专题18.18平行四边形折叠问题和作图问题 培优篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题18.18 平行四边形折叠问题和作图问题
（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，已知，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG、BG，则=（ ）
A． B． C． D．
2．如图，中，对角线AC与BD相交于点E，，，将沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为，恰好，若点F为BC上一点，则的最短距离是（ ）
A．1 B． C． D．
3．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点E，F分别在边AB，AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，若，，，则AF长度为（ ）
A． B．7 C．6 D．20
5．如图，中，点E是AD上一点，BE⊥AB，△ABE沿BE对折得到△BEG，过点D作DF∥EG交BC于点F，△DFC沿DF对折，点C恰好与点G重合，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线EF分别交平行四边形ABCD边AB、CD于直E、F，将图形沿直线EF对折，点A、D分别落在点A′、D′处．若∠A=60°，AD=4，AB=8，当点A′落在BC边上任意点时，设点P为直线EF上的动点，请直接写出PC+PA′的最小值（）
A．4+ B．8 C．6+ D．4
7．如图，中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点；③画射线，交于点，交对角线于点．若，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
8．如图，在中，以点A为圆心，小于的长为半径作弧，分别交于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点G．若，则的长为（ ）
A． B．6 C． D．
9．如图，在平行四边形ABCD纸片中，∠BAD=45°，AB=10．将纸片折叠，使得点A的对应点A＇落在BC边上，折痕EF交AB、AD、AA＇分别于点E、F、G． 继续折叠纸片，使得点C的对应点C＇落在A＇F上．连接GC＇，则GC＇的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．如图，在 ABCD中， 分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝5.5，则AB的长是 ．
11．如图，在 ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG＝ ，点G到AB的距离为 ．
12．如图，在中，，，，为斜边的中点，点是射线上的一个动点，连接、，将沿着边折叠，折叠后得到，当折叠后与的重叠部分的面积恰好为面积的四分之一，则此时的长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知，C为线段的中点，点P是线段上的一个动点，连接，当的值为 时，将沿边所在直线翻折后得到的与重叠部分的面积为面积的．
14．四边形ABCD为平行四边形，已知AB＝，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，在同一平面内将△ABC沿AC翻折，得到△AB’C，若四边形ABCD的面积为24cm2，则翻折后重叠部分（即S△ACE) 的面积为 cm2．
16．如图，在平行四边形中，，点关于的对称点为，联结交于点，点为的中点，联结，则的面积为 ．
17．如图，在 ABCD中，M为边CD上一点，将△ADM沿AM折叠至△AD′M处，AD′与CM交于点N．若∠B＝55°，∠DAM＝24°，则∠NMD′的大小为 度．
18．如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为
三、解答题
19．如图，在平行四边形中，， ，，， 垂足为，在平行四边形的边上有一点，且.将平行四边形折叠，使点与点合，折痕所在直线与平行四边形交于点、．
（1）求的长；
（2）请补全图形并求折痕的长．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．
（1）若PQ⊥AB，由折叠性质可得∠BPC＝　 　°；
（2）若a＝8，b＝6，且PQ⊥AB，求C到AB的距离及BP的长；
（3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式．
21．如图1，在△ABC中，BC＝6，P是BC边的一点，且不与B，C重合，将△APB沿AP折叠得，过点C作AP垂线，垂足为D，连接．
(1)AB和的数量关系是 　 　，AP与的位置关系是 　 　；
(2)如图2，当四边形是平行四边形时，求BP的长；
(3)在（2）的条件下，若BD＝CD，求证：．
22．已知在中，，，点 为线段 上一点，连接．
(1)如图 1 所示，在右侧作等腰，其中，．当 ， 时，求的长；
(2)如图 2 所示，在右侧作等边，连接，点为 中点，连接 交 点 ．猜想线段 与之间存在的数量关系， 并证明你的猜想；
(3)如图 3， 点为中点，将沿翻折得到，连接，点 为的中点，连接．当的值最小时，连接、，直接写出的值．
23．小星在学习了轴对称的性质后，对三角形中角之间的关系进行了拓展探究．如图，在中，将沿折叠，点的对应点是点．
(1)问题解决：如图①，，当点的对应点落在的边上时，______度；
(2)问题探究：如图②，，当点的对应点落在的外部时，若，求的度数；
(3)拓展延伸：如图③，当点与点重合时，将沿折叠．点的对应点是点，与相交于点，若点是的中点，，，求的度数．
24．综合与探究：
问题情境：已知，如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4．点D是AC的中点，点E在BC延长线上，且∠CDE＝60°．保持△ABC不动，将△CDE从图1的位置开始，绕点C顺时针旋转α°（0＜α＜180）得到△CD'E'，D、E的对应点分别为D'、E'．
(1)初步思考：求证：DE＝AC；
(2)操作探究：如图2，当点落在DE边上时，连接AD'，判断此时四边形ACE'D'的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答，我选择_____题．
A．在△CDE旋转过程中，当D'E'//BC时，请直接写出此时旋转角a的度数及B、E'两点间的距离．
B．在△CDE旋转过程中，当D'E'//AB时，延长AC交D'E'于点F，请直接写出此时旋转角α的度数及线段CF的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】取BC中点H，连接AH，连接CE交AD于N，作交CD的延长线于M，构建计算即可．
【详解】如图，取BC中点H，连接AH，连接CE交AD于N，作交CD的延长线于M，
∵，，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，，
∵， ，
∴ ， ，
∵，
∴，，
∴ ，，
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，轴对称图形，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确添加辅助线构建三角形解决问题．
2．C
【分析】由折叠的性质，可得，，，由和，可得，由平行四边形和折叠的性质可求得，连接，易知是等边三角形，继而可得，然后根据平行四边形和折叠的性质可求得，利用勾股定理可求得，由垂线段最短可知，当时，最短，然后根据勾股定理即可求得答案.
【详解】解：由折叠的性质，可得：，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴，
∴，
如图，连接，作，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
在中，，
∴，
由垂线段最短可知，当时，最短，
在中，，，
∴，
∴.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等，熟练掌握相关定理是解题的关键.
3．B
【分析】过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC是BE的垂直平分线，利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积列式可得BF的长，根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长．
【详解】解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，
由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA，
∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA，
∴四边形ADEC是等腰梯形，
连接BE，
∵AB＝AE，CB＝CE，
∴AC是BE的垂直平分线，
∵，
∴CN＝，BN＝1，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
∴AC＝＝＝2，
∴S平行四边形ABCD＝AB DM＝AC BF，
∴4×＝2BF，
∴BF＝，
∴CF＝＝＝，
在等腰梯形ADEC中，
DE＝AC﹣2CF＝2﹣2×＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰梯形，含30°的直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
4．A
【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，
得矩形BHFM，
∴∠MBC＝90°，MB＝FH，FM＝BH，
∵AB＝6，5BE＝AE，
∴AE＝5，BE＝，
由折叠的性质可知：GE＝AE＝5，GF＝AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABN＝∠A＝45°，
∴△BEN和△ABM是等腰直角三角形，
∴EN＝BN＝BE＝1，AM＝BM＝AB＝6，
∴FH＝BM＝6，
在Rt△GEN中，根据勾股定理，得
EN2+GN2＝GE2，
∴12+GN2＝（5）2，
解得GN＝±7（负值舍去），
∴GN＝7，
设MF＝BH＝x，
则GH＝GN﹣BN﹣BH＝7﹣1﹣x＝6﹣x，GF＝AF＝AM+FM＝6+x，
在Rt△GFH中，根据勾股定理，得
GH2+FH2＝GF2，
∴（6﹣x）2+62＝（6+x）2，
解得x＝，
∴AF＝AM+FM＝6+＝ ．
∴AF长度为 ．
故答案为：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
5．B
【分析】根据平行线的性质和轴对称的性质，利用SAS证明，进而得到，设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=，即可求解．
【详解】解：在中
∵DF∥EG
∴∠DEG=∠DFB
∵△ABE沿BE对折得到△BEG
∴∠DEG=2∠A
∵∠DFB=∠C+∠CDF
∠A=∠C
∴∠CDF=∠A
∵△DFC沿DF对折
∴∠BGE=∠DGE
BG=DG
EG=EG
∴
∵BE⊥AB
∴
设AB=x，则AG=2x，CD=x，AD=
∴
故选：B．
【点睛】此题主要考查平行线的性质、轴对称的性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理，熟练运用平行线的性质和轴对称的性质证明是解题关键．
6．D
【分析】连接AC交EF于P′，连接P′A′，作CH⊥AB交AB的延长线于H．因为A、A′关于直线EF对称，推出P′A′=P′A，推出P′A′+P′C=P′A+P′C=AC，推出当点P与P′重合时，PA′+PC的值最小，最小值=AC的长；
【详解】如图，连接AC交EF于P′，连接P′A′，作CH⊥AB交AB的延长线于H．
∵A、A′关于直线EF对称，
∴P′A′=P′A，
∴P′A′+P′C=P′A+P′C=AC，
∴当点P与P′重合时，PA′+PC的值最小，最小值=AC的长．
在Rt△BCH中，∵BC=4，∠CBH=60°，
∴BH=2，CH=2，
∴AH=AB+BH=10，
在Rt△ACH中，AC=．
∴PC+PA′的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题考查解直角三角形、轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题．
7．A
【分析】先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，利用基本作图得到BQ平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点O到BA的距离等于点O到BC的距离，接着利用三角形的面积公式得到S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OAAC．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∵BA⊥CA，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AC8，
由作法得BQ平分∠ABC，
∴点O到BA的距离等于点O到BC的距离，
∴S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5，
∵S△ABO：S△BCO＝OA：OC，
∴OA：OC＝3：5，
∴OA：AC＝3：8，
∴OAAC8＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．
8．A
【分析】根据作图过程可得AG平分∠DAB，再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAG=∠DGA，进而得到AD=DG，过A作AM⊥CD于M，依次求出MD、AM、AG即可解决问题．
【详解】解：过A作AM⊥CD于M，
根据作图的方法可得AG平分∠DAB，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∵,，
∴CD∥AB，AD=BC=6，，
∴∠DGA=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴AD=DG=BC=6，
∵，
∴∠DGA=30°，∠ADM=60°，
∴在Rt△ADM中，，
∴，
∴在Rt△AGM中，，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法、30°直角三角形的性质；根据尺规作图的步骤判断是作角平分线是解决问题的关键．
9．B
【分析】如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，，，利用角平分线和中位线的性质求得的长度，根据垂线段最短，即可求解．
【详解】解：如图，作GH⊥AD，BR⊥AD，GP⊥A＇F，A＇Q⊥AD，
∵∠BAD=45°，AB=10
∴为等腰直角三角形，
由题意可得，垂直平分，，
∴，
∴，
在中，，当、两点重合时，
即的最小值为
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称的性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，垂线段最短，解题的关键是作出合适的辅助线，灵活运用相关性质进行求解．
10．
【分析】过G点作GM⊥AF于点M，设DE＝BF＝x，由勾股定理求得AM与GM，再证明AF＝EF，用x表示AF，FG，FM，由勾股定理列出x的方程，求得x的值，便可求得AB．
【详解】解：过G点作GM⊥AF于点M，
由折叠知AG＝AD＝4，
∵∠GAF＝45°，
∴∠AGM＝45°，
∴AM＝GM＝＝4，
∵DE＝BF，
∴设DE＝BF＝x，则由折叠性质知，EG＝DE＝BF＝FH＝x，
∵GH＝5.5
∴EF＝2x+5.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠AED＝∠BAE，
∵∠AED＝∠AEG，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴AF＝EF＝2x+5.5，
∴AB＝AF+BF＝3x+5.5，MF＝AF﹣AM＝2x+1.5，
由勾股定理得，FG2﹣FM2＝MG2，
即（x+5.5）2﹣（2x+1.5）2＝42，
解得，x＝3，或x＝﹣ （舍），
∴AB＝3x+5.5＝14.5，
故答案为：14.5．
【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形性质，方程思想的运用，属于综合提高题．
11． 2 ##
【分析】根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．
【详解】解：如图，GF⊥AB于点F，
∵点E是CD边上的中点，
∴CE=DE=2，
由折叠可知：∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，
在 ABCD中，BC=AD=3，BC∥AD，
∴∠D+∠C=180°，BG=AD，
∵∠BGE+∠AGB=180°，
∴∠AGB=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠AED，
在△ABG和△EAD中，，
∴△ABG≌△EAD（AAS），
∴AG=DE=2，
∴AB=AE=AG+GE=4，
∵GF⊥AB于点F，
∴∠AFG=∠BFG=90°，
在Rt△AFG和△BFG中，
根据勾股定理，得AG2-AF2=BG2-BF2，即22-AF2=32-（4-AF）2，
解得AF=，
∴GF2=AG2-AF2=4-=，
∴GF=，
故答案为2，．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明△ABG≌△EAD是解题的关键．
12．或
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出AB，即可得到AE的值，进而根据勾股定理求出BC，分类两种情况讨论：①若与AB交于点F，连接，易得，即可得到，，从而得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解；②若与BC交于点G，连接，交EP于H，同理可得，，根据三角形中位线定理可得，此时点P与点C重合，进而可求解．
【详解】解：，为斜边AB的中点，
∴AB=8，，，
①若与AB交于点F，连接，如图1所示，
由折叠可得，，，
∵点E是AB的中点，
∴，
由题意得，
，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
②若与BC交于点G，连接，交EP于H，如图2所示，
同理可得，，
，
，
，
∴点P与点C重合，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换，轴对称图形，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理等知识，巧妙运用分类讨论思想是解题的关键．
13．
【分析】根据题意作出图形，根据与重叠部分的面积为面积的，得出为的中点，可得四边形为平行四边形，根据折叠的性质可得，即可求解．
【详解】解：，
，
如图，作关于的对称点，连接，，取的中点，
C为线段的中点，
，
为与重叠部分，
，
与重叠部分的面积为面积的，
过点，
对称，
，
与重叠部分的面积为面积的，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
对称，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，三角形中线的性质，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
14．≤x≤3－2
【分析】如图1，当在AD上，易证由四边形为平行四边形，得到；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，可求得CE的另一个临界值，问题得解．
【详解】解：如图1，
当在AD上，此时，，，
∴，
∵ADBC，
∴四边形为平行四边形，
∴；
如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，
当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，
∴DA＝DE＝，
在Rt△ABG和Rt△ACG中，
∴
∴BG＝2，
∴AG＝3＝DH，
在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，
∴CE＝3－2；
综上：x的取值范围为：≤x≤3－2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．
15．6
【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，可证点B，点A，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，S△ABC==12cm2，
∵在同一平面内将△ABC沿AC翻折，得到△AB′C，
∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，
∴∠BAB'=180°，
∴点B，点A，点B'三点共线，
∵AB∥CD，AB'∥CD，
∴四边形ACDB'是平行四边形，
∴B'E=CE，
∴S△ACE=S△AB'C=6cm2，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B，点A，点B'三点共线是本题的关键．
16．
【分析】如图，取中点，联结，联结交于，作交的延长线于．先证明是等边三角形进而，，结合30°直角三角形性质可求线段长，再利用计算即可；
【详解】解：如图，取中点，联结，联结交于，作交的延长线于．
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，，
，
，，
，，
．
故答案为．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、轴对称图形、勾股定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角三角形（含30°或45°）解决问题，属于中考常考题型．
17．22.
【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=55°，由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，由三角形的外角性质求出∠AMN=79°，与三角形内角和定理求出∠AMD'=101°，即可得出∠NMD'的大小.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=55°，
由折叠的性质得：∠D'=∠D=55°，∠MAD'=∠DAM=24°，
∴∠AMN=∠D+∠DAM=55°+24°=79°，∠AMD'=180°-∠MAD'-∠D'=101°，
∴∠NMD'=101°-79°=22°；
故答案为22.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AMN和∠AMD'是解决问题的关键.
18．45
【分析】连接，作点D关于直线的对成点T，连接、、．首先证明B、A、T共线，求出，证明四边形EGCD是平行四边形，推出，进而得到，根据，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．
∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，
∴，，，
∵，
∴，
∵D、T关于对称，
∴，，
∴，
∵，
∴B、A、T共线，
∴，
∵， ，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则的最小值为45．
故答案为：45．
【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会运用转化的思想思考问题．
19．（1）；（2）补全图形见解析；折痕的长为5或．
【分析】（1）在Rt△ADE中，，，求得，再根据勾股定理即可求解；
（2）分点O在AB和AD两类讨论，当点在上时，可得是等边三角形.求得；点点O在AD上时，过点、分别作， ，
垂足分别为、， 连接，.求出，，，根据折叠性质，结合勾股定理，求出，进而求出，利用面积法即可求得．
【详解】(1)∵，， ，
∴.
∴.
∴.
（2）如图1所示，当点在上时，
∵， ，
∴.
∵四边形是平行四边形，
∴，， .
∴.
∵将平行四边形折叠，使点与点重合，
∴折痕垂直平分，即，
.
∵折痕与平行四边形的边交于点，
∴点与点重合.
∵，
∴.
∴.
∴.
∵，
∴是等边三角形.
∴.
如图2所示，当点在上时，
过点、分别作， ，
垂足分别为、， 连接，.
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，
∵， ，
∴.
∵在中， ，
∴.
∴，
.
∴在中，，
由折叠可知，，.
∴在中，，
即.
∴.
∴，，
∴.
∴四边形为矩形.
∴，
∵，
∴
∴.
综上所述，折痕的长为5或.
【点睛】（1）见60°角一般转化为直角三角形或等边三角形解决问题；
（2）点在平行四边形的边上，要根据题意进行分类讨论求解．
20．（1）45°；（2）CH=;（3）a=．
【分析】（1）先由翻折的性质可得，再由题意可得=90°，进而得到∠APC=135°，最后根据邻补角的性质即可解答；
（2）如图，作CH⊥AB于H，先说明CH=PH，再求出AB，最后根据等面积法列方程解答即可；
（3）如图:连接BQ，由翻折的性质可得：PA=PQ、∠QPC=∠APC，再利用平行四边形的性质得到∠QPC+∠PCB=180°进而得到∠PCB=∠BPC，即PB=BC=AP=b、AB=2b，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：由翻折的性质可得
∵PQ⊥AB
∴=90°
∵180°，
∴
∴∠APC=135°
∴∠BPC=180°-∠APC=45°；
（2）如图，作CH⊥AB于H
由翻折的性质可知：∠APC=∠QPC
∵CH⊥AB，∠BPC=45°
∴CH=PH
在Rt△ABC中，
∵，即
∴CH=；
（3）如图:连接BQ
由翻折的性质可得：PA=PQ，∠QPC=∠APC
∵四边形BCPQ是平行四边形
∴PQ=BC=PA=b，PQ//BC，
∴∠QPC+∠PCB=180°
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠PCB=∠BPC
∴PB=BC=b
∴AP=PB=b，AB=2b，
在Rt△ABC中，则有（2b）2=a2+b2
∴a2=3b2
∵a>0.b>0，
∴a=．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解正确辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．
21．(1)，
(2)2
(3)详见解析
【分析】（1）由轴对称的性质即可得到，；
（2）延长AP交于E，由△APB沿AP折叠得，有，根据四边形 是平行四边形，可得＝＝，即得BP＝BC＝2；
（3）连接交BC于G，由勾股定理可得CD＝2，再求出DP＝＝2，BE＝，PE＝＝1，在中，，可得，中，可得，从而，而，即可证得．
【详解】（1）解：∵△APB沿AP折叠得，
∴直线AP是的对称轴，
∴，
故答案为：AB＝AB'，AP⊥BB'；
（2）延长AP交于E，作CP中点T，PD中点K，连接KT，则KT是△PCD的中位线，如图：
∵△APB沿AP折叠得，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵KT是△PCD的中位线，
∴，KT＝CD，
∴BE＝KT，，
∴∠PBE＝∠PTK，∠PKT＝∠PEB，
∴△BEP≌△TKP（ASA），
∴BP＝PT，
∴BP＝PT＝CT＝BC，
而BC＝6，
∴BP＝BC＝2；
（3）连接交BC于G，如图：
由（2）知：四边形是平行四边形，BP＝2，
∴PC＝BC﹣BP＝4，
∵BD＝CD，
∴四边形是菱形，
∴，BG＝CG＝BC＝3，
∵CD⊥AP，
∴∠DGC＝∠PDC＝90°，
由勾股定理可得，，
∴，即 ，
解得DG＝（负值舍去），
∴CD＝2，DP＝2，
由（2）知：，
∴BE＝，
在Rt△BPE中，PE＝＝1，
∴DE＝DP+PE＝3，
Rt△ABE中，，
∴，
Rt△ADC中，，
∴，
而，
∴．
【点睛】本题考查对称变换，涉及平行四边形、菱形的性质与判定，勾股定理的应用等知识，解题的关键是勾股定理的灵活运用，表达出．
22．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图1中，过点作与点，证明推出，，解直角三角形求出，，可得结论；
（2）结论：，理由如下：如图2中，延长到，使得，连接，，，以为边向下作等边，连接，，利用全等三角形的性质证明，，可得结论；
（3）如图3中，连接，取的中点，连接，，由，推出当点落在上，的值最小，如图4中，设，则，，，利用三角形的中线的性质求出的面积和四边形的面积，可得结论．
【详解】（1）如图1中，过点作与点，
，
，
，
，
，，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
（2）结论：，理由如下：
如图2中，延长到，使得，连接，，，以为边向下作等边，连接，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3中，连接，取的中点，连接，
，，
定值，
是定值，
，
当点落在上，的值最小，如图4中，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形和等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题是解本题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用翻折变换的性质求解即可；
（2）设，在中，利用三角形内角和定理，构建方程求解；
（3）如图中，连接，，延长交于点．求出，利用全等三角形的性质证明四边形是平行四边形即可．
【详解】（1）解：如图中，
由翻折变换的性质可知，，
，
．
故答案为：．
（2）如图中，设．
，，
，
由翻折变换的性质可知，，
，
，
，
．
（3）如图中，连接，，延长交于点．
由翻折变换的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．(1)见解析
(2)四边形是平行四边形，理由见解析
(3)A：旋转角的度数为150°；B，E两点间的距离为2．B：旋转角的度数为105°；线段CF的长为
【分析】（1）由含30°角直角三角形的性质可得DE=2CD，再由D是中点即可得到结论；
（2）由旋转的性质及（1）得，且，从而可得，则由平行四边形的判定即可证得结论；
（3）选择A：如图3，连接，由旋转的性质及平行线的性质可得，则可求得的度数，从而得到旋转角的度数；再由及已知可得四边形是平行四边形，从而可得；
选择B：如图4，过点C作，由平行条件可得∠CFG=45°，再由旋转性质及三角形外角的性质可求得的度数，即旋转角的度数；分别在与中即可求得CF的长．
【详解】（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠E=90° ∠CDE=30°，
∴DE=2CD，
∵D是AC的中点，
∴AC=2CD，
∴DE=AC；
（2）四边形是平行四边形，理由如下：
由旋转的性质得：，，，
由（1）知，DE=AC，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）选择A：如图3，由旋转的性质得：，
∵D'E'//BC，
∴，
∴，
即，
连接，
∵AC=BC，AC=DE，，
∴
∵D'E'//BC，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵D是AC的中点，
∴，
∴；
选择B：如图4，过点C作于G，
∵AB=AC，∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵D'E'//AB，
∴∠CFG=∠A= 45°，
∵，
∴，
即旋转角α的度数为105°；
∵，，∠CFG = 45°，
∴，，
∴，CG=FG，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，平行线的性质等知识，具有一定的综合性，灵活运用这些知识是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
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