专题18.3平行四边形的性质 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题18.3 平行四边形的性质（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图所示，在平行四边形中，M是的中点，，，，则的长为（　　）
A． B．2 C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形是轴对称图形 B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直 D．平行四边形的对角线互相平分
3．已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则另一条对角线的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，以平行四边形的边为斜边向内作等腰直角，使，，且点在平行四边形内部，连接、，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
5．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　）
A．红花，白花种植面积一定相等
B．红花，蓝花种植面积一定相等
C．蓝花，黄花种植面积一定相等
D．紫花，橙花种植面积一定相等
6．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
7．如图，A为y轴上一点，B点坐标为（1，0），连接AB，分别以OB、AB为边构造等边和等边，且点D恰好落在AB上，点P为平面内一点，当四边形PBCD为平行四边形时，点P坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在AB边上，将沿着直线DE翻折得．连结，若点恰好落在的平分线上，则，C两点间的距离为（ ）
A．3或6 B．3或 C． D．6
9．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC．
其中正确结论的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上的一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则线段AQ长度的最小值为（ ）
A．6 B．8 C． D．
二、填空题
11．如图，在 ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝ ．

12．在平面直角坐标系中，，，，以A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第4个顶点D的坐标是 ．
13．如图，的边在x轴上，点A坐标为，点C坐标为，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴于点D，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点E，作射线，交于点F，则的长为 个单位长度．
14．在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图是平行四边形的对角线，点在上，，，则的大小是 ．
15．如图，在直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，点，，若直线恰好平分平行四边形的面积，则点D的坐标是 ．
16．如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为 ．
17．如图，平行四边形中，，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为 ．
18．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠DAC＝30°，AC＝8，BC＝3，点P从B点出发，沿着边BC运动到点C停止，在点P运动过程中，若△OPC是直角三角形，则BP的长是 .
三、解答题
19．如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形，BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)若∠AEB＝25°，求∠C的度数；
(2)若AE＝5 cm，求CD的长度．
20．如图，在中，DE⊥AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，FG⊥BC于点G．
（1）找出图中的一对全等三角形，并加以证明；
（2）若□ABCD的面积为20 cm2，AB=5 cm，求FG的长．
21．某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB=CD，_________
（1）补全求证部分；
（2）请你写出证明过程．
22．如图，已知中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点E.
(1)试说明线段CD与FA相等的理由；
(2)若使，的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并说明你的理由(不要再增添辅助线)
23．如图，在四边形ABCD中，ADBC，AD=5cm，BC=9cm．M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．
(1)试说明△PCM≌△QDM．
(2)当点P在点B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？并说明理由．
24．已知在平行四边形中，，点D又是等边三角形的一个顶点，与相交于点M，与相交于点N（不包括线段的端点）．
(1)初步尝试：如图1，若，求证：；
(2)探究发现：如图2，若，过点D作于点H，求证：．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】由是平行四边形，得到，，然后由等腰三角形的性质可得，，得到，即可用勾股定理求得的长
【详解】∵在平行四边形中，M是的中点，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即为直角三角形，
∵，，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键
2．D
【分析】根据平行四边形的性质，逐一判断各个选项，即可得到答案．
【详解】解：A. 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项错误，
B. 平行四边形的邻边不一定相等，故该选项错误，
C. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项错误，
D. 平行四边形的对角线互相平分，故该选项正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．
3．B
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，以及三角形的三边关系，进行求解即可．
【详解】解：如图，四边形为平行四边形，，，，
则：，
∵，
∴，即：；
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键．
4．B
【分析】先证明，得出，，设，，求出，，由平行四边形的对角相等得出方程，求出，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到和之间的关系．
5．B
【分析】由题意得出四边形ABCD、四边形DEOH、四边形BGOF、四边形AGOE、四边形CHOF是平行四边形，得出△ABD的面积＝△CBD的面积，△DOE的面积＝△DOH的面积，△BOG的面积＝△BOF的面积，得出四边形AGOE的面积＝四边形CHOF的面积，即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，
∴四边形ABCD、四边形DEOH、四边形BGOF、四边形AGOE、四边形CHOF是平行四边形，
∴△ABD的面积＝△CBD的面积，△DOE的面积＝△DOH的面积，△BOG的面积＝△BOF的面积，
∴四边形AGOE的面积＝四边形CHOF的面积，
∴A、C、D正确，B不正确；
故选：B．
【点睛】此题考查平行四边形的性质，利用平行四边形性质比较三角形面积大小，结合图形解题较为简便．
6．C
【分析】延长交于点H，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到，，在中，得到，，由折叠的性质得到是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】解：延长交于点H，
∵恰好垂直于，且四边形是平行四边形，
∴也垂直于，
由折叠的性质得，，，，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
7．B
【分析】利用等边三角形的性质可得点D和C的坐标，再利用平行四边形的性质可得P的坐标．
【详解】如图，
以OB、AB为边构造等边△OBD和等边△ABC，
∴∠ODB=∠OBD=60，OB=1，∠CAB=60°，
∴∠OAB=30°，
∴∠OAD=∠DOA=30°，
∴OD=AD=1，
∵点D为AB的中点，
∴AB=2，AO=，
∴，
∴∠CAO=90°，
∴，
∵四边形PBCD是平行四边形，
∴DPBC，DP=BC，
由平移可知，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，平移的性质等知识，利用平移的性质得出点P的坐标是解题的关键．
8．A
【分析】过点A′作A′F⊥CD于D，由平行四边形ABCD，得∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3，A′D=AD=3，根据点恰好落在的平分线上，所以∠A′CF=30°，所以CA′=2A′F，设A′F=x，则CA′=2x， CF=x，所以DF=3-x, 在Rt△D A′F中,由勾股定理，得32=（3-x）2+x2，求解即可得出x，从而求出CA′的长．
【详解】：如图，过点A′作A′F⊥CD于D，
∵平行四边形ABCD，
∴∠BCD=∠A=60°，CD=AB=3，
由翻折可得，A′D=AD=3，
∵点恰好落在的平分线上，
∴CA′平分∠BCD，
∴∠A′CF=30°，
∵A′F⊥CD，
∴CA′=2A′F，
设A′F=x，则CA′=2x，
由勾股定理，得CF=x，
∴DF=3-x,
在Rt△D A′F中,由勾股定理，得
32=（3-x）2+x2，
解得：x1=，x2=3，
∴CA′=2x=3或6，
故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，翻折性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，作辅助线A′F⊥CD于D，构造直角三角形，利用直角三角形性质求解是解题的关键．
9．D
【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【详解】证明：∵BC=EC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DCAB，
∴∠CEB=∠EBF，
∴∠CBE=∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC=EC，CF⊥BE，
∴∠ECF=∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DCAB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠ECF=∠BCF，
∴∠CFB=∠BCF，
∴BF=BC，
∴③正确；
∵FB=BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF=PC，故④正确．
综上，四个选项均正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
10．D
【分析】根据平行四边形的性质，垂线段最短，可以得到当CP⊥AB时，CP取得最小值，此时CP的值就是AQ的最小值，从而可以解答本题．
【详解】解：∵四边形PAQC是平行四边形，
∴AQ＝PC，
∴要求AQ的最小值，只要求PC的最小值即可，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，
∵∠BAC＝45°，
，
设，
在Rt△APC中，AB＝AC＝8，
则，即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．2
【分析】根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠ABE＝∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠CFB，
∴CF＝CB＝5，
∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
12．，，
【分析】当是时，，利用点的平移可求D的坐标，同理可以求出当是和时点D的坐标．
【详解】解：当时，第4个顶点D的坐标是或，
当时，第4个顶点D的坐标是．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形对边平行且相等的性质，运用平移的方法来判断第三个点的坐标．
13．（）
【分析】过点A作轴于M，过点B作于N，证明，得到，求出由题意得平分，推出，勾股定理求出即可．
【详解】解：过点A作轴于M，过点B作于N，
∴，
∵中，，，
∴，
∴
∴
∵点A坐标为，点C坐标为，
∴
由题意得平分，
∴
∵
∴
∴
∴，
∵
∴
∴，
故答案为：（）．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边证明边相等，熟练掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定定理是解题的关键．
14．##108度
【分析】根据条件得到，结合外角性质得到，再根据平行四边形性质及题中条件得到，根据三角形内角和定理即可得到，从而即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形背景下求角度问题，涉及等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、平行四边形的性质和三角形内角和定理等知识，熟练掌握几何知识点并灵活运用是解决问题的关键．
15．
【分析】连接，设，的中点为T，求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．
【详解】解：连接，设，的中点为T，
，
，
直线平分平行四边形的面积，
直线经过点T，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和求点的坐标，解决本题的关键是连接，找到的中点坐标．
16．15
【分析】连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理求得DH=HC=，BD5，利用折叠的性质求得CG⊥BD，点F为BC中点，利用面积法求得CG=6，据此求解即可得到BGF的面积．
【详解】解：连接CG，过点D作DH⊥BC于点H，
∵平行四边形ABCD中，∠A=45°，
∴∠DCB =∠A=45°，
∵DC=15，∠DCB=∠A=45°，
∴DH=HC，
由勾股定理得DH=HC=，
∵BC=10，
∴BH=10-=，
由勾股定理得BD=5，
由折叠的性质得EG=EC，FG=FC，
∵点E为DC中点，
∴EG=EC=DE，
∴∠ECG=∠EGC，∠EDG=∠EGD，
∵∠ECG+∠EGC+∠EDG+∠EGD=180°，
∴∠EGC+∠EGD=90°，
∴∠EGD=∠CGB=90°，即CG⊥BD，
∵FG=FC，
∴∠FCG=∠FGC，
∵∠FGC+∠FGB=90°，∠FCG+∠FBG=90°，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB，
∴FG=FB=FC，即点F为BC中点，
∵BC×DH=BD×CG，即10×=5×CG，
∴CG=6，
∴BG=2，
∵点F为BC中点，
∴==××2×6=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，证明CG⊥BD是解题的关键．
17．##
【分析】过作于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，，求得，解直角三角形得到，，根据平行线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，过作于，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】过作于，
，
是等腰直角三角形，
，
将沿边折叠得到，
，，
，
，
，，
平行四边形中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
过作于，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，作出常用的辅助线是解题的关键．
18．或
【分析】分两种情况讨论，利用直角三角形的性质可求的长，即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，
，
如图，当时，
，
，，
，
，
；
当时，
，
，，
，
综上所述：的长是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
19．（1）130°；（2）5.
【分析】（1）由ABCD是平行四边形及BE是∠ABC的角平分线易得∠A=∠C，∠AEB＝∠EBC＝25°，则∠A＝∠C=180°－∠ABE－∠AEB=180°-50°=130°；
（2）由上问可知∠AEB＝∠EBC＝25°，则AB＝AE；又由四边形ABCD是平行四边形，则AB＝CD=AE=5cm.
【详解】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A＝∠C，
∴∠AEB＝∠EBC＝25°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝25°，
∴∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝180°-50°=130°，
∴∠C＝∠A＝130°.
(2)∵∠AEB＝∠ABE＝25°，
∴AB＝AE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD.
又∵AE＝5cm，
∴CD＝AB＝AE＝5cm.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，由角平分线得到等腰三角形是解题关键.
20．（1）△ADE≌△CFG，证明见解析；（2）FG= 4 cm．
【分析】(1) 首先利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠CFB=∠CBF，进而利用AAS得出△AED≌△CGF，(2)根据全等三角形的性质可得：DE=FG，再根据平行四边形的面积和AB的长即可求出DE，即可求出FG．
【详解】解：（1）△ADE≌△CFG，
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以∠A=∠C，AD=BC，CD∥AB，
所以∠CFB=∠ABF，
因为BF平分∠ABC，
所以∠ABF=∠CBF，
所以∠CBF=∠CFB，
所以CB=CF，
所以AD=CF，
因为DE⊥AB，FG⊥BC，
所以∠AED=∠CGF=90 ，
所以△ADE≌△CFG．
（2）因为□ABCD的面积=DE·AB，AB=5，所以5DE=20．
所以DE=4 cm，
因为△ADE≌△CFG，
所以FG=DE=4 cm．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，其中全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21．（1）BC=DA；（2）证明过程见解析
【分析】（1）根据题意容易得出结论；
（2）连接AC，与平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，证出∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，由ASA证明△ABC≌△CDA，得出对应边相等即可．
【详解】（1）BC=DA；
（2）连接AC，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（ASA），
∴AB=CD，BC=DA；
考点：平行四边形的性质
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形对边平行的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
22．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质，就可证明，，又已知，，符合全等三角形的判定中的，即证，所以得证．
（2）在第（1）问的基础上，若使，逆推就必须，继而推出，即为所求．
【详解】（1）解：证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
又∵CE的延长线交BA的延长线于点F，
∴．
∵E是AD中点，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）要使，需平行四边形的边长之间是2倍的关系，即，
理由如下：由（1）知，，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，即．
∵．
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．(1)证明见解析
(2)PC=2，理由见解析．
【分析】（1）要证明△PCM≌△QDM，可以根据ASA．利用∠QDM=∠PCM，DM=CM，∠DMQ=∠CMP即可得出；
（2）得出P在B、C之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．
【详解】（1）∵ADBC，
∴∠QDM=∠PCM．
∵M是CD的中点，
∴DM=CM，
∵∠DMQ=∠CMP，
在△PCM和△QDM中，
∵，
∴△PCM≌△QDM（ASA）．
（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，
∵BC﹣CP=AD+QD，
∴9﹣CP=5+CP，
∴CP=（9﹣5）÷2=2．
∴当PC=2时，四边形ABPQ是平行四边形．
【点睛】本题中和考查全等三角形、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据平行四边形的邻角互补得出，再证，都是等边三角形，可得出，然后证明．根据证明，得出，据此即可得证；
（2）设，则，从而可得，．利用勾股定理求，从而可得，根据勾股定理的逆定理即可证出．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，，
，
，
，
∴，都是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
．
在与中，
，
，
，
，
即．
（2）证明：∵四边形是平行四边形，，
，，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，
是以为斜边的直角三角形，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理和勾股定理的逆定理、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页