专题18.19平行四边形最短路径问题 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题18.19 平行四边形最短路径问题（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．如图，在直角三角形中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
4．已知点与点，是一个平行四边形的四个顶点，则长的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．6
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（　　）
A． B． C．2﹣ D．﹣1
6．如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在中，，，，点是上一点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值是（ ）cm
A．4 B．6 C．8 D．10
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足. E是AB边上的一个动点，以CE，BE为邻边画平行四边形CEBF，则下列线段的长等于对角线EF最小值的是（ ）.
A．AC B．BC C．CD D．AB
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，点E是AB上的点，以AC为对角线的平行四边形AECF，则EF的最小值是（　　）
A．5 B．4 C．1.5 D．3
10．如图在中，，，为边上一动点（不与，重合），以、为一组邻边作平行四边形，平行四边形的对角线的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，在中，，，，点E在上，，点P是边上的一动点，连接，则的最小值是 ．
12．已知边长为4的等边，D，E，F分别为边，，的中点，P为线段上一动点，则的最小值为 ．
13．如图，在 ABCD中，AD＝8，AB＝，∠B＝60°．E是边BC上任意一点，沿AE剪开，将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，得到四边形AEFD，则四边形AEFD周长的最小值为 ．
14．如图，在中，，，为边上一动点，以，为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为 ．
15．如图，在中，，，，点在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是 ．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是边AB、AC上的动点，F、G分别是ED、EC的中点，则FG的最小值是 ．
17．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则的最小值为 ．
18．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作，连接，则的最小值为 ．
19．如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有中，的最小值是 ．
20．如图在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC=6，M为AC边上一动点（不与A，C重合），以MA、MB为一组邻边作平行四边形MADB，则平行四边形MADB的对角线MD的最小值是 ．
21．如图，已知 OABC的顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为 ．
22．如图，在平行四边形中，，E是的中点，，，P是上的动点，则的最小值为

23．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝2，P为AB边上一动点，以BA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ长度的最小值为 ．
24．如图，等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边中线，点E是AB边上一动点，以EA，ED为边作平行四边形AEDF．
（1）AD的长为 ．
（2）EF的最小值为 ．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝3，
∴DE＝2OD＝6．
故选B．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．
2．B
【分析】设PQ与AC交于点O，作于，根据直角三角形的性质得，根据勾股定理得，根据平行四边形的性质得，根据，得，当P与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，进行计算即可得．
【详解】解：如图所示，设PQ与AC交于点O，作于，
在中，，
∴，
∴，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
当P与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，垂线段最短的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和垂线段最短的性质．
3．B
【分析】利用三角形中位线性质求解即可.
【详解】解：∵M、N分别是线段AE、AF的中点，
∴，
∵点E在BC边上从点B向点C移动，
∴当点E运动到点C的位置时，EF最小，此时，EF=4-1=3，
∴线段MN的最小值为1.5.
故选：B
【点睛】此题考查三角形的中位线的性质，知道当点E运动到点C的位置时EF最小是解答此题的关键.
4．B
【分析】①CD是平行四边形的一条边，那么有AB=CD；②CD是平行四边形的一条对角线，过C作CM⊥AO于M，过D作DF⊥AO于F，交AC于Q，过B作BN⊥DF于N，证△DBN≌△CAM，推出DN=CM=a，BN=AM=8-a，得出D ( (8-a， 6+a)，由勾股定理得CD2= (8-a-a) 2+ (6+a+a) 2=8a2-8a+100=8 (a-) 2+98，求出即可．
【详解】解：①CD是平行四边形的一条边，则AB=CD=；
②CD是平行四边形的一条对角线，如图所示，
过点C作CM⊥AO于点M，过点D作DF⊥AO于点F，交AC于点Q，过点B作BN⊥DF于点N，连结OC，
则∠BND=∠DFA=∠CMA= ∠QFA = 90°，
∠CAM十∠FQA= 90° ，∠BDN+∠DBN= 90° ，OM= CM，
∵四边形ACBD是平行四边形，
∴BD= AC，∠BCA=∠BDA，BDAC，
∴∠BDF=∠FQA，
∴∠DBN=∠CAM，
∴△DBN≌△CAM(AAS)，
∴DN= CM= OM=a，BN= AM=8-a，D(8-a，6+a)，
由勾股定理得CD2=(8-a-a)2+(6+a+a)2= 8a2-8a+100=8(a-)2+98，
当a=时，CD有最小值，是，
∵<10，
∴CD的最小值是=．
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理及平行四边形的性质是解题的关键．
5．B
【分析】连接，，过点作于，由已知以及平行四边形的性质可得，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质求得，勾股定理求得，根据求得，有题意可知，最大值为的长，最小值为的长，求其差即可求得答案．
【详解】如图，连接，，过点作于，
点E为AH的中点，点F为GH的中点，
，
点H、G分别是边CD、BC上的动点，
当点与点重合时，取得最大值，点与点重合时，取得最小值，
EF的最大值与最小值的差为，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
,，
，
，
，
，
，
，
即EF的最大值与最小值的差为．
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
6．C
【分析】根据四边形APCQ是平行四边形得到AQ＝PC，再由垂线段最短得到：当PC⊥AB时AQ的值最小，根据面积求PC即可；
【详解】解：∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AQ＝PC，
由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小，
∵AB＝10，△ABC的面积是25，
∴PC＝5，
∴AQ＝5，
故选：C．
【点睛】此题利用三角形面积考查平行四边形相关知识点，难度一般，灵活运用是关键．
7．B
【分析】如图，由题意易得，由平行四边形的性质可得OA=OB，OD=OE，要使的值为最小，则OD的值为最小，即当点D为AC的中点时，然后问题可求解．
【详解】解：如图所示：
∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴OA=OB，OD=OE，
∴要使的值为最小，则OD的值为最小，即当点D为AC的中点时，
∴由三角形中位线定理可得，
∴，即的最小值为6cm，
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形中位线、勾股定理及平行四边形的性质，熟练掌握三角形中位线、勾股定理及平行四边形的性质是解题的关键．
8．C
【分析】根据垂线段最短可知，当EF⊥AB时，对角线EF为最小值.
【详解】解：根据垂线段的性质可知，EF⊥AB时为最小值.
∵四边形CEBF为平行四边形，∴FC∥BE，即FC∥BA.
故CD的长等于对角线EF最小值.
【点睛】本题主要考查了垂线段的性质.
9．D
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OE⊥AB时，EF取最小值．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OE＝OF，OA＝OC，
∴当OE取最小值时，线段EF最短，此时OE⊥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝1.5，
∴EF＝2OE＝3，
∴EF的最小值是3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，三角形中位线的性质以及垂线段最短，解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
10．C
【分析】根据平行四边形的性质，，，故取最小值时，也取最小值，根据“在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”，故当时，取最小值，再根据所对的直角边是斜边的一半即可求出从而可求出此时的.
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴，
∴当取最小值时，也取最小值，
根据“在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”
∴当时，取最小值
∵
∴此时
此时
故的最小值
故选C.
【点睛】此题考查的是平行四边形的性质和最值，掌握垂线段最短和所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键.
11．
【分析】过点A作直线的对称点F，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，过点E作直线的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：过点A作直线的对称点F，连接，连接交于点P，此时有最小值，最小值为的长，
∵点A与点F关于直线对称，
∴，，则，
∴是等边三角形，
∵在中，，
∴，
过点E作直线的垂线，垂足为点G，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
12．4
【分析】连接，，设交于点J，根据等边三角形的性质及中位线的性质得出， ，由三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，，设交于点J，
∵是等边三角形，D、E、F分别为边、、的中点，
∴，，，
∴， ，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及中位线的性质，三角形的三边关系等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
13．22
【分析】当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，利用直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小，
∵AE⊥BC，AB＝2，∠B＝60°．
∴AE＝3，BE，
∵△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置，
∴EF＝BC＝AD＝8，
∴四边形AEFD周长的最小值为：8+8+3+3＝22，
故答案为：22．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及平移的性质，关键是根据当AE⊥BC时，四边形AEFD的周长最小进行分析．
14．
【分析】过作于，依据是等腰直角三角形，即可得出，依据，即可得到当时，的最小值等于的长，进而得到答案．
【详解】解：如图所示，过作于，
，，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
当时，的最小值等于的长，
对角线的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15．6
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴ODAB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝3，
∴DE＝2OD＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．
16．
【分析】连接CD，过点C作CH⊥AB于点H，根据三角形中位线定理可得，从而得到当CD最小，即点D与点H重合时，FG最小，再根据，求出CH的长，即可求解．
【详解】解：如图，连接CD，过点C作CH⊥AB于点H，
∵F、G分别是ED、EC的中点，
∴，
∴当CD最小，即点D与点H重合时，FG最小，
∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC=6，
∵，
∴，
∴FG的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理，勾股定理是解题的关键．
17．
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，根据垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，AB=1，
∴BC=2AB=2，AC=，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO=，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
当P与P'重合时，OP的值才是最小，
∴则PQ的最小值为2OP′=2×OC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题．
18．
【分析】由平行四边形的性质可知O是AC中点，EF最短也就是EO最短，故应该过O作BC的垂线OD，所以点E与点D重合时，OE长度最小．
【详解】解：如图，在中，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
当最短也就是最短，则过作的垂线，垂足为，
在中，，，
．
点与点重合时，长度最小，此时．
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质；熟练掌握平行四边形的性质，垂线段最短是解题的关键．
19．6
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
【详解】∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴OD是△ABC的中位线，
∴，，
∴，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
，，
∴，
∴.
故答案为：6.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质以及垂线段最短的知识．正确理解DE最小的条件是关键．
20．3．
【分析】如图，作BH⊥AC于H．因为四边形ADBM是平行四边形，所以BD∥AC，所以当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM=BH．
【详解】如图，作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，∵AB=6，∠BHA=90°，∠BAH=30°，
∴BH=AB=3，
∵四边形ADBM是平行四边形，
∴BD∥AC，
∴当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM=BH=3，
故答案为3．
【点睛】本题考查直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．5．
【详解】试题分析：当B在x轴上时，对角线OB长的最小，如图所示：直线x=1与x轴交于点D，直线x=4与x轴交于点E，根据题意得：∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA∥BC，OA=BC，∴∠AOD=∠CBE，在△AOD和△CBE中，∵∠AOD=∠CBE，∠ADO=∠CEB，OA=BC，∴△AOD≌△CBE（AAS），∴OD=BE=1，∴OB=OE+BE=5；故答案为5．
考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．
22．
【分析】根据菱形的判定，得出平行四边形为菱形，作出E关于的对称点，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出为直角三角形，利用勾股定理即可求出的长．
【详解】解：如图，

∵E是的中点，，
∴，
故，
∴平行四边形为菱形．
∴，
∴是的平分线．
作E关的对称点，
连接，
则，
此时，，
即为的最小值．
∵，
∴，
又∵，
∴为正三角形，，，
故，
，
∴，
在中，
．
【点睛】本题考查了轴对称－最短路径问题，菱形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，本题综合性较强，难度较大，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握．
23．
【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【详解】解：设AC、PQ交于点O，如图所示：
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AO＝CO，OP＝OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB于点P′，
∵∠BAC＝45°，
∴△AP′O是等腰直角三角形，
∵AO＝AC＝×2＝1，
∴OP′＝AO＝，
∴PQ的最小值＝2OP′＝，
故答案为：．
【点睛】：本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形．
24．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得BD=4，再利用勾股定理即可求解．
（2）设AD与EF的交点为O，过点O作OH⊥AB于H，利用平行四边形的性质可得，当OE最小时，即可得EF的最小值．
【详解】解：（1）∵等边三角形ABC的边长为8，AD是BC边的中线，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）设AD与EF的交点为O，过点O作OH⊥AB于H，如图所示：
∵四边形AEDF是平行四边形，
∴AO=OD，，
∴当OE最小时，此时EF最小，
∴OE⊥AB时，OE最小值为OH的长，
∴，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行四边形的性质、垂线段最短，将EF的最小值转化为OE最小是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页