专题18.17平行四边形折叠问题 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题18.17 平行四边形折叠问题（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，已知在中，，点D为BC的中点，点E在AC上，将沿DE折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（ ）
①；②；③和的面积相等；④和的面积相等
A．①② B．①③ C．③ D．①②③
2．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
3．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则的度数为（ ）．
A．124° B．114° C．104° D．56°
4．如图，，，、交于点，下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．沿折叠后，点的对应点是，则以A、、、为顶点的四边形是平行四边形
D．点在线段的中垂线上
5．2022北京冬奥会的设计呈现了中国美学，很多设计中利用了轴对称的美．如图，在平行四边形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，，，李旻老师设计时将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使得点B落在点的位置，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．15
6．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
7．如图，AC是□ABCD的对角线，将□ABCD折叠，使得点A与点C重合，再将其打开展平，得折痕EF，EF与AC交于点O，G为CF的中点，连接OG、CE．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．在探究折叠问题时，小华进行了如下操作：如图，F为直角梯形ABCD边AB的中点，将直角梯形纸片ABCD分别沿着EF，DE所在的直线对折，点B，C恰好与点G重合，点D，G，F在同一直线上，若四边形BCDF为平行四边形，且，则四边形BEGF的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，且∠BDP＜90°，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，连接A′B，若A′B＝DP，则线段BP的长是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，折叠，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA的延长线上点G处，点D落在点H处，得到四边形AEHG．若的面积是8，则下列结论：①四边形AEHG是平行四边形：②；③设四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，则y与x的函数关系式是；④若，则点E到BG的距离为1．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，若，，则 ．
12．如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为 ．
13．如图，平行四边形中，，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为 ．
14．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点E，此时为等边三角形，则的面积为 ．
15．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在的点处，折痕交点，第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若， ．
16．四边形ABCD为平行四边形，已知AB＝，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为 ．
17．如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB=6，5BE=AE．则AF长度为 ．
18．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点落在BC边上，折痕EF交AB、AD、分别于点E、F、G．继续折叠纸片，使得点C的对应点落在上，连接，点G到AD的距离为 ，的最小值为 ．
三、解答题
19．定义：有三个角相等的四边形叫做三等角四边形．
(1)在三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，则∠A的取值范围为 ．
(2)如图①，折叠平行四边形DEBF，使得顶点E、F分别落在边BE、BF上的点A、C处，折痕为DG、DH．求证：四边形ABCD为三等角四边形；
(3)如图②，三等角四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，若AB＝5，AD＝，DC＝7，则BC的长度为 ．
20．如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，∠ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，求四边形DBCE的周长．
21．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF．
(1)求证：△ABE≌△；
(2)连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．
22．雨伞是我们常用的雨具，如图是一把非折叠式雨伞，已知伞的轴杆AB=40cm，龙骨BF=32cm，支撑杆DC=14cm，支撑点D、E在龙骨的中点，C点在轴杆上滑动，当雨伞撑开时，AC=28cm，求此时雨伞的宽度．（撑开时龙骨的弯曲忽略）
23．如图，在ABCD中，，，，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．当点H与点C重合时．
(1)填空：点E到CD的距离是______；
(2)求证：；
(3)△CEF的面积为______；
24．如图1，在△ABC中，BC＝6，P是BC边的一点，且不与B，C重合，将△APB沿AP折叠得，过点C作AP垂线，垂足为D，连接．
(1)AB和的数量关系是 　 　，AP与的位置关系是 　 　；
(2)如图2，当四边形是平行四边形时，求BP的长；
(3)在（2）的条件下，若BD＝CD，求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】先判断出是直角三角形，再利用三角形的外角判断出①正确，进而判断出，得出是的中位线判断出②正确，利用等式的性质判断出④正确．
【详解】如图，连接，
∵点是中点，
∴，
由折叠知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确，
由折叠知，，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，故②正确，
∵，
∴，
由折叠知，，
∴，
∴，故④正确，
无法判断和的面积是否相等，
∴③不正确，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了折叠的性质，直角三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，作出辅助线是解本题的关键．
2．C
【分析】延长交于点H，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到，，在中，得到，，由折叠的性质得到是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】解：延长交于点H，
∵恰好垂直于，且四边形是平行四边形，
∴也垂直于，
由折叠的性质得，，，，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
3．A
【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．
【详解】解：
由折叠得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．
4．B
【分析】根据全等三角形的判定和性质及折叠的性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质等依次判断即可．
【详解】解：A、在和中：
∴；
∴；
∴，结论正确，不符合题意；
B、无法证明，结论错误，符合题意；
C、如图所示，沿折叠后，点的对应点是，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，结论正确，不符合题意；
D、∵，
∴，即点在线段的中垂线上，结论正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定定理以及性质，等腰三角形的性质及折叠的性质，解题关键是要把握三角形全等的判定定理．
5．A
【分析】由折叠的性质可得，△ABE≌△AE，可得到∠DE＝90°，由平行四边形的性质得ED＝BE＝E＝2，则利用勾股定理可求D＝．
【详解】解：由折叠的性质可得，△ABE≌△AE，
∴∠BEA＝∠EA＝45°，
∴∠BE＝90°，
∴∠DE＝90°，
∵BD＝4，四边形ABCD是平行四边形，
∴ED＝BE＝E＝2，
∴D＝，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理，熟练掌握翻折的性质求出∠DE＝90°是解题的关键．
6．D
【分析】点的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点落在DE上时，取最小值，根据折叠的性质利用勾股定理即可求解．
【详解】解：点的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点落在DE上时，取最小值，如图所示：
∵AB=4，E是AB边的中点，
∴AE=BE=2，
由沿所在直线折叠得到，
∴，
在平行四边形ABCD中，
∵∠B=60°，
∴∠BEG=∠AEH=30°，
∴BG=AH=1，
，
∴DH=AD=AH=6+1=7，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：
，
∴，
∴的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，两点之间线段最短的综合应用，勾股定理，含30°角的直角三角形，确定点的位置，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
7．B
【分析】①AC是对角线，A点沿EF对折后与C点重合，则点O为平行四边形ABCD对角线的交点，经过平行四边形对角线交点的直线被平行四边形的一组对边截成两条相等的线段，故0E=OF，用SAS证明△AOE≌△COF即可；②点A和点C关于EF成轴对称，故EF垂直平分AC，AE=CE；③EF⊥AC，可得△COF是直角三角形，G为CF的中点，直角三角形斜边上得中线等于斜边得一半，则；④不能判断BE和AB的关系，故不能够得到三角形和四边形的面积关系．
【详解】①∵A点沿EF对折后与C点重合
∴EF垂直平分AC(对称轴垂直平分对应点的连线)
∴AO=CO
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠CFO=∠AEO
∵AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，∠CFO=∠AEO
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF
∴AB-AE=CD-CF即DF=BE，故①正确
②∵EF垂直平分AC
∴AE=CE(垂直平分线上的点到两边距离相等)
∴∠CAE=∠ACE，
∵AB∥CD，
∴∠CAD=∠CAE，
∴
③∵EF⊥AC
∴△COF是直角三角形
∵G为CF的中点
∴，故③正确
④△CBE和四边形ABCD等高，但得不到它们的底BE和AB的数量关系，故④不正确．
①②③正确，④不正确
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和折叠问题，通过折叠能过得到轴对称图形，对称轴垂直平分对应点的连线，平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分．熟练地掌握平行四边形和折叠的性质是解题的关键．
8．A
【分析】先由折叠性质和点F是AB的中点得出AF与DF的数量关系，由勾股定理求得AF与DF，再平行四边形的面积公式求得BCDF的面积，进而求得四边形BEGF的面积．
【详解】】解：由折叠性质得BE=GE=CE，BF=GF，CD=DG，
∵四边形BCDF为平行四边形，
∴CD=BF，DF=BC，
∵AF=BF，
∴AF=BF=FG=DG，
∴2AF=DF，
在中，DF2-AF2=AD2，即4AF2-AF2=62，
∴AF=，
∴BF=，
∴S BCDF＝BF AD＝，
∵DG=FG，
∴S△EDG=S△EFG，
由折叠性质知S△CDE=S△EDG=S△RFG=S△BEF，
∴S四边形BEGF＝S BCDF＝．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，平行四边形的面积计算，折叠的性质，关键在应用勾股定理求出AF的长度．
9．B
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，由D为AB的中点，得到AD＝BD＝AB＝，，由△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，则A'D＝AD＝，△ADP≌△A′DP，，从而＝，点与点B到DP的距离相等，得到A′B//DP，四边形A'BPD是平行四边形，得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，
∴AC＝1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，
，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝，，
∵将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，
∴A′D＝AD＝，△ADP≌△A′DP，
∴，
∴＝
∴点与点B到DP的距离相等，
∴ A′B//DP
∵A′B＝DP，
∴四边形A'BPD是平行四边形
∴BP＝A'D＝，
故选：B
【点睛】本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及平行四边形判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
10．C
【分析】由折叠知可证，再通过证，可得四边形AEHG是平行四边形，通过面积转化可判断③和④的正确性．
【详解】解：由折叠知
，故②正确；
四边形AEHG是平行四边形，故①正确；
四边形BCDE的面积为x
，故③正确；
设点E到BG的距离为h
，故④错误；
故其中正确的结论有3个
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质、折叠的性质以及图形面积表示等知识．
11．
【分析】利用平行四边形的性质得，进而得出，利用折叠的性质得，进而求出，利用三角形内角和定理求出，即可求解．
【详解】解：在中，，
，
沿对角线折叠，使点落在点处，
，
，
在中，．
，
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
12．15
【分析】连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理求得DH=HC=，BD5，利用折叠的性质求得CG⊥BD，点F为BC中点，利用面积法求得CG=6，据此求解即可得到BGF的面积．
【详解】解：连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，
∵平行四边形ABCD中，∠A=45°，
∴∠DCB =∠A=45°，
∵DC=15，∠DCB=∠A=45°，
∴DH=HC，
由勾股定理得DH=HC=，
∵BC=10，
∴BH=10-=，
由勾股定理得BD=5，
由折叠的性质得EG=EC，FG=FC，
∵点E为DC中点，
∴EG=EC=DE，
∴∠ECG=∠EGC，∠EDG=∠EGD，
∵∠ECG+∠EGC+∠EDG+∠EGD=180°，
∴∠EGC+∠EGD=90°，
∴∠EGD=∠CGB=90°，即CG⊥BD，
∵FG=FC，
∴∠FCG=∠FGC，
∵∠FGC+∠FGB=90°，∠FCG+∠FBG=90°，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB，
∴FG=FB=FC，即点F为BC中点，
∵BC×DH=BD×CG，即10×=5×CG，
∴CG=6，
∴BG=2，
∵点F为BC中点，
∴==××2×6=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，证明CG⊥BD是解题的关键．
13．##
【分析】过作于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，求得，解直角三角形得到，，根据平行线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，过作于，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】过作于，
，
是等腰直角三角形，
，
将沿边折叠得到，
，，
，
，
，，
平行四边形中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
过作于，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，作出常用的辅助线是解题的关键．
14．
【分析】先利用为等边三角形得到，DC=CE，再根据平行四边形的性质得到CD=AB=5，，接着根据折叠的性质得AB=A=5，，CAB，则可以判断为等边三角形，利用CE==5，让后计算出AC=后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，DC=CE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=5，，
∵沿对角线AC对折得到，
∴AB=A=5，，CAB，
∴为等边三角形，
∴C，
而CE=CD=AB=5，
∴=5，
在Rt中，
，
∴()．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形得性质和等边三角形得判定与性质，解决本题的关键是熟练并运用以上的性质．
15．7
【分析】先把图补全，由折叠得：，，，证明是的中位线，得，即可得到答案．
【详解】解：把图补全如图所示：
由折叠得：，，，
，
，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，折叠的性质，把图形补全证明是的中位线是解本题的关键．
16．≤x≤3－2
【分析】如图1，当在AD上，易证由四边形为平行四边形，得到；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，可求得CE的另一个临界值，问题得解．
【详解】解：如图1，
当在AD上，此时，，，
∴，
∵ADBC，
∴四边形为平行四边形，
∴；
如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，
∴DA＝DE＝，
在Rt△ABG和Rt△ACG中，
∴
∴BG＝2，
∴AG＝3＝DH，
在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，
∴CE＝3－2；
综上：x的取值范围为：≤x≤3－2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．
17．
【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，
∵AB=6，5BE=AE，
∴AE=5，BE=，
由折叠的性质可知：GE=AE=5，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN=∠A=45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN=BN=BE=1，AM=BM=AB=6，
∴FH=BM=6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设MF=BH=x,则GH=GN-BN-BH=7-1-x=6-x，GF=AF=AM+FM=6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得x=，
∴AF=AM+FM=6+=．
∴AF长度为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
18．
【分析】过B作BH⊥AD于H，过G作GP⊥AD于P，GQ⊥于Q，过作⊥AD于R，由∠BAD=45°，AB=10，得BH=AB=5，从而可得=BH=5，根据将纸片折叠，使得点A的对应点落在BC边上，折痕EF，可知GP==，又GP⊥AD，GQ⊥，有GP=GQ=，即可得当与Q重合时，最小，最小值即是GQ的长，故可得答案．
【详解】解：过B作BH⊥AD于H，过G作GP⊥AD于P，GQ⊥于Q，过作⊥AD于R，如图：
∵∠BAD=45°，AB=10，
∴BH=AB=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，BH⊥AD，⊥AD，
∴四边形是矩形，
∴=BH=5，
∵GP⊥AD，⊥AD，
∴GP，
∵将纸片折叠，使得点A的对应点落在BC边上，折痕EF，
∴AG=，∠AFE=∠，
∴GP是△的中位线，
∴GP==，
∵GP⊥AD，GQ⊥，
∴GP=GQ=，
∵折叠纸片，使得点C的对应点C落在上，
∴当与Q重合时，最小，最小值即是GQ的长，
∴最小为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查平行四边形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质及作辅助线求出GP的长度．
19．(1)60°＜∠BAD＜120°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据四边形的内角和是360°，确定出∠BAD的范围；
（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E＝∠F，且∠E+∠EBF＝180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB＝∠DCB＝∠ABC即可；
（3）延长BA，过D点作DG⊥BA，继续延长BA，使得AG＝EG，连接DE；延长BC，过D点作DH⊥BC，继续延长BC，使得CH＝HF，连接DF，由SAS证明△DEG≌△DAG，得出AD＝DE＝，∠DAG＝∠DEA，由SAS证明△DFH≌△DCH，得出CD＝DF＝7，∠DCH＝∠DFH，证出，得出四边形DEBF是平行四边形，得出DF＝BE＝7，DE＝BF＝，由等腰三角形的性质得出EG＝AG＝（BE﹣AB）＝1，在Rt△DGA中，由勾股定理求出DG＝＝5，由平行四边形DEBF的面积求出DH＝，在Rt△DCH中，由勾股定理求出CH＝，即可得出BC的长度．
【详解】（1）解：∵∠BAD＝∠B＝∠BCD，∠BAD+∠B+∠BCD∠ADC=360°，
∴3∠BAD+∠ADC＝360°，
∴∠ADC＝360°﹣3∠BAD．
∵0＜∠ADC＜180°，
∴0°＜360°﹣3∠BAD＜180°，
∴60°＜∠BAD＜120°；
故答案为：60°＜∠BAD＜120°；
（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，
∴∠E＝∠F，，
∴∠E+∠EBF＝180°．
根据题意得：DE＝DA，DF＝DC，
∴∠E＝∠DAE＝∠F＝∠DCF，
∵∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCF+∠DCB＝180°，∠E+∠EBF＝180°，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ABC，
∴四边形ABCD是三等角四边形；
（3）解：延长BA，过D点作DG⊥BA，继续延长BA，使得AG＝EG，连接DE；延长BC，过D点作DH⊥BC，继续延长BC，使得CH＝HF，连接DF，如图所示：
在△DEG和△DAG中，，
∴△DEG≌△DAG（SAS），
∴AD＝DE＝，∠DAG＝∠DEA，
在△DFH和△DCH中，，
∴△DFH≌△DCH（SAS），
∴CD＝DF＝7，∠DCH＝∠DFH，
∵∠BAD＝∠B＝∠BCD，
∴∠DEB+∠B＝180°，∠DFB+∠B＝180°，
∴，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝7，DE＝BF＝，
∴EG＝AG＝（BE﹣AB）＝×（7﹣5）＝1，
在Rt△DGA中，DG＝＝＝5，
∵平行四边形DEBF的面积＝BE DG＝DH BF，
即：7×5＝DH×，
∴DH＝，
在Rt△DCH中，CH＝＝＝，
∴BC＝BF﹣2CH＝﹣2×＝；
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了三等角四边形的判定与性质，翻折变换﹣折叠问题，四边形的内角和定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和运用勾股定理是解决问题的关键．
20．18
【分析】根据勾股定理求得的长，根据折叠的性质以及直角三角形的两锐角互余可得∠B=∠BCD，可得BD=CD=AD=，进而可得DE为△ABC的中位线，从而求得的长，根据周长公式即可求解．
【详解】解：∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，
∴，
∵沿DE折叠，使点A与点C重合，
∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，
∴∠BCD=90°－∠DCE，
又∵∠B=90°－∠A，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD=AD==5，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE==3，
∴四边形DBCE的周长为：BD＋DE＋CE＋BC=5＋3＋4＋6=18．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)平行四边形，证明见解析
【分析】（1）由折叠的性质得CD=，CE=AE，DF=，∠CEF=∠AEF，再由平行四边形的性质得，AD=BC，AB=CD，则AB=；由得到∠AFE=∠CEF，则∠AFE=∠AEF，所以AE=AF，AF=CE，DF=BE，得到BE=，最后利用“SSS”即可判定△ABE≌△；
（2）证明AF=EC，再由即可求解．
【详解】（1）∵平行四边形纸片ABCD折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF，
∴CD=，CE=AE，DF=，∠CEF=∠AEF
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，AD=BC，AB=CD，
∴AB=，
∵，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴AF=CE，
又AD=BC，
∴，
∴DF=BE，
∴BE=，
在△ABE和△中，
，
∴△ABE≌△（SSS）；
（2）四边形AECF是平行四边形．
证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
∴∠5=∠6．
∴∠4=∠6．
∴AF=AE．
∵AE=EC，
∴AF=EC．
又∵，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点睛】此题主要考查折叠的性质、全等三角形的判定、平行四边形的性质与判定，属于中档难度的几何证明题，难度不大．解题的关键是熟练运用折叠和平行四边形的性质．
22．
【分析】连接DE交BC于H，在中，根据勾股定理求得DH，DE，再根据DE是的中位线即可求得雨伞的宽度．
【详解】解：连接DE交BC于H，连接FG，如图，
根据对称可得：点D和点E关于AB对称，
∴，
∵点D是BF的中点，
∴，
设BH=x cm，在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
∴，
∴，
∵点D，点E分别是BF，BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴（cm）
所以，此时雨伞的宽度是 cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，三角形的中位线，抓住DH是和的公共边，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
23．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）要求点E到的距离，由平行四边形两对边平行可知只需求出之间的距离即可，已知和，从而想到过点C作的垂线，构造直角三角形求解；
（2）要证，根据平行四边形的对边相等、对角相等及折叠的性质可得，，，观察图形可知是与的公共角，从而可得，利用即可证明；
（3）要求，由(2)中全等三角形知需求，过点E作，想到用勾股定理，需求和，在中，设，已知，表示出，，再结合折叠的性质及表示出，，解，即可求出的长，根据三角形面积公式，求出结果即可．
【详解】（1）解：过点作于点，如图所示：
，
∴，
∴，
，
∵点到的距离和点到的距离都是平行线间的距离，
∵点到的距离是，
∴点到的距离是．
故答案为：．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠D＝∠B，∠A＝∠BCD，
由折叠可知，AD＝CG，，，
∴BC＝GC，，，
∴
∴，
∴（ASA）．
（3）过点作于点，如图所示：
，，
，
，
设，则，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，根据题意作出辅助线，构造直角三角形，解直角三角形，是解题的关键．
24．(1)，
(2)2
(3)详见解析
【分析】（1）由轴对称的性质即可得到，；
（2）延长AP交于E，由△APB沿AP折叠得，有，根据四边形 是平行四边形，可得＝＝，即得BP＝BC＝2；
（3）连接交BC于G，由勾股定理可得CD＝2，再求出DP＝＝2，BE＝，PE＝＝1，在中，，可得，中，可得，从而，而，即可证得．
【详解】（1）解：∵△APB沿AP折叠得，
∴直线AP是的对称轴，
∴，
故答案为：AB＝AB'，AP⊥BB'；
（2）延长AP交于E，作CP中点T，PD中点K，连接KT，则KT是△PCD的中位线，如图：
∵△APB沿AP折叠得，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵KT是△PCD的中位线，
∴，KT＝CD，
∴BE＝KT，，
∴∠PBE＝∠PTK，∠PKT＝∠PEB，
∴△BEP≌△TKP（ASA），
∴BP＝PT，
∴BP＝PT＝CT＝BC，
而BC＝6，
∴BP＝BC＝2；
（3）连接交BC于G，如图：
由（2）知：四边形是平行四边形，BP＝2，
∴PC＝BC﹣BP＝4，
∵BD＝CD，
∴四边形是菱形，
∴，BG＝CG＝BC＝3，
∵CD⊥AP，
∴∠DGC＝∠PDC＝90°，
由勾股定理可得，，
∴，即 ，
解得DG＝（负值舍去），
∴CD＝2，DP＝2，
由（2）知：，
∴BE＝，
在Rt△BPE中，PE＝＝1，
∴DE＝DP+PE＝3，
Rt△ABE中，，
∴，
Rt△ADC中，，
∴，
而，
∴．
【点睛】本题考查对称变换，涉及平行四边形、菱形的性质与判定，勾股定理的应用等知识，解题的关键是勾股定理的灵活运用，表达出．
答案第1页，共2页
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