专题18.20平行四边形最短路径问题 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题18．20 平行四边形最短路径问题（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，，，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，，D为AB边上一点，将DC平移到AE（点D与点A对应），连接DE，则DE的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
4．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（ ）
A． B．6 C．4 D．
5．在平行四边形ABCD中，BC＝4，∠B＝60°，过点A分别作BC，CD的垂线，垂足分别为M、N，连接MN，则MN的最小值为（　　）
A． B．3 C．2 D．2
6．如图，在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．4
7．如图，在等腰和等腰，，，为的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．在边长为的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，已知四边形各顶点坐标分别是：，且，那么四边形周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点，的坐标分别为，，点为平面直角坐标系内一点，，点为线段的中点，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于 ．
12．如图所示，已知的顶点A的坐标为，顶点B，D分别在x轴和直线上，则对角线的最小值是 ．
13．如图，在中，，点、是直线上的两个动点（不与点、重合），，连接、，若，则周长的最小值为 ．
14．如图，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝2，点P为BC上一动点，AQ∥BC，CQ∥AP，AQ 、CQ交于点Q，则四边形APCQ的形状是 ，连接PQ，当PQ取得最小值时，四边形APCQ的周长为 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，在线段AD上取一点E，使得DE＝2，连接BE，在线段AE，BE上分别取一点P，Q，则的最小值为 ．
16．如图，在中，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是 ．
17．如图，在平行四边形中，，，将线段沿着直线上下平移得到线段，连接，，则的最小值是 ．
18．如图，在中，，，，为上的两个动点，且，则的最小值是 ．
三、解答题
19．如图，在平行四边形中，，，，
(1)平行四边形的面积为________．
(2)若是边的中点，是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．
20．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABDC的顶点A，B，C的坐标分别是（-1，0），（3，0），（0，2），点M是y轴正半轴上的动点，点N是x轴正半轴上的动点．
(1)填空：点D的坐标为_______；CN+DN的最小值为_________
(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为t秒，若四边形OMDB的面积是8，求t的值；
(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线DN交y轴于点E．设运动时间为t秒．问：S△EMD-S△OEN的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
21．如图，在中，，，动点在的延长线上，是以为斜边的直角三角形，是的中点，连接，，且．
(1)证明：、、三点共线；
(2)连接．
①试判断线段与的数量关系，并给出证明；
②当，且线段取到最小值时，求的长度．
22．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足．平移OA至CB（点O与点C对应，点A与点B对应），连接OC，AB．
(1)填空： ， ，点B的坐标为 ；
(2)点D，E分别是OA，AB边上的动点，连接DC，DE，M，N分别为DC，DE的中点，连接MN．当D，E分别在OA，AB边上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，将线段CO绕点C逆时针旋转90°至CF，连接OF．P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ，其中．试猜想，，三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
23．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．
(1)如图1所示，当∠DPA'＝10°时，∠A'PB＝　 　度；
(2)如图2所示，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；
(3)当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，求△BA'F周长的最小值．
24．在学习完了《18.1平行四边形的性质》之后，王老师在数学活动课上对下面一个问题让学生展开探究活动．
问题情境：图1，在 ABCD中，CA⊥AB，AB＝6cm，AC＝8cm，点O为AC的中点，动点P在BC边上运动，直线PO交AD于E．
问题发现：数学智慧小组”通过积极的动手操作，观察，猜想，提出了如下问题：
（1）在点P运动的过程中，始终存在PO＝OE，为什么？
（2）在点P运动到PO⊥AC时，四边形ABPE是平行四边形，为什么？此时BP的长度是多少？
（3）在点P运动的过程中，四边形ABPE的周长是否存在最小值？如果存在，则四边形ABPE的周长的最小值是　 　cm；BP的长度为　 　cm．
问题解决：
“数学智慧小组”欢迎您的加入，请开启您的“问题解决之旅”吧！
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，可以得到当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP的值就是AQ的最小值，从而可以解答本题．
【详解】解：∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AQ＝PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵∠BAC＝45°，
，
设，
在Rt△APC中，AB＝AC＝8，
则，即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．C
【分析】由得∠ADB＝90°，由勾股定理求出BD＝2，得到∠BAD＝∠ABD＝45°，延长BD至点，使得 D＝BD＝2，连接E，则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，给出证明，再过点E作EF⊥B于点F，由勾股定理求出EF的长，再求得F＝BD＋D－BE＝3，最后利用勾股定理得出答案．
【详解】解：∵
∴∠ADB＝90°
∵，
∴AB＝2
由勾股定理得
BD＝
∴AD＝BD＝2
∴∠BAD＝∠ABD＝45°
∵E是AB的中点，
∴BE＝AE＝AB＝
延长BD至点，使得 D＝BD＝2，连接E，
则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，如下图，
理由如下：
∵ ’ ，D＝BD＝2，
∴ AD垂直平分B
∴AD上任意一点P,总有PB＝P，
由“两点之间，线段最短”可知，点P在E与AD的交点处时，
PE＋PB的值最小，最小值为E的长，此时过点E作EF⊥B于点F，如上图，
则∠EFB＝∠EF＝90°，
∵∠ABD＝45°
∴EF＝BF
∴EF2＋BF2＝BE2＝2EF2
∴EF＝BF＝＝1
∴F＝BD＋D－BE＝3
在Rt△EF中，由勾股定理得
E＝＝＝
即的最小值为
故选：C
【点睛】本题考查了最短路径问题、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，掌握最短路径的确定方法、灵活应用勾股定理是解题的关键．
3．A
【分析】过点C作CG⊥AB于点G，连接CE，根据，，，运用勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，得到∠ACB=90°，根据平移性质证明四边形ADEC是平行四边形，得到CE∥AD，根据当DE⊥AB时， DE最小，此时，根据∠DEC=∠ECG=90°，证明四边形EDGC是矩形，得到DE=CG，运用面积法得到，求出，得到DE的最小值为．
【详解】过点C作CG⊥AB于点G，连接CE，
则∠AGC=90°，
∵中，，，，
∴，
∴是直角三角形，∠ACB=90°，
由平移知，AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴CE∥AD，
当DE⊥AB时， DE最小，
此时，∠DEC=∠ECG=90°，
∴四边形EDGC是矩形，
∴DE=CG，
∵
∴
∴，
∴，
∴DE的最小值为．
故选A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，平移，平行四边形，三角形面积，垂线段，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握用勾股定理的逆定理判断直角三角形，平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形面积公式，垂线段最短的性质．
4．D
【分析】点的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点落在DE上时，取最小值，根据折叠的性质利用勾股定理即可求解．
【详解】解：点的运动轨迹以E为圆心，以AE的长为半径的圆，则当点落在DE上时，取最小值，如图所示：
∵AB=4，E是AB边的中点，
∴AE=BE=2，
由沿所在直线折叠得到，
∴，
在平行四边形ABCD中，
∵∠B=60°，
∴∠BEG=∠AEH=30°，
∴BG=AH=1，
，
∴DH=AD=AH=6+1=7，
在Rt△DHE中，由勾股定理得：
，
∴，
∴的最小值是，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，两点之间线段最短的综合应用，勾股定理，含30°角的直角三角形，确定点的位置，利用勾股定理解决问题是解题的关键．
5．B
【分析】由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求FC，AN，EN，AE的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点N作NE⊥AD于E，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，∠B＝∠D＝60°，
∵CF⊥AB，AN⊥CD，
∴，∠BCF＝30°，
∴四边形AFCN是平行四边形，BFBC＝2，CFBF＝2，
∴AN＝CF＝2，
∵AN⊥CD，∠D＝60°，
∴∠NAD＝30°，
∴ENAN，AEEN＝3，
∵AM⊥BC，NE⊥AD，
∴，
∴当MN⊥EN时，MN有最小值为3，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
6．C
【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接GF，证FG⊥BC，则FG的长即为PB+PQ的最小值．
【详解】解：取BC的中点G，连接AG．在 ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，
∴AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，
∴∠GAC＝∠GCA＝30°，
∴∠BAC＝90°，
作点B关于AC的对称点F，连接GF， 交AC于点P，由对称可知，B、A、F在一条直线上，AG＝AF，
∵∠BAG＝∠F+∠AGF＝60°，
∴∠F＝∠AGF＝30°，
∴∠FGB＝90°，
当点Q与点G重合时，PB+PQ=PF+PG=FG，FG的长即为PB+PQ的最小值，
∵∠F＝∠AGF＝30°，AG＝GC＝2，
∴BF＝4，
，
∴BP+PQ的最小值为2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，等边三角形的性质，根据垂线段最短作出辅助线，确定点P，Q的位置是解答此题的关键．
7．B
【分析】取AB的中点G，接DG，CG，过C作于点H，根据三角形中位线的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：取AB得中点G，连接DG，CG，过点C作交AB延长线与H．
∵点D是AE的中点，点G是AB的中点，
∴AD = ED，AG=BG，
∴DG是的中位线，
∴DG=BE，
∵AB=BC=BE=2，
∴DG=1，BG=1，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴HG= BG +BH=2，
在中，
，
∵，
∴，
∴当且仅当D、G、C三点共线时，线段CD取最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查勾股定理，关解题的键是根据三角形的中位线定理和勾股定理解答．
8．C
【分析】根据平行四边形的性质可推出DE=2OD，则可得当OD⊥AC时，DO的值最小，即DE的值最小，过O作OF⊥AC于点F，利用等边三角形及直角三角形性质可求得AF=OA=，则可利用勾股定理求得OF的长，即可得出结论．
【详解】解：设AB与DE相交于点O，
∵四边形是平行四边形，是边长为2的等边三角形，
∴OA=OB=AB=1，OD=OE=DE．
即DE=2OD．
∴当OD⊥AC时，DO的值最小，即DE的值最小．
如图，过O作OF⊥AC于点F，
∴∠AFO =90°．
∵是等边三角形，
∴∠BAC =60°．
∴∠AOF =30°．
∴AF=OA=．
∴OF=．
当OD=OF时，DO的值最小，即DE的值最小，
∴DE=2OF=．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形、等边三角形及直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．A
【分析】如图，把向上平移一个单位得：，作关于直线的对称点 连接，交直线于 连接，则此时四边形的周长最短，再利用勾股定理可得： ，利用从而可得答案．
【详解】解：如图，把向上平移一个单位得：，作关于直线的对称点 连接，交直线于 连接，
，
由
四边形是平行四边形，
所以此时：四边形的周长最短，
故选：
【点睛】本题考查的是图形与坐标，勾股定理的应用，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
10．D
【分析】连接，取中点，连接，根据三角形任意两边之和大于第三边求最值即可．
【详解】解：连接，取中点，连接，
∵，
∴当取最大值时，三点共线，即在之间，
即，
∵分别是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，中位线定理，平面直角坐标系中的点与几何，勾股定理，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
11．3
【分析】如图，过作交的延长线于点，根据平行四边形的性质，推出，从而得到，进而得到，根据，可知，当三点共线时，线段的和最小，利用所对的直角边是斜边的一半即可得解．
【详解】解：如图，过作交的延长线于点，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当三点共线时，线段的和最小，
∵，，
∴，
即：的最小值等于3；
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，以及含的直角三角形．通过添加辅助线，构造含的直角三角形，利用垂线段最短进行求解，是解题的关键．本题是胡不归模型，平时多归纳总结，可以快速解题．
12．##
【分析】设点C坐标为（a，b），由平行四边形的性质可求b＝，可得点C在直线y＝上运动，再根据点C在y轴上时，AC的长度有最小值求解即可．
【详解】解：设点C坐标为（a，b），
∵顶点B、D分别在x轴和直线y＝ 3上，
∴点B，点D的纵坐标分别为0， 3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC与BD互相平分，
∴，
∴b＝，
∴点C在直线y＝上运动，
∴当点C在y轴上时，AC的长度有最小值，
∴对角线AC的最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，确定点C的运动轨迹是本题的关键．
13．18
【分析】作点E关于AB的对称点G，连接EG交AB于点H，连接BG，FG，则EG⊥AB，GH=EH，BE=BG，可得当点G，B，F三点共线时，BG+BF最小，即为FG的长，此时周长的最小，再根据平行四边形的性质可得，GH=EH=6，进而得到EG=12，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，作点E关于AB的对称点G，连接EG交AB于点H，连接BG，FG，则EG⊥AB，GH=EH，BE=BG，
∴周长为BE+BF+EF=BG+BF+EF，
∴当点G，B，F三点共线时，BG+BF最小，即为FG的长，此时周长的最小，
四边形是平行四边形，
，，
∴EG⊥CD，
，
∴，
∴GH=EH=6，
∴EG=12，
∴，
的最小值为，
的周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，属于中考常见题．
14． 平行四边形 ##
【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可求解；当PQ是AQ和BC间距离时PQ取得最小值，计算四边形APCQ的周长即可．
【详解】解：如图，∵AQBC，CQAP，
∴四边形APCQ是平行四边形．
当PQ⊥BC时，PQ取得最小值，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AH=HC=AC，QH=PH=PQ，
∵∠ABC=45°，AB=2，BC=，
∴AC=2，∠ACB=45°，
∵QP⊥BC，
∴∠PHC=45°，
∴PH=PC=，
∴PQ=，
∴QC=，
∴四边形APCQ的周长为：2PC+2QC=2×+2×=，
故答案为：平行四边形；．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，垂线段最短的性质，综合性较强．
15．
【分析】根据平行四边形的性质可得∠EBC=30°，过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，根据含30°角的直角三角形的性质可得QM=BQ，PQ+BQ最小值即为PN的长，根据平行线之间的距离相等，可得PN=AH，根据勾股定理求出AH的长即可．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵AB=6，BC=8，DE=2，
∴AE=8-2=6，
∴AE=AB，
∴∠AEB=∠ABE，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBC=30°，
过点Q作QM⊥BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
则QM=BQ，
∴PQ+BQ最小值即为PN的长，
∵AD∥BC，
∵PN=AH，
∵∠BAH=30°，AB=6，
∴BH=3，
根据勾股定理，可得AH=PN=，
∴PQ+BQ的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，通过构造直角三角形，找出PQ+BQ最小值即为PN的长是解题的关键．
16．
【分析】连接CD，根据三角形中位线的性质定理得出FG=，由勾股定理求出BC，再根据三角形等面积法求出CD，即可得出结果．
【详解】解：连接CD，
∵F、G分别是ED、EC的中点，
∴FG是△FDC的中位线，
∴FG=，
当CD最小时，FG最小，
当CD⊥AB时，CD最小，
在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，
则BC=，
当CD⊥AB时，
，
∴，
解得：CD=，
∴FG的最小值为，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键．
17．13
【分析】先由平移性质证明四边形为平行四边形，从而得，进而使得，再作关于直线的对称点，由对称性得，再由，求出，，由勾股定理求出即可．
【详解】解：连接，
由平移性质得：，，
四边形为平行四边形，
，
，
作关于直线的对称点，连接，，交延长线于，
由对称性得：，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、最短路径问题、勾股定理，解决此题的关键是证明四边形为平行四边形、再作关于直线的对称点，将的最小值转化为．
18．
【分析】过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，则四边形ADMN是平行四边形，作点A关于BC的对称点A′，连接AA′交BC于点O，连接A′M，三点D、M、A′共线时，最小为A′D的长，利用勾股定理求A′D的长度即可解决问题．
【详解】解：过点A作AD//BC，且AD＝MN，连接MD，
则四边形ADMN是平行四边形，
∴MD＝AN，AD＝MN，
作点A关于BC的对称点A′，连接A A′交BC于点O，连接A′M，
则AM＝A′M，
∴AM＋AN＝A′M＋DM，
∴三点D、M、A′共线时，A′M＋DM最小为A′D的长，
∵AD//BC，AO⊥BC，
∴∠DA＝90°，
∵，，，
∴BC＝
BO＝CO＝AO＝，
∴，
在Rt△AD中，由勾股定理得：
D＝
∴的最小是值为：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，构造平行四边形将AN转化为DM是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）过点作，交延长线于，根据平行四边形的性质得出，，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而求得四边形的面积；
（2）连接，过点作于，交的延长线于点，根据轴对称的性质，以及两点直线线段最短可得到，当折线与线段重合时，线段的长度最短，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：过点作，交延长线于，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形的面积；
故答案为：；
（2）连接，过点作于，交的延长线于点；
四边形为平行四边形，
，，
点为的中点，，
，，
，，
，
由勾股定理得：，
，
由翻折变换的性质得：，
，
，当折线与线段重合时，线段的长度最短，
此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称求线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键．
20．(1)（4，2），4
(2)t的值是；
(3)）S△EMD-S△OEN的值不会发生变化，S△EMD-S△OEN的值是3．
【分析】（1）作C（0，2）关于x轴的对称点C'（0，-2），连接DC'交x轴于N，此时CN+DN最小，最小值为C'D的长，由A（-1，0），B（3，0），四边形ABDC是平行四边形，可得DC=AB=4，D（4，2），在Rt△DCC'中，利用勾股定理求得DC'=4，即得CN+DN的最小值为4；
（2）根据S四边形OCDB=7，四边形OMDB的面积是8，知M在C的上方，且S△CDM=8-7=1，故CM DC=1，即（t-2）×4=1，可解得t的值；
（3）连接OD，由S△EMD-S△OEN=S△MOD+S△NOD=OM CD+ON OC=3，可得S△EMD-S△OEN的值是3，不会变化．
【详解】（1）解：作C（0，2）关于x轴的对称点C'（0，-2），连接DC'交x轴于N，此时CN+DN最小，最小值为C'D的长，如图：
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴DC=AB=4，
∴D（4，2），
在Rt△DCC'中，
DC'=，
∴CN+DN的最小值为4，
故答案为：（4，2），4；
（2）解：如图：
∵S四边形OCDB=×（4+3）×2=7，
又四边形OMDB的面积是8，
∴M在C的上方，且S△CDM=8-7=1，
∴CM DC=1，
即（t-2）×4=1，
解得t=，
答：t的值是；
（3）解：S△EMD-S△OEN的值不会发生变化，理由如下：
连接OD，如图：
∵S△EMD-S△OEN=S四边形MOND，
∴S△EMD-S△OEN
=S△MOD+S△NOD
=OM CD+ON OC
=t×4+（3-2t）×2
=2t+3-2t
=3，
∴S△EMD-S△OEN的值是3，不会变化．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及平移的性质、轴对称的性质，坐标与图形性质、平行四边形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平移的性质是解题的关键．
21．(1)见解析；
(2)①EC=OA，证明见解析；②．
【分析】（1）证明∠AFE+∠AFB=180°，可得结论；
（2）①结论：EC=AO．连接EO，OC，证明△EOC是等腰直角三角形，可得结论；
②如图2中，取AE的中点J，连接OJ．证明OJ∥EB，推出OF⊥OJ时，OF的值最小，此时四边形OFEJ是矩形，利用勾股定理求出OA，可得结论．
【详解】（1）证明：∵∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA=45°，
∵2∠CBF+∠EAF=135°，
∴∠CBF=45°，
∵∠C=90°，
∴∠CFB=90°-45°=45°，
∴∠CFB=∠AFE，
∵∠CFB+∠AFB=180°，
∴∠AFE+∠AFB=180°，
∴E、F、B共线．
（2）解：①结论：EC=OA．
理由：如图1中，连接EO，CO．
∵∠AEB=∠ACB=90°，OA=OB，
∴OE=OA=OB=OC，
∴∠OAC=∠OCA，∠OEB=∠OBE，
∵∠BOC=∠OAC+∠OCA=2∠OCA，∠AOE=∠OEB+∠OBE=2∠OBE，
∴∠BOC+∠AOE=2∠CAO+2∠OBE=2（∠OAC+∠OBE）=2∠CFB=90°，
∴∠EOC=90°，
∴△EOC是等腰直角三角形，
∴EC=EO=OA；
②如图2中，取AE的中点J，连接OJ．
∵AJ=EJ，AO=OB，
∴OJ∥EB，
∴OF⊥OJ时，OF的值最小，此时四边形OFEJ是矩形，
∴EF=AE=OJ=2，AJ=EJ=1，
∴，
∴EC=OA=．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰直角三角形解决问题．
22．(1)6，4，（9，4）
(2)存在，
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件和绝对值的意义求解即可；
（2）连接CE，根据中位线定理可知MN=CE，当时，CE有最小值，根据三角形面积可求CE的值，即可求解；
（3）连接QF，可证△OCP≌△FCQ，得OP=QF，在直角三角形QFP中，，可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴6-a=0，b-4=0，
∴a=6，b=4．
∴点B的坐标为(9，4)．
故答案为：6，4，（9，4）．
（2）解：MN存在最小值，理由是：
连接CE，如图1，
∵M、N分别是CD、DE的中点，
∴MN=CE．
当时，CE有最小值，
∵C(3，4)，A(6，0)，
∴OA=6，AB=OC=5，
∴，
∴MN=．
（3）解：连接QF，如图2，
由旋转可知，OC=OF，∠OCF=90°，∠O=∠CFO=45°．
∵△CPQ为等腰直角三角形CPQ，
∴CP=CQ，∠PCQ=90°，∠QCP=45°，
∴∠OCF=∠PCQ，
∴∠OCF-∠PCF=∠PCQ-∠PCF，
即∠OCP=∠FCQ，
在△OCP和△FCQ中，
∴△OCP≌△FCQ（SAS），
∴OP=QF，
∠QFP=∠QFC+∠CFO=45°+45°=90°，
∴，
∵OP=QF，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、勾股定理等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．
23．(1)85
(2)5+5
(3)2+2
【分析】（1）根据平角的定义，翻折的性质求解即可；
（2）作BH⊥AD于H．勾股定理解Rt△ABH，由四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，可得∠APA′＝90°，PH＝BH，根据PA＝AH+PH 即可求解；
（3）作BH⊥AD于H，连接BP．勾股定理求得PB，当BA′的长度最小时，△BFA′的周长最小，由BA′≥PB﹣PA′，求得，然后即可求得△BFA′的周长的最小值．
【详解】（1）如图1中，
∵∠DPA′＝10°，
∴∠APA′＝180°﹣∠DPA′＝180°﹣10°＝170°，
由翻折的性质可知：∠A′PB＝∠APB＝×170°＝85°．
故答案为85．
（2）如图2中，作BH⊥AD于H．
在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，AB＝10，∠A＝60°，
∴AH＝5，BH＝5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵PA′⊥BC，
∴PA′⊥AD，
∴∠APA′＝90°，
∴∠HPB＝∠BPA′＝45°，
∴PH＝BH＝5，
∴PA＝AH+PH＝5+5．
（3）如图3中，作BH⊥AD于H，连接BP．
∵PA＝8，AH＝5，
∴PH＝8﹣5＝3，
∵BH＝5，
∴PB＝＝＝2，
由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′，
∴△BFA′的周长＝FA′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′，
∴当BA′的长度最小时，△BFA′的周长最小，
∵BA′≥PB﹣PA′，
∴BA′≥2﹣8，
∴BA′的最小值为2﹣8，
∴△BFA′的周长的最小值为10+2﹣8＝2+2．
【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，平行四边形的性质，折叠的性质，轴对称求线段和最值问题，综合运用以上知识是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）四边形ABPE是平行四边形，理由见解析，BP =5cm；（3），
【分析】（1）证明△AEO△CPO即可说明PO=OE；
（2）证明EP∥AB，即可证明四边形ABPE是平行四边形，利用三角形中位线定理即可求解；
（3）求得四边形ABPE的周长为：6+10+PE=16+PE，得到当PE⊥BC时，PE最小，利用平行四边形的面积公式求得PE，即可求得四边形ABPE的周长最小值，根据△AEO△CPO以及勾股定理即可求得BP的长度．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，点O为AC的中点，
∴AE∥PC，AO=OC，
∴∠EAO=∠PCO，∠AOE=∠COP，
∴△AEO△CPO，
∴PO=OE；
（2）∵CA⊥AB，且PO⊥AC，
∴PO∥AB，即EP∥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BP，
∵CA⊥AB，且AB=6cm，AC=8cm，
∴BC=(cm)，
∴四边形ABPE是平行四边形，
∵点O为AC的中点，且PO∥AB，
∴BP=PC=BC=5(cm)；
（3）四边形ABPE的周长为：AB+BP+PE+AE，
由（1）知△AEO△CPO，则AE=CP，
∴BP+AE=BP+CP=BC=10，
∴四边形ABPE的周长为：6+10+PE=16+PE，
则PE最小时，四边形ABPE的周长最小，
∴当PE⊥BC时，PE最小(垂线段最短)，
∵BCPE=ABAC，
∴PE=(cm)，
∴四边形ABPE的周长最小值为16+=(cm)，
∵△AEO△CPO，
∴PO=EO=PE=(cm)，OC=AC=(cm)，
∴PC=(cm)，
∴BP=BC-PC=(cm)，
故答案为：，．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
答案第1页，共2页
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