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3.3轴对称与坐标变化
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点，点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先根据点坐标的轴对称变换可得，再根据横坐标大于0、纵坐标大于0即可得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点，
，
又点的横坐标，纵坐标，
∴点所在的象限是第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了点所在的象限、点坐标的轴对称变换，熟练掌握点坐标的轴对称变换规律是解题关键．
2．如图是某时刻卫星云图的示意图，每相邻两个圆之间的距离是10千米，以台风中心为观测点，岛屿A在（ ）．
A．北偏西方向30千米处 B．北偏东方向30千米处
C．西偏北方向20千米处 D．北偏西方向30千米处
【答案】D
【分析】根据平面图形上方向的辨别上北下南，左西右东，以台风中心为观测点，即可确定A点的方向；根据每相邻两个圆之间的距离表示10千米，可计算实际距离，据此解答即可．
【详解】解：∵每相邻两个圆之间的距离是10千米，
∴岛屿A在距离台风中心千米处，
据图所示，以台风中心为观测点，岛屿A在北偏西方向30千米处或西偏北方向30千米处，
故选：D．
【点睛】此题考查的是位置与方向，分清东、南、西、北、东北、东南、西北、西南，是解决问题的关键，结合题意分析解答即可．
3．如图是天安门周围的景点分布示意图在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如果表示景山的点的坐标为，表示王府井的点的坐标为，则表示美术馆的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用已知点坐标进而确定原点位置进而得出答案．
【详解】解：如图所示，
景山的点的坐标为，表示王府井的点的坐标为，
故宫为坐标原点，
美术馆的点的坐标为：．
故选：．
【点睛】此题主要考查了用坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
4．如图，已知正方形顶点，轴，且边长为2．规定：“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换……如此这样，连续经过2022次变换后，正方形的顶点B的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系即可．
【详解】解：因为点，轴，且边长为2，
所以点B的坐标为．
第1次变换后，
第2次变换后，
第3次变换后，
第4次变换后，
……
从而找到规律：当n为奇数时，；当n为偶数时，．
所以当时，．
故选∶B．
【点睛】本题主要考查坐标系上点翻折，平移后点的坐标，依据要求正确求出变化后点的坐标是解题关键．
5．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）
A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）
B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）
C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）
D．M（﹣1，3），N（1，﹣3）
【答案】C
【详解】M点与A点关于原点对称，A点与N点关于x轴对称，由平面直角坐标中对称点的规律知：M点与A点的横、纵坐标都互为相反数，N点与A点的横坐标相同，纵坐标互为相反数．所以M（－1，－3），N（1，－3）．
6．如图，直线与两坐标轴分别交于两点，，D、E分别是直线轴上的动点，则周长的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG，根据轴对称的性质得到周长的最小值就是FG的长，求出点F和点G坐标算出FG的长．
【详解】解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG，
∵直线与两坐标轴分别交于A、B两点，
∴，，
∵，
∴，
∵AO=BO，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵C、G关于OA对称，
∴，
由对称的性质，DF=DC，EC=EG，
∴，此时周长最小，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，解题的关键是利用对称性找到周长最小时点D和点E的位置，再结合平面直角坐标系中点坐标对称的关系进行求解．
7．如图，，点Ｄ是它内部一点，．点E，F分别是，上的两个动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作D点关于的对称点G，作D点关于的对称点H，连接交于点E，交于点F，连接，，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形，即可求解．
【详解】作D点关于的对称点G，作D点关于的对称点H，连接交于点E，交于点F，连接，，，如图所示：
由对称性可知，，，，
∴，
此时的周长最小，最小值为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴周长的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，轴对称的性质，等边三角形的性质是解题的关键．
8．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（ ）
A．15 B．12 C．13 D．10
【答案】C
【分析】由AC=BC，，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，则此时MP+PN的值最小，再由直角三角形即可求出答案
【详解】如图：
是等边三角形
，
作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点 ，交CD于P，
为最小值
，
故答案选C
【点睛】本题考查轴对称中的最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作图是关键．
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据点与点关于轴对称可以得出，，再代入进行计算即可得到答案．
【详解】解：点与点关于轴对称，
，，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了关于轴对称的点的特征、求代数式的值，熟练掌握关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解此题的关键．
10．在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是 ．
【答案】
【分析】先求出点到直线的距离，再根据对称性求出对称点到直线的距离，从而得到点的横坐标，即可得解．
【详解】解：点，
点到直线的距离为，
点关于直线的对称点到直线的距离为1，
点的横坐标为，
对称点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—对称，根据轴对称性求出对称点到直线的距离，从而得到横坐标是解题的关键．
11．已知点关于y轴的对称点为N，点N到原点的距离为5，则点N的坐标为 ．
【答案】或
【分析】首先根据关于y轴对称的点的特点，可得点N的坐标为，再根据点N到原点的距离为5，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：点关于y轴的对称点为N，
点N的坐标为，
点N到原点的距离为5，
，
解得，
点N的坐标为或．
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的特点，两点间距离公式，熟练掌握和运用的关于y轴对称的点的特点及两点间距离公式是解决本题的关键．
12．如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“找差距”的对应口令是“抓落实”．根据你发现的“密钥”，破译出“守初心”的对应口令是 ．
【答案】“担使命”
【分析】观察图形即可确定“找差距”三个字对应的坐标，然后分析“抓落实”中“抓”与“找”坐标之间的关系即可得出密码钥匙，即向上平移2个单位后再向左移1个单位．
【详解】解：由题意可知，“找差距”的对应口令为“抓落实”，其中“抓”是“找”字先向上平移2个单位，再向左平移1个单位得到的，“落”与“差”、“实”与“距”也是这样对应的．
因此，将“守初心”中的三个字依次向上平移2个单位，再向左平移1个单位即可得到对应的口令为“担使命”．
故答案为：“担使命”
【点睛】本题考查的知识点是坐标确定位置，解答本题的关键是找出破译前与破译后各个字坐标之间的规律．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，在y轴和x轴上分别有两点P、Q，则A，B，P，Q四点组成的四边形的最小周长为 ．
【答案】/
【分析】作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D，连接CD交y轴于P，交x轴于Q，则此时，四边形APQB的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD，根据两点间的距离公式即可得到结论．
【详解】解：作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D，连接CD交y轴于p，交x轴于Q，则此时，四边形APQB的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD，
∵点A的坐标是(2，4)，点B的坐标是(6，2)，
∴C(-2,4)，D(6，-2)，
∵AB=，CD=，
∴四边形APQB的最小周长=10+，
故答案为：10+．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，轴对称-最短路径问题，两点间的距离公式，正确的确定点P和点Q的位置是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点．
（1）用含x的式子表示线段的长是 ；
（2）结合图形，判断式子的最小值是 ．
【答案】 5
【分析】（1）直接根据坐标系中两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据题意得出求PA+PB的最小值，作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，利用坐标系中两点之间的距离公式求解即可得出结果．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）由题意可得：，即为求PA+PB的最小值，
作点B关于x轴的对称点B’，连接AB’与x轴交于点P’，此时PA+PB取得最小值，如图所示：
PA+PB=AB’=，
即的最小值为5，
故答案为：5．
【点睛】题目主要考查距离最短问题、坐标系中两点之间的距离及轴对称的性质等，理解题意，作出相应图形求解是解题关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段绕着点P逆时针旋转90°，得到线段，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，作O关于直线BC的对称点D，连接AD，BD，由题意易得△BCP≌△POA，则有PC=OA=6，BC=OP=m，则有CO=6+m，DO=12+2m，由三角不等关系可知，进而问题可求解．
【详解】解：过点B作BC⊥y轴于点C，作O关于直线BC的对称点D，连接AD，BD，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴△BCP≌△POA，
∵点，点，
∴PC=OA=6，BC=OP=m，
∴CO=6+m，
由轴对称可知：，
∴DO=12+2m，
由三角不等关系可知，即，
∴AB+OB的最小值即为AD的长，
∴
∴当m=0时，AD最短，为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握图形与坐标、勾股定理、轴对称的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上—动点，给出4个结论：
①线段AB的长为；
②在，若，则的面积是5；
③当时，点P的坐标为；
④设点P的坐标为，则的最小值为．
其中正确的结论有 ．
【答案】①②④
【分析】①直接利用根据两点间距离的坐标公式计算AB的长度即可；②先证明为直角三角形，然后根据三角形面积的公式直接计算面积即可；③先求出△ABO和△ABP的面积，然后过点B作轴于点D，继而求出梯形AOBD的面积，设点P的坐标，最后根据求出点P的坐标即可；④作A点关于x轴的对称点M，设出点P的坐标，继而表示出AP、MP和BP的长度，可以得到，当且仅当B，P，M三点共线时，代数式取得最小值；
【详解】①根据两点间距离的坐标公式可知，，故①正确；
②在中，，，，
∴(1，0)，
∴，
在中，，
∴为直角三角形，
∴，故②正确.
∵，
∴，
过点B作轴于点D，即，，
∴
，
设P点坐标为(m，0)，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴当时，点P的坐标为(3，0)，故③错误.
作A点关于x轴的对称点M，
连接BM交x轴于点P，
此时，
∵P点坐标为(x，0)，
∴，
，
∴
，
当且仅当B，P，M三点共线时，
代数式取得最小值，
最小值即为线段BM的长度，
∵(0，-3)，B(4，1)
∴，
∴的最小值为.
故④正确.
∴正确的有①②④.
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查了图形与坐标的特点，直角三角形的判定，三角形的面积公式，两点之间距离公式，求最值的问题，是一个考点比较全面的综合题，难度适中，熟练掌握知识点的应用是解题的关键；
三、解答题
17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)计算出的面积__________；
(2)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(3)在直线l上找一点P，使的长最短．
【答案】(1)3
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）利用割补法即可得出答案；
（2）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
【详解】（1）；
故答案为：3
（2）如图，根据题意，可得：
点 、、 关于直线 对称的点分别为点 、、 ， 连接 、、，则 即为所作；
（3）如图， 连接 交直线 于点 ， 连接 ，
∵点 和点 关于直线 对称，
∴直线 垂直平分 ，
∴，
∴，
这时 的长最短，
∴点 即为所求；
【点睛】本题考查作图-轴对称变换， 轴对称-最短路线；解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点及割补法求三角形的面积．
19．阅读并回答下列问题．
几何模型：如图，、是直线同侧的两个定点．问题：在直线上找一点，使值最小．
方法：如图，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．（不必说明）
模型应用：如图，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．
(1)用含的代数式表示的长为 ；
(2)拓展运用：
请问点满足时，的值最小，最小值为 ；
请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值；
根据中的规律和结论，直接写出代数式的最小值．
【答案】(1)；
(2)当时，最小值为；
当、、三点共线时取最小值，；
代数式最小值为．
【分析】（）由于和都是直角三角形，故，可由勾股定理求得；
（）当时，最小值为；
若点不在的连线上，根据三角形中任意两边之和第三边知，，故当、、三点共线时，的值最小；
由的结果利用勾股定理求得的值．
【详解】（1）由勾股定理知，，
∴，
故答案为：；
（2）当时，最小值为，
故答案为；
当、、三点共线时取最小值，如下图，
∴；
根据中规律可以构造出如图所示，
同理可得：
.
【点睛】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．
20．已知：在平面直角坐标系中，点，点，其中，．
(1)分别求a、b的值；
(2)如图1，点B在第一象限内，连接，轴，点D在第四象限内，连接，，，设，点D的纵坐标是d，请你用含有t的代数式表示d；
(3)如图2，在（2）的条件下，交x轴于点E，点，连接并延长交y轴于点R，延长至点F，连接，过点F作于点H，延长交过点D垂直于的垂线于点G，连接，若，点R的坐标为，点，求点G的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶次方和二次根式的性质可求出的值；
（2）根据题意得，过点作轴于点，过点作于点，得出，证明，进一步得出，，再由可得结论；
（3）首先根据和可得，再轴可得，最后由证明得到，得出点与点关于轴对称，由点的对称性可得结论
【详解】（1）∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）可得，
∵轴，
∴
过点作轴于点，过点作于点，如图,
,
且
∴，
在和中
，
∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∵点在轴的下方，纵坐标为，
∴，
∴，即
（3）如图，
∵,即
而，
，
∵轴于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点与点关于轴对称，
∵，
∴
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形以及点的对称性等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
21．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：
线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于y轴的直线记为直线．
(1)已知点，，
①线段的“轴距”______；
②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”______；
(2)已知点，，线段关于直线的对称线段为．
①若，求m的值；
②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，的值总不变，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)①4；②1
(2)①或5；②或
【分析】（1）①画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可；
②先求出C，D的坐标，然后画出图形，根据 “轴距”的定义求解即可
（2）①先求出G，H的坐标，然后根据“轴距”定义构建方程求解即可；
②分和讨论即可．
【详解】（1）解：①如图1，
∵线段上点B到x轴的距离最大，∴；
②∵，，
∴A，B关于直线的对称点，，
如图2，
，
∵线段上点C到x轴的距离最大，∴；
（2）解：①∵，，
∴E，F关于直线的对称点，，
当时，
∵，
∴，
∴或7（舍去）；
当时，
∵，
∴，
∴或（舍去）；
综上，或5；
②∵，，
I. 当时，，，
∴，，
∴，
，
∴当时，的值总不变；
II. 当时，，，
∴，
∴，
III. 当时，，，即，
∴，，
∴，
∴当时，的值总不变；
综上，当或时，的值总不变．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换，坐标与图形性质，线段的“轴距”的定义等知识，解题的关键是理解新定义，属于中考常考题型．
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3.3轴对称与坐标变化
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点，点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．如图是某时刻卫星云图的示意图，每相邻两个圆之间的距离是10千米，以台风中心为观测点，岛屿A在（ ）．
A．北偏西方向30千米处 B．北偏东方向30千米处
C．西偏北方向20千米处 D．北偏西方向30千米处
3．如图是天安门周围的景点分布示意图在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如果表示景山的点的坐标为，表示王府井的点的坐标为，则表示美术馆的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知正方形顶点，轴，且边长为2．规定：“把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换……如此这样，连续经过2022次变换后，正方形的顶点B的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）
A．M（1，﹣3），N（﹣1，﹣3）
B．M（﹣1，﹣3），N（﹣1，3）
C．M（﹣1，﹣3），N（1，﹣3）
D．M（﹣1，3），N（1，﹣3）
6．如图，直线与两坐标轴分别交于两点，，D、E分别是直线轴上的动点，则周长的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
7．如图，，点Ｄ是它内部一点，．点E，F分别是，上的两个动点，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（ ）
A．15 B．12 C．13 D．10
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为 ．
10．在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是 ．
11．已知点关于y轴的对称点为N，点N到原点的距离为5，则点N的坐标为 ．
12．如图是一组密码的一部分，为了保密，许多情况下会采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“密钥”．目前已破译出“找差距”的对应口令是“抓落实”．根据你发现的“密钥”，破译出“守初心”的对应口令是 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，在y轴和x轴上分别有两点P、Q，则A，B，P，Q四点组成的四边形的最小周长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点，点是x轴上的一个动点．
（1）用含x的式子表示线段的长是 ；
（2）结合图形，判断式子的最小值是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，点，点，将线段绕着点P逆时针旋转90°，得到线段，连接，，则的最小值为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上—动点，给出4个结论：
①线段AB的长为；
②在，若，则的面积是5；
③当时，点P的坐标为；
④设点P的坐标为，则的最小值为．
其中正确的结论有 ．
三、解答题
17．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)计算出的面积__________；
(2)在图中画出与关于直线l成轴对称的；
(3)在直线l上找一点P，使的长最短．
19．阅读并回答下列问题．
几何模型：如图，、是直线同侧的两个定点．问题：在直线上找一点，使值最小．
方法：如图，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点．（不必说明）
模型应用：如图，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设．
(1)用含的代数式表示的长为 ；
(2)拓展运用：
请问点满足时，的值最小，最小值为 ；
请问点满足什么条件时，的值最小，并求出最小值；
根据中的规律和结论，直接写出代数式的最小值．
20．已知：在平面直角坐标系中，点，点，其中，．
(1)分别求a、b的值；
(2)如图1，点B在第一象限内，连接，轴，点D在第四象限内，连接，，，设，点D的纵坐标是d，请你用含有t的代数式表示d；
(3)如图2，在（2）的条件下，交x轴于点E，点，连接并延长交y轴于点R，延长至点F，连接，过点F作于点H，延长交过点D垂直于的垂线于点G，连接，若，点R的坐标为，点，求点G的坐标．
21．对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：
线段上各点到x轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作．例如，如图，点，，则线段的“轴距”为3，记作．将经过点且垂直于y轴的直线记为直线．
(1)已知点，，
①线段的“轴距”______；
②线段关于直线的对称线段为，则线段的“轴距”______；
(2)已知点，，线段关于直线的对称线段为．
①若，求m的值；
②当m在某一范围内取值时，无论m的值如何变化，的值总不变，请直接写出m的取值范围．
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