，再运用有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行证明；
（2）作AG⊥BE于点G，因为D′F=DF，再证明DF=BE，用勾股定理分别计算BG、EB即可．
【详解】（1）解：证明：∵点C与点A重合，折痕为EF，
∴∠AEF=∠CEF，AE=EC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AF=EC，
又∵AF∥EC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
又∵AE=AF，
∴四边形AFCE为菱形．
（2）如图，作AG⊥BE于点G，
则∠AGB=∠AGE=90°，
∵点D的落点为点D′，折痕为EF，
∴D'F=DF．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC．
又∵AF=EC，
∴AD-AF=BC-EC，即DF=BE．
∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=，
∴AG=GB=6．
∵四边形AFCE为平行四边形，
∴AE∥FC．
∴∠AEB=∠FCE=60°．
∵在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，
∴GE==，
∴BE=BG+GE=，
∴D′F=．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质与判定、勾股定理的综合运用，运用折叠的性质和平行四边形的性质发现D′F=BE是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)10＋6.
【分析】（1）由折叠的性质及平行线的性质证得BH∥DG，AD∥BC，则结论得证；
（2）设CG=x，则FG=x，BG=8-x，由勾股定理得出（8-x）2=42+x2．解方程可求得x的值，进一步计算即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD=∠CDB，
又由折叠可得：∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2=∠ABD=∠CDB=∠3，
∴BH∥DG，
∵AD∥BC，
∴四边形BGDH为平行四边形；
（2）解：由折叠可得FG=CG，DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，
在Rt△BCD中，
∵BD2=BC2+CD2，
∴BD==10，
∴BF=10-6=4，
设CG=x，则FG=x，BG=8-x，
在Rt△BGF中，
∵BF2+FG2=BG2，42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
即FG=CG=3．
∴BG=8-3=5，DG==3，
∴四边形BGDH的周长为2(BG+DG)=10+6．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，平行线的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
21．(1)EB与ED相等，证明过程见解析
(2)AC′∥BD．理由见解析
【分析】（1）依据平行线的性质以及折叠的性质，即可得到∠EDB=∠CBD，进而得出BE=DE；
（2）由BE=DE，进而得出AE=CE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠EAC'=∠EC'A=∠EBD=∠EDB，进而得出AC'∥BD．
【详解】（1）解：EB与ED相等．
由折叠可得，∠CBD=∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE；
（2）解：AC′∥BD．理由如下：
∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD=BC，
由折叠知，BC'=BC，
∴AD=BC'，
由（1）知BE=DE，
∴AE=C'E，
∴∠DAC'=（180°-∠AEC'）=90°-∠AEC'，
同理：∠ADB=90°-∠BED，
∵∠AEC'=∠BED，
∴∠DAC'=∠ADB，
∴AC'∥BD，
故答案为：AC′∥BD．
【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
22．（1）见解析；（2）12.
【分析】（1）根据折叠的性质得到∠CFE=∠CDE，根据平行四边形的性质得到AD∥BC，∠B=∠D，由平行线的判定得到AE∥BF，即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得到ED=EF，则AE+AB=AE+ED=AD，从而求出四边形ABFE的周长．
【详解】（1）证明：
∵将 □ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，
∴∠CFE=∠CDE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠B=∠D，
∴AE∥BF，∠B=∠CFE，
∴AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形；
（2）∵将 □ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的F处，
∴DE=EF，
∵四边形ABFE为平行四边形，
∴EF=AB=ED，
∵BC=6，
∴AD=6，
∴AE+AB=AE+ED=AD=6，
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+EA=12，
故四边形ABFE的周长为：12.
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形及平行四边形知识是解题的关键．
23．见解析
【分析】试题分析：（1）根据翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，然后根据平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；
（2）根据平行线的性质利用勾股定理得出答案．
【详解】（1）∵将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABDC，ABDC
∴CED′B，CED′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB2=AE2+BE2．
【点睛】考点：1.平行四边形的判定与性质2.勾股定理
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