专题18.15平面直角坐标系背景下的平行四边形 培优篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题18.15 平面直角坐标系背景下的平行四边形
（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，平面直角坐标系中，平行四边形的中心E的坐标为，若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知的顶点A、C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．如图，点，的坐标分别为，，点为平面直角坐标系内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的坐标分别为A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），点P是AD边上的一个动点，若点A关于BP的对称点为，则C的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5．如图，△ACE是以 ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7，﹣3 ），则D点的坐标为（　　）
A．（3，0）
B．（4，0）
C．（5，0）
D．（6，0）
6．如上图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，．规定“把平行四边形先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过次变换后，平行四边形的顶点D的坐标变为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（　　）
A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)
8．如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，将腰长为4的等腰直角三角形放在直角坐标系中，顺次连接各边中点得到第1个三角形，再顺次连接各边中点得到第2个三角形……，如此操作下去，那么，第6个三角形的直角顶点坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，）
C．（﹣，） D．（﹣，）
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
二、填空题
11．如图：在平面直角坐标系中，A、两点的坐标分别为、，、分别是x轴、y轴上的点．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则M的坐标为 ．
12．在平面直角坐标系中，A（3，2），B（﹣1，﹣4），C在y轴上，D在x轴上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 ．
13．在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，2），B（2，5），在x轴、y轴上分别有两动点C、D，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为 ．
14．如图，在中，，点的坐标为，，、分别是射线、线段上的点，且，以、为邻边构造平行四边形，①若线段与交于点，当时，则 ；②把沿着进行折叠，当折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的时，则 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，，点P为y轴正半轴上一动点，连接并延长至点D，使，以为边作，连接，则长度的最小值为 ．
16．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当 时，以点为顶点的四边形为平行四边形．
17．如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知，，，，则D点的坐标为 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知，C为线段的中点，点P是线段上的一个动点，连接，当的值为 时，将沿边所在直线翻折后得到的与重叠部分的面积为面积的．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A和点B分别在y轴和x轴上，连接，点C为的中点，．
(1)求点C坐标；
(2)点P从点O出发沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，连接、，点P的运动时间为t秒，的面积为S，求用含t的式子表示S；
(3)在（2）的条件下，在y轴负半轴上有一点Q，连接，过点A作于点D，与交于点E，与x轴交于点F，当时，，求此时点Q的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒.
(1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；
(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
(3)当恰好是等腰三角形时，求t的值．
21．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，两点的坐标分别为，．将先向右平移4个单位后，再向下平移个单位，得到．
(1)请你直接写出点，的坐标；
(2)平行四边形与的重叠部分的形状是______，重叠部分的面积是______；
(3)在平面内是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图，等边△ABC的边长为8cm，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以acm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以bcm/s的速度运动，并且a，b满足（a﹣3）2＋＝0
(1)直接写出a，b的值．
(2)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
(3)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请写出此时点M的坐标．
23． 如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为．
(1)填空：点C的坐标为 ；平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为 ；
(2)动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时，另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半？
(3)当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
24．如图1，将矩形ABOC放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上．若满足．
(1)求点A的坐标；
(2)取AC中点M，连接MO，△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，连AN并延长交x轴于P点．求证：点P为OB的中点；
(3)如图2，在（2）的条件下，点D位于线段AC上，且CD＝8．点E为平面内一动点，满足DE⊥OE，连接PE．请你直接写出线段PE长度的最大值______．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】首先连接AC，过点A作AG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H，可得E是平行四边形ABCD的中心，即可得AC过点E，易证得△AEG≌△CEH，继而求得答案．
【详解】解：连接AC，过点A作AG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥x轴于点H，
∵E是平行四边形ABCD的中心，
∴AC过点E，
∴AE=CE，
在△AEG和△CEH中，
，
∴△AEG≌△CEH（AAS），
∴EG=EH，CH=AG，
∵E的坐标为（2，0），点A的坐标为（-2，1），
∴EH=EG=4，CH=AG=1，
∴OH=OE+EH=6，
∴点C的坐标为：（6，-1）．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
2．B
【分析】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，由题意得出∠ADO＝∠CED＝90°，OD＝1，OE＝4，由平行四边形的性质得出OA∥BC，OA＝BC，得出∠AOD＝∠CBE，由AAS证明△AOD≌△CBE，得出OD＝BE＝1，即可得出结果.
【详解】当B在x轴上时，对角线OB长度最小，如图所示：
直线x＝1与x轴交于点D，直线x＝4与x轴交于点E，
根据题意得：∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4，
四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，OA＝BC，
∴∠AOD＝∠CBE，
在△AOD和△CBE中，
，
∴△AOD≌△CBE(AAS)，
∴OD＝BE＝1，
∴OB＝OE＋BE＝5，
故答案为5.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键.
3．D
【分析】连接，取中点，连接，根据三角形任意两边之和大于第三边求最值即可．
【详解】解：连接，取中点，连接，
∵，
∴当取最大值时，三点共线，即在之间，
即，
∵分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，中位线定理，平面直角坐标系中的点与几何，勾股定理，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
4．B
【分析】由轴对称的性质可知BA=BA′，在△BA′C中由三角形三边关系可知A′C≥BC-BA′，则可求得答案．
【详解】解：∵平行四边形ABCD的坐标分别为A（-1，0）、B（0，2）、C（3，2）、D（2，0），
∴AB= ＝，BC=3，
∵若点A关于BP的对称点为A'，
∴BA′=BA=，
在△BA′C中，由三角形三边关系可知A′C≥BC-BA′，
∴A′C≥3-，即A′C的最小值为3-，
故选B．
【点睛】本题考查平行四这形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到A′C≥BC-BA′是解题的关键．
5．C
【分析】作CE与x轴相交于F点，根据关于数轴对称点的坐标特点可得C（7，3），即CE=6，因为△ACE是等边三角形，利用勾股定理可求得AF的长，进而得到OA的长，再利用平行线的性质即可得到OD的长.
【详解】解：
作CE与x轴相交于F点，
∵C与点E关于x轴对称，E（7，﹣3 ），
∴C（7，3），F（7，0），即CF=3，CE=6，OF=7，
∵△ACE是等边三角形，
∴AC= CE=6，
在Rt△ACF中，AF==9，
∴OA=AF﹣OF=9﹣7=2，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OD=AD﹣OA=BC﹣OA=5，
则D（5，0）.
故选C.
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，关于数轴对称的点的坐标，平行四边形的性质，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
6．D
【分析】先由平行四边形的性质求出顶点D的坐标为，再根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数结合点平移的规律找到点D坐标的变化规律即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，．
∴顶点D的坐标为（由B到A的平移方式和C到D的平移方式相同求得），
根据题意得：第一次变换的点D的对应点的坐标为，即，
第二次变换的点D的对应点的坐标为：，即，
第三次变换的点D的对应点的坐标为：，即，
第n次变换的点D的对应点的坐标为：当n为奇数时为，当n为偶数时为，
∴连续经过2017次变换后点D的坐标为，即，
故选D．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，平行四边形的性质，坐标与图形变化——轴对称，解题关键是找出图形变化的规律．
7．D
【分析】分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点的坐标．
【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（5，2）
②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣1，2），
③AC为对角线时，点D的坐标为（1，﹣2），
综上所述，点D的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
8．C
【分析】过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E．则OB＝．由于四边形OABC是平行四边形，所以OA＝BC，又由平行四边形的性质可推得∠OAF＝∠BCD，则可证明△OAF≌△BCD，所以OE的长固定不变，当BE最小时，OB取得最小值，从而可求．
【详解】解：过点B作BD⊥直线x＝4，交直线x＝4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x＝1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x＝4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠BCO，OCAB，OA＝BC，
∵直线x＝1与直线x＝4均垂直于x轴，
∴AMCN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN＝∠NCM，
∴∠OAF＝∠BCD，
∵∠OFA＝∠BDC＝90°，
∴∠FOA＝∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
，
∴△OAF≌△BCD．
∴BD＝OF＝1，
∴OE＝4+1＝5，
∴OB＝．
由于OE的长不变，所以当BE最小时（即B点在x轴上），OB取得最小值，最小值为OB＝OE＝5．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
9．A
【分析】利用等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质分别求出第1个到第6个三角形的直角顶点坐标即可．
【详解】由题意：第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣2，2）；
第2个三角形的直角顶点坐标：（﹣1，1）；
第3个三角形的第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
第4个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
第5个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
第6个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质、中点三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．B
【详解】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作且，连接O’C交AB于点D，连接ON，MO，
∴四边形MNOC为平行四边形，
∴，，
∴，
在中，，即，
当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，取得最小值，
∵，，
设，则，
，
解得：，
即：，，
，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
即：，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键．
11．（2，0），（-2，0）（4，0）
【分析】先把直线AB解析式和线段AB的长度计算出来，因此得到AB所在直线与x轴所成的度数，再根据平行四边形的定义寻找合适的点即可得到答案．
【详解】解：∵A、两点的坐标分别为、，
∴，
设直线AB解析式为：，则：
解得，
∴，
∴直线与x轴的所形成的角是45°，
如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，且、分别是x轴、y轴上的点，当AB为平行四边形的一边时，则MN∥AB，
，
∴MN与x轴形成的角度是45°，
∵∠MON=90°，∴∠OMN=45°，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴，
所以或；
当AB为平行四边形的对角线时，如图连接MN，MN与AB相交于点C，
则C是AB、MN的中点，它的坐标为，
∴，
故答案为：（2，0），（-2，0）（4，0）．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、两点间的距离公式、平行四边形的性质，学会分类讨论和数形结合的思想是解题的关键，在解题的过程中，应注意避免遗漏情况．
12．（2，0）或（4，0）或（-4，0）
【分析】需要以已知线段为边和对角线分类讨论，利用平行四边形的对角线交点也是对角线的中点和两点坐标求中点坐标的知识点，从而求出点坐标．
【详解】设，，
，，
以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形可得：
①若四边形为平行四边形，
对角线中点坐标为：，和，，
，
解得：，
；
②若四边形为平行四边形，
对角线中点坐标为：和，，
，
，
③若四边形为平行四边形，
对角线中点坐标为：，和，，
，
解得：，
，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了数形结合的数学思想以及平行四边形的性质应用，以为边和对角线进行分类是本题的关键点所在．
13．（﹣6，0），（6，0）或（﹣2，0）
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后根据平行四边形的性质和分类讨论的方法，求出点C的坐标．
【详解】解：如图所示，作AM∥x轴，作BM⊥AM轴于点M，
∵A（﹣4，2），B（2，5），
∴AM=2﹣（﹣4）=6，
∵点C、D分别在x轴、y轴上，
∴当AB∥C1D1时，则OC1=AM，此时点C1的坐标为（﹣6，0）；
当AB∥C2D2时，则OC2=AM，此时点C2的坐标为（6，0）；
当AB为对角线时，设点C3的坐标为（c，0），则，得c=﹣2，此时点C3的坐标为（﹣2，0）；
故答案为：（﹣6，0），（6，0）或（﹣2，0）．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形性质，画出相应的图形是解答本题的关键，注意考虑问题要全面，不要漏点．
14． 或
【分析】①根据，点的坐标为，，四边形平行四边形，得到，，设，则由得，，则利用，， 即可得，即可得出结果；
②分两种情况讨论（1）当点在线段之间时，（2）当点在射线上时，分别进行求解即可．
【详解】解：①∵，点的坐标为，，
∴，，
又∵四边形平行四边形，
∴，
∴
设，则由，
∴，
∴在中，，
则有：①，
②，
即可得：，
∴，
∴；
②把沿着进行折叠，折叠后得图形是
（1）如图示，当点在线段之间时，交于点，
∵折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的，
即，
∴
即把分成了面积相等得两部分，
∴是的中线，
∴
又∵四边形平行四边形，，
∴，
∵折叠得到 ，
∴，
∴
∴是等腰三角形，
∴
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
即有，
∴，
∴；
（2）如图示，当点在射线上时，交于点，
∵折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的，
即，
∴
即把分成了面积相等得两部分，
∴是的中线，
∴，
又∵四边形平行四边形，，
∴，
∵折叠得到 ，
∴，，
∴
∴是等腰三角形，
∴
∴
∴是等边三角形，
∴
即有，
∴
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，中线的性质，等腰三角形，等边三角形的判定等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
15．3
【分析】设为，由知，，根据平行四边形的性质求出的坐标，用勾股定理求出，再用的取值求出的最小值．
【详解】解：，，设为，
由知，，
是平行四边形，
，
故,
时，最小，
．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是利用平行四边形的性质求出,坐标．
16．或或
【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA=4，BC=3，BC//x轴，根据平行四边形的判定，当PC=QA时，以点A，Q， C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若时，3-2t= t；若 ，2t-3=t；若 时，2t-3=4-3(t-4)；若，然后分别解方程即可确定满足条件的t的值．
【详解】∵A（4,0），B（-3,2），C（0,2），
∴OA=4，BC=3，BC//x轴，
∵PC//AQ
∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
若时，BP=2t，
PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1;
若时，BP=2t,
PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3；
若时，BP=2t,
PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时2t-3=4-3(t-4)，解得t=(舍去)；
若t，BP＝2t，PC=2t-3， OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13;
综上所述，当t为1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．
故答案为1或3或13
【点睛】本题考查了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．利用分类讨论的思想和方程的思想是解决问题的关键．
17．（-2，8）
【分析】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，先通过AAS证出△BOE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到OE=AD，BE=CD，根据三角形的面积即可得到结论．
【详解】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC=OB，AC∥OB，
∴∠OGC=∠BOE，
∵AD∥y轴，
∴∠DAC=∠OGC，
∴∠BOE=∠DAC，
在△BOE和△CAD中，
，
∴△BOE≌△CAD（AAS），
∴OE=AD=2，BE=CD=8，
∵S△ABD=6，
∴AD BF=6，
∴×2×BF=6，
∴BF=6，
∴EF=BE-BF=2，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDF=45°，
∴BF=DF=6，
∵DF+OE=6+2=8
∴D（-2，8），
故答案为：（-2，8）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．
18．
【分析】根据题意作出图形，根据与重叠部分的面积为面积的，得出为的中点，可得四边形为平行四边形，根据折叠的性质可得，即可求解．
【详解】解：，
，
如图，作关于的对称点，连接，，取的中点，
C为线段的中点，
，
为与重叠部分，
，
与重叠部分的面积为面积的，
过点，
对称，
，
与重叠部分的面积为面积的，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
对称，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中线的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）连接，过点C作于点M，于点N，根据直角三角形斜边中线性质可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，，根据三角形中位线的性质可求，，即可求出点C的坐标；
（2）根据求解即可；
（3）取中点G，连接，根据三角形中位线的性质得出，，根据可证，得出，，结合三角形内角和定理和可求，再结合平行线的性质，对顶角的性质以及等角对等边可证，进而得出，则可求，即可可求Q的坐标．
【详解】（1）解∶连接，过点C作于点M，于点N，
∵点C为的中点，，
∴，
∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∴点C的坐标为；
（2）解：连接，过点C作于点M，
，
由（1）知：，
由题意知：，，
∴
；
（3）解：取中点G，连接，
，
∵点C为的中点，
∴，，
∵，，
∴，，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，，
∴，
又，
∴，
又Q在y轴负半轴上，
∴Q的坐标为．
【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，添加合适的辅助线，证明是解第（3）的关键．
20．(1)
(2)6或
(3)或
【分析】（1）由平行四边形的性质结合题意可得出，，，从而可求出．分类讨论：当P在A点右侧时、当P与A点重合时和当P在A点左侧时，分别求出AP的长即可；
（2）分类讨论：①当P在A点右侧时和②当P在A点左侧时，根据平行四边形的性质即可分别得出关于t的等式，解出t即可；
（3）分类讨论：①当BP=PQ时、②当BQ=PQ时，③当BQ=PB时和④当点P在A点左侧时，分别根据等腰三角形的性质，勾股定理，结合题意列出关于t的等式或判断情况是否存在，再解出t即可．
【详解】（1）∵四边形ABCO是平行四边形，A(，0)，
∴．
∵CD=6，
∴，
∴，
∵动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，
∴OP=2t，DQ=t，
∴．
当P在A点右侧时，此时，，
当P与A点重合时，此时，，
当P在A点左侧时，此时，；
∴
故答案为：；
（2）分类讨论：①当P在A点右侧时，如图，
∵四边形ABQP为平行四边形，
∴BQ=AP， 即，
解得t=6；
②当P在A点左侧时，如图，
∵四边形BQAP为平行四边形，
∴BQ=AP，即，
解得．
综上可知，当以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为6或；
（3）当恰好是等腰三角形时，有以下四种情况：
①当BP=PQ时，如图，过点Q作轴于点E，过点P作于点F，
∴，，
∴．
∵BP=PQ，
∴，
∴，
解得；
②当BQ=PQ时，如图，过点Q作轴于点G．
由①可知，
∵，即，
∴，
解得：t=；
③当BQ=PB时，由②同理可得出，
此时方程无解；
④当点P在A点左侧时，不可能是等腰三角形，此情况舍．
综上可知当恰好是等腰三角形，或．
【点睛】本题考查坐标与图形，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
21．(1)，
(2)平行四边形；
(3)存在，点D的坐标是或或
【分析】（1）根据点的平移规律计算即可得到答案；
（2）过点作轴于点，根据图形的平移规律可判定其重叠部分是平行四边形，由题意可算出，根据三角形中位线和平行四边形的性质可得到，，进而算出其重叠部分的面积；
（3）分两种情况①当为平行四边形的边时根据平行四边形和平移性质求出相应的点坐标；②当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形和平移性质求出相应的点坐标．
【详解】（1）∵先向右平移4个单位后，再向下平移个单位，得到，
∴点，点向右平移4个单位后，再向下平移个单位分别得到，，
∵，，
∴，．
故答案为：，．
（2）过点作轴于点，
∵四边形和四边形是平行四边形，
∴，，
∵经平移得到，
∴，
∴，
同理，
∴平行四边形与的重叠部分的形状是平行四边形．
∵四边形是平行四边形，，
∴，．
∵点的坐标为，
∴点的坐标为，
∵，
∴点在线段上，，．
∴点是线段的中点，
∵轴，
∴点平分线段
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∴
故答案为：平行四边形；．
（3）存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
如图，当为平行四边形的边时，，，．
①四边形为平行四边形，
∵点向左平移2个单位，再向平移3个单位后得到，
∴点向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到，
∴
②四边形为平行四边形，
∵点向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到，
∴点向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到，
∴；
当为平行四边形的对角线时，即为平行四边形的边时，
∵点向右平移2个单位，再向上平移个单位后得到，
∴点向右平移2个单位，再向上平移个单位后得到，
∴．
综上所述，点的坐标是或或．
【点睛】本题考查了平移变换，平行四边形，三角形中位线定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质与判定和平移规律是解本题的关键．
22．(1)
(2)
(3)运动了秒，点M的坐标为（，）或运动了秒，点M的坐标为（，）时，A、M、N、D四点能够成平行四边形
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即可；
（3）首先根据题意画出图形：当0≤t≤时，DM+DN=AN+CN=8；当＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；4＜t≤时，MB+NC=AN+CN=8；当＜t≤8时，△BNM为等边三角形，由BN=BM可求得t的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：设经过t秒钟两点第一次相遇，
由题意得，
解得，
∴经过秒钟两点第一次相遇；
（3）解：①当0≤t≤时，点M、N、D的位置如图1所示：
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DM=AN，DM∥AN．DN∥AB，
∴∠MDB=∠C=60°，∠NDC=∠B=60°，
∴∠NDC=∠C，△BMD是等边三角形，
∴ND=NC，DM=BM，
∴DM+DN=AN+NC=AC=8，即：3t+2t=8，
解得t=，
∴，
过点M作ME⊥BC，则∠BME=30°，
∴，
∵△ABC是等边三角形，AO⊥BC，
∴OB=OC=4，
∴,，
∴点M的坐标为（，）；
②当＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；
③4＜t≤时，点M、N、D的位置如图2所示：
∵四边形ANDM为平行四边形，
∴DN=AM，AM∥DN．
∴∠NDB=∠ACB=60°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°．
∴∠NDB=∠B．
∴NB=ND．
∴NB+MC=AM+MC=8，16-3t+16-2t=8，解得：t=，
∴，
同理求得，，
∴，
∴点M的坐标为（，）；
④当＜t≤8时，点M、N、D的位置如图3所示：
则BN=16-2t，BM=24-3t，
由题意可知：△BNM为等边三角形，
∴BN=BM，即：16-2t=24-3t，解得t=8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．
综上所述，运动了秒，点M的坐标为（，）或运动了秒，点M的坐标为（，）时，A、M、N、D四点能够成平行四边形
【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质与判定，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．
23．(1)，；
(2)当t为0或4时，△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半
(3)或（10，-4）或或（18，0）或或
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得BC=OA=14，再由点B的坐标为，即可得到点C的坐标为，根据平行四边形OABC的对称中心即为AC的中点，即可求出平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；
（2）如图所示，过点B作BF⊥x轴于F，过点Q作QE⊥x轴于E，先求出平行四边形ABCD的面积，利用勾股定理求出，设平行四边形OABC中AB边上的高为h，利用面积法求出 取AB中点H，证明△HAF是等边三角形，推出∠AHE=30°，则由题意得，，则，， ，再由△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半，得到，由此求解即可；
（3）分此时点P与原点重合，点Q与A点重合，当t=4时，点P的坐标为（4，0），点Q的坐标为，两种情形，利用平行四边形的性质讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵点A的坐标为（14，0），
∴OA=14，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=OA=14，
∵点B的坐标为，
∴点C的坐标为，
∵平行四边形OABC的对称中心即为AC的中点，
∴平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为即，
故答案为：，；
（2）解：如图所示，过点B作BF⊥x轴于F，过点Q作QE⊥x轴于E，
∵点B的坐标为，
∴，，
∴，，
∴，
设平行四边形OABC中AB边上的高为h，
∴，
∴
取AB中点H，
∴，
∴△HAF是等边三角形，
∴∠HAF=60°，
∴∠AHE=30°，
由题意得，，则，，
∴，
∵△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半，
∴，
∴，
解得或，
∴当t为0或4时，△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半；
（3）解：如图1所示，当t=0时，此时点P与原点重合，点Q与A点重合，
∴点P的坐标为（0，0），点Q的坐标为（14，0），
设点M的坐标为（m、n），
当PC与PQ是以M、P、Q、C为顶点的四边形的边时，即此时点M与点B重合，
∴点M的坐标为；
当PC为边，PQ为对角线时，
，
∴，
∴点M的坐标为（10，-4），
同理可求得OA为边，OC为对角线时，点M的坐标为；
当t=4时，
∴AQ=8=AB，OP=4，
∴点P的坐标为（4，0），点Q的坐标为，
如图2所示，同理可以求得符合题意的M的坐标为（18，0）或或，
综上所述，在平面直角坐标系中找到一点M的坐标为或（10，-4）或或（18，0）或或，使得以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
24．(1)点A的坐标为
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据二次根式的性质：被开方数一定大于等于0，去列出不等式组并求解，即可求出点A的坐标；
（2）利用对称的性质、等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理，就可得出NC和AP垂直，再得出两组对边分别平行证出平行四边形，由平行四边形性质即可得出求证；
（3）利用勾股定理和直角三角形斜边中线的性质求出和的长，再利用三角形三边关系得出当P、Q、E三点共线时PE的长度最大，进而求出答案．
【详解】（1）解：由二次根式的性质，
可得：m－10≥0且20－2m≥1，
解得m＝10，
当m＝10时，
，
解得n＝6，
故点A的坐标为，
（2）如图，连接NC，
∵△CMO与△NMO关于MO所在直线对称，
∴MO⊥NC，
∴CM＝MN，
∴∠MCN＝∠MNC，
又M为AC中点，
∴AM＝CM，
∴AM＝MN，
∴∠MAN＝∠MNA，
又在△ACN中，
∠ACN＋∠CAN＋∠ANC＝∠ACN＋∠CAN＋∠ANM＋∠MNC＝180°，
即2∠MNC＋2∠ANM＝180°，
∴∠ANC＝∠MNC＋∠ANM＝90°，
即NC⊥AP，
∴MO∥AP
又AM∥OP，
∴四边形MOPA为平行四边形，
∴，
∴点P为OB的中点；
（3）如图，连接OD，取OD的中点Q，
连接EQ、PQ．
由（2）知，点P坐标为
∵CD＝8，OC＝6，
∴，
∴点Q的坐标为，
则，
又∵∠OED＝90°，
∴，
三角形两边之和大于第三边，
即，
∴当P、Q、E三点共线时，
，
此时PE的长度最大，
则PE的最大值．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、对称图形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和三角形三边关系等知识点，牢固掌握以上知识点并能综合应用是做出本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页