专题18.4平行四边形的性质 培优篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题18.4 平行四边形的性质（培优篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在平行四边形中，过点作于，作于，且，，，则平行四边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝45°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，∠EFC＝30°，AB＝1，则CF的长为（ ）
A． B． C．4 D．
3．如图，在四边形中，，，点为延长线上一点，连接AC、AE，AE交于点H，的平分线交于点．若，点为的中点，，则的长为（　　）
A．9 B． C．10 D．
4．如图，中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点；③画射线，交于点，交对角线于点．若，则的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
5．在平面直角坐标系中，已知点A(0，0)、B(2，2)、C(3，0)，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能为（　　）
A．(﹣1，2) B．(5，2) C．(1，﹣2) D．(2，﹣2)
6．如图，点P是内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是、、、，以下结论中正确的是（ ）
①
②若，则
③若，则
④如果P点在对角线BD上，则
⑤若，则P点一定在对角线BD上．
A．①③④ B．②③⑤ C．①④⑤ D．②④⑤
7．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连接DF，EF．若∠EFD＝90°，则线段AE的长为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，在平行四边形中，，，，点是折线上的一个动点(不与、重合)．则的面积的最大值是(　　)
A． B．1 C． D．
二、填空题
11．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于点O，且分别交直线BC于点E，F，若AB＝5，BC＝3，则OE2＋OF2＝ ．
12．如图，在 ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，A、G、E在同一直线上，则AG＝ ，点G到AB的距离为 ．
13．如图， ABCD中，∠ABC＝45°，EF是BC的垂直平分线，EB＝AB，若BD＝6，则AB＝ ．
14．如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知，，，，则D点的坐标为 ．
15．如图，已知，于点E，，，，则 ．
16．如图，的对角线交于点O，平分交于点E，交于点F，且，连接．则 ．
17．如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是 ABCD内一动点，且S△PBC＝S△PAD，则PA＋PD的最小值为 ．
18．如图，在 ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F．
（1）EF的长为 ．
（2）把“问题”中的条件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值为 ．
三、解答题
19．如图在平行四边形中，点E是边上一点，连接，交对角线于点F，过点A作的垂线交的延长线于点G，过B作垂直于，垂足为点H，交于点P，．
(1)若，求的长；
(2)若，求证：．
20．如图，在ABCD中，BC＝3，CD＝4，点E是CD边上的中点，将△BCE沿BE翻折得△BGE，连接AE，点A，G，E在同一直线上．
(1)求证：AG＝ED；
(2)求点G到AB的距离．
21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BC，CF平分∠ACB交BD于点F，OH⊥CF于点H，OH=FH．
(1)当AB=4时，求OH的值；
(2)求证：DF=2BF．
22．如图，在平行四边形中，，是对角线，是的平分线，交边的延长线于点．
(1)证明：；
(2)若，，写出图中长度等于的所有线段．
23．在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝α（0°＜α＜90°），AD∥BC．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)如图2，BE平分∠ABC，交AD于点E，若α＝30°，AB＝2，求△ABE的面积；
(3)如图3，BE平分∠ABC，交AD于点E，作AH⊥CD交射线DC于点H，交BE于点F，若AB＝AH，请探究线段AF，DE，CH的数量关系．
24．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A（-2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y=3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若点D在y轴上，且满足S△COD=S△BOC，求点D的坐标；
(3)在坐标平面内，是否存在点P，使得以O、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】设，先根据平行四边形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得，从而可得，最后利用平行四边形的面积公式即可得．
【详解】设，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
又，
，
解得，
即，
是等腰直角三角形，
，
，
平行四边形ABCD的面积是，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的两锐角互余、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
2．A
【分析】首先证明四边形ABDE是平行四边形得AB=DE=CD，即D为CE中点，从而得CE=2，再利用勾股定理可求出HF和CH的长即可.
【详解】解：如图，过E作EH⊥BF于点H，
四边形ABCD是平行四边形，
， AB=DC，
，
四边形ABDE是平行四边形，
AB=DE=CD，即D为CE中点.
AB=1，
CE=2，
，
∠ECF=∠ABC=45°，
CE=8，∠ECF=45°，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理的应用，掌握平行四边形对边相等是解题的关键．
3．B
【分析】根据平行线的性质得，推出，得出，由点是的中点可得，则，由等腰三角形三角形合一的性质可得出，进而求出的长，由勾股定理可得出的长，进而求出的长．
【详解】解：，
，
，
，
；
四边形是平行四边形，
，，
，点是的中点，
，，，
，
，，
，
，，
，
平分，
，，
，
在中，，，
由勾股定理可得，
，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
4．A
【分析】先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，利用基本作图得到BQ平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点O到BA的距离等于点O到BC的距离，接着利用三角形的面积公式得到S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OAAC．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝10，
∵BA⊥CA，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AC8，
由作法得BQ平分∠ABC，
∴点O到BA的距离等于点O到BC的距离，
∴S△ABO：S△BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5，
∵S△ABO：S△BCO＝OA：OC，
∴OA：OC＝3：5，
∴OA：AC＝3：8，
∴OAAC8＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．
5．D
【分析】分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点的坐标．
【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，点D的坐标为（5，2）
②AB为对角线时，点D的坐标为（﹣1，2），
③AC为对角线时，点D的坐标为（1，﹣2），
综上所述，点D的坐标可能是（5，2）或（﹣1，2）或（1，﹣2）．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．
6．C
【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是h1，h2，h3，h4，再根据三角形得面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据面积公式得，判断④；最后根据已证关系式得出，，判断⑤即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC．
设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是h1，h2，h3，h4，
则，，，．
∵，，
∴，
∴，
故①正确；
根据只能判断，不能判断，即不能判断，
∴②错误；
根据，能得出，不能得出，即不能判断，
∴③错误；
∵，
∴，
此时，
即点P一定在对角线BD上，
∴④正确；
由和，得，，
∴点P在BD上，
故⑤正确．
综上,结论正确的是①④⑤,
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解题的关键．
7．D
【分析】延长交的延长线于，连接，设，首先证明，利用勾股定理构建方程即可求解．
【详解】解：如图，延长交的延长线于，连接，设，
四边形是平行四边形，
，
,
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：（舍去）
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是：掌握相关知识点，添加辅助线、构造全等三角形来解决问题．
8．B
【分析】过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC是BE的垂直平分线，利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积列式可得BF的长，根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长．
【详解】解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，
由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA，
∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA，
∴四边形ADEC是等腰梯形，
连接BE，
∵AB＝AE，CB＝CE，
∴AC是BE的垂直平分线，
∵，
∴CN＝，BN＝1，
∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
∴AC＝＝＝2，
∴S平行四边形ABCD＝AB DM＝AC BF，
∴4×＝2BF，
∴BF＝，
∴CF＝＝＝，
在等腰梯形ADEC中，
DE＝AC﹣2CF＝2﹣2×＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了翻折的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰梯形，含30°的直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．
9．C
【分析】想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题.
【详解】
连接AF、EC．
∵BC＝4CF，S△ABC＝12，
∴S△ACF＝×12＝4，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB＝S△DEC，
∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S△AEC＝S△ACF＝4，
∴S阴＝4．
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
10．D
【分析】分三种情况讨论：①当点E在BC上时，高一定，底边BE最大时面积最大；②当E在CD上时，△ABE的面积不变；③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，根据三角形的面积公式可得结论．
【详解】解：分三种情况：
①当点E在BC上时，E与C重合时，△ABE的面积最大，如图1，
过A作AF⊥BC于F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠B=180°，
∵∠C=120°，
∴∠B=60°，
Rt△ABF中，∠BAF=30°，
∴BF=AB=1，AF=，
∴此时△ABE的最大面积为：×4×=2；
②当E在CD上时，如图2，此时，△ABE的面积=S ABCD=×4×=2；
③当E在AD上时，E与D重合时，△ABE的面积最大，此时，△ABE的面积=2，
综上，△ABE的面积的最大值是2；
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，并运用分类讨论的思想解决问题．
11．49
【分析】根据平行四边形的性质以及线段的和差关系可求得BF和CE的长，进而得出EF的长；再根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到∠EOF=90°；最后根据勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ADBC，AB//CD
∴∠E=∠DAE，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠E=∠BAE，
∴AB=BE=5，
又∵BC=3，
∴CE=5-3=2，
同理：BF=2，
∴EF=2+3+2=7，
∵AB//CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
又∵∠BAD和∠ADC的平分线交于点0，
∴∠OAD+∠ODA=90°，
∴∠AOD=90°=∠EOF，
∴Rt△EOF中， ．
故答案为49．
【点睛】本题主要了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是掌握平行四边形的对边平行且相等．
12． 2 ##
【分析】根据折叠性质和平行四边形的性质可以证明△ABG≌△EAD，可得AG=DE=2，然后利用勾股定理可得求出AF的长，进而可得GF的值．
【详解】解：如图，GF⊥AB于点F，
∵点E是CD边上的中点，
∴CE=DE=2，
由折叠可知：∠BGE=∠C，BC=BG=3，CE=GE=2，
在 ABCD中，BC=AD=3，BC∥AD，
∴∠D+∠C=180°，BG=AD，
∵∠BGE+∠AGB=180°，
∴∠AGB=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠BAG=∠AED，
在△ABG和△EAD中，，
∴△ABG≌△EAD（AAS），
∴AG=DE=2，
∴AB=AE=AG+GE=4，
∵GF⊥AB于点F，
∴∠AFG=∠BFG=90°，
在Rt△AFG和△BFG中，
根据勾股定理，得AG2-AF2=BG2-BF2，即22-AF2=32-（4-AF）2，
解得AF=，
∴GF2=AG2-AF2=4-=，
∴GF=，
故答案为2，．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明△ABG≌△EAD是解题的关键．
13．3﹣3
【分析】连接CE，过C作CG⊥DE于G，由线段垂直平分线的性质得EB＝EC，则∠EBC＝∠ECB，再证EC＝CD，则∠CED＝∠CDE，设∠EBC＝∠ECB＝α，则∠CDE＝∠CED＝∠EBC＋∠ECB＝2α，然后由三角形内角和定理求出α＝15°，则∠CDE＝∠CED＝30°，设AB＝EB＝EC＝CD＝x，则DE＝BD﹣EB＝6﹣x，最后由含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质得EG＝CG＝x，EG＝DE＝（6﹣x），则x＝（6﹣x），解方程即可．
【详解】解：连接CE，过C作CG⊥DE于G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣45°＝135°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵EB＝AB，
∴EC＝CD，
∴∠CED＝∠CDE，
设∠EBC＝∠ECB＝α，则∠CDE＝∠CED＝∠EBC＋∠ECB＝2α，
在△BCD中，∠DBC＋∠CDB＝180°﹣135°＝45°，
即α＋2α＝45°，
解得：α＝15°，
∴∠CDE＝∠CED＝30°，
设AB＝EB＝EC＝CD＝x，则DE＝BD﹣EB＝6﹣x，
∵CG⊥DE，
∴CG＝EC＝x，EG＝CG＝x，
又∵EC＝DC，CG⊥DE，
∴EG＝DG＝DE＝（6﹣x），
∴x＝（6﹣x），
解得：x＝，
即AB＝，
故答案为：3﹣3.
【点睛】此题主要考查了平行四边形、直角三角形以及等腰三角形的有关性质，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
14．（-2，8）
【分析】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，先通过AAS证出△BOE≌△CAD，根据全等三角形的性质得到OE=AD，BE=CD，根据三角形的面积即可得到结论．
【详解】过点B作BE⊥y轴于E点，交AD的延长线于点F，
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC=OB，AC∥OB，
∴∠OGC=∠BOE，
∵AD∥y轴，
∴∠DAC=∠OGC，
∴∠BOE=∠DAC，
在△BOE和△CAD中，
，
∴△BOE≌△CAD（AAS），
∴OE=AD=2，BE=CD=8，
∵S△ABD=6，
∴AD BF=6，
∴×2×BF=6，
∴BF=6，
∴EF=BE-BF=2，
∵∠ADB=135°，
∴∠BDF=45°，
∴BF=DF=6，
∵DF+OE=6+2=8
∴D（-2，8），
故答案为：（-2，8）．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．
15．
【分析】根据平行四边形性质可得AE＝8，∠ACE＝2∠DCE，在AE上截取EF＝ED，作FM⊥AC，再根据勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝11，DE＝3，
∴AE＝11﹣3＝8，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝3∠DCE，
∴∠ACE＝2∠DCE．
如图，在AE上截取EF＝ED，
∵CE⊥DE，
∴CF=CD，
∴∠DCE=∠FCE，
∴CF平分∠ACE，
作FM⊥AC于M，
∴△CMF≌△CEF，
∴AF＝5，MF＝FE=3，CM=CE，
∴AM＝=4．
设CM＝x，则（x+4）2＝x2+82，
解得x＝6，
∴CM=CE=6，
∴AB＝CD=．
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，掌握角平分线的性质和勾股定理，根据题意添加辅助线是解题关键．
16．##
【分析】根据已知条件证明EA=EB=EC，推出∠ABC=90°，然后设，则，利用勾股定理求出，得出，再用勾股定理求出OB，进而得到BD的值即可解答．
【详解】∵，
∴CD∥AB，OB=OD，OA=OC，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∵
∴∠DCB=120°
∵CE平分，
∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°
∴是等边三角形，EB=EC
又AB=2BC
∴EA=EB=EC
∴∠ABC=90°
设，则，
，
在中，，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，以及勾股定理等知识，解题的关键时灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题．
17．
【分析】如图所示，过点P作直线，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于E，交BC于F，连接，则，垂直于直线l，则，故当、P、D三点共线时，PA+PD有最小值，即，因此只需要求出的长即可利用勾股定理求解．
【详解】解：如图所示，过点P作直线，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于E，交BC于F，连接，则，垂直于直线l，
∴，
∴当、P、D三点共线时，PA+PD有最小值，即，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC，
∴，
∵AB=6，∠AFB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAF=30°，
∴BF=3，
∴，
∵S△PBC＝S△PAD，
∴，
∴，
又∵AE+EF=AF，
∴，
∴，
∴，
∴PA+PD的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称最短路径问题，三角形面积，正确作出辅助线确定PA+PD的值最小时的情形是解题的关键．
18． 3 2或或
【分析】（1）先判定△ADE等腰三角形可得DE=AE=6,同理可得FE=BC=6,最后根据线段的和差解答即可；
（2）分点E、F在线段CD上和在CD的延长线上两种情况解答即可．
【详解】解：（1）∵在 ABCD中，AB＝9，AD＝6
∴BC=AD=6,CD=AB=9，AB//CD
∵∠DAB的平分线AE
∴∠DAE=∠EAB
∵AB//CD
∴∠DEA=∠DAB
∴∠DEA=∠DAE
∴DE=AD=6
同理：CF=BC=6
∴EF=CF+DE-CD=6+6-9=3
故答案为3．
（2）分两种情况：
①当E、F在CD上时
a.如图3：当E在F的左侧时
同（1）得：AD＝DE，
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF，
∴AB=3DE
∴；
b.如图4：当E在F的右侧时
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝FE＝CE，
∴AD=2DF，AB=3DF
∴；
②如图5所示：点E、F在线段CD延长线上时
同（1）得：AD＝DE＝CF，
∵DF＝DC＝CE
∴AB=CD
∴＝2．
综上所述，的值为2或或．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及分类讨论思想，灵活运用平行线四边形的性质和分类讨论思想成为解答本题的关键
19．(1)的长为
(2)证明见解析
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，先证，再根据勾股定理即可求出答案；
（2）由（1）得：，可知四边形是等腰梯形，从而证，然后证，作于M，于N，即可求出答案.
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
作于M，于N，如图所示：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴由三角形内角和定理得：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，等腰梯形的性质和勾股定理，是一道综合性习题，能够充分调动所学知识是解题本题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)点G到AB的距离为
【分析】（1）证明△BAG≌△AED（AAS），即可得出结论；
（2）过点G作GM⊥AB于M，由（1）可知，AG=ED=2，BG=3，然后在Rt△AMG和△BMG中，由勾股定理得22－AM2＝32－（4－AM）2，解得AM=，即可解决问题．
【详解】（1）证明：由折叠的性质知，BC＝BG＝3，∠C＝∠BGE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴BG＝AD，∠C+∠D＝180°，∠BAG＝∠AED，
∵∠BGE+∠BGA＝180°，
∴∠D＝∠BGA，
在△BAG和△AED中，
∴△BAG≌△AED（AAS），
∴AG＝ED；
（2）解：过点G作GM⊥AB于M，则∠GMA＝∠GMB＝90°，
∵点E是CD边上的中点，CD＝4，
∴ED＝CD＝2，
由（1）可知，AG＝ED＝2，BG＝3，
在Rt△AMG和△BMG中，根据勾股定理得：AG2－AM2＝GM2＝BG2－BM2，
即22－AM2＝32－（4－AM）2，
解得：AM＝，
∴GM＝，
即点G到AB的距离为．
【点睛】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和平行四边形的性质，证明△BAG≌△AED是解题的关键．
21．(1)1
(2)见解析
【分析】（1）延长OH交BC于点E，证明△HCO≌△HCE（ASA），得CO=CE．OH=EH=OE．再证OE是△ABC的中位线，得OE=AB．即可求解．
（2）连接AF，作CM⊥BD于M． 证△ACF≌△BCF（SAS），得AF=BF．从而可得∠ABD=∠BAF=45°．再利用平行四边形的性质证得DF=2DM，然后证明△ABF≌△CDM（ASA），得BF=DM，即可得出结论．
【详解】（1）解：延长OH交BC于点E，
∵OH⊥FH，
∴∠CHO=∠CHE=90°．
∵CF平分∠ACB，
∴∠HCO=∠HCE．
在△HCO和△HCE中
，
∴△HCO≌△HCE（ASA）
∴CO=CE，OH=EH=OE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OC．
∵AC=BC，
∴BC=2CE，
∴点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB．
∵AB=4
∴OE=2，
∴OH=1．
（2）证明：连接AF，作CM⊥BD于M．
∴∠CMD=90°．
∵OE是△ABC的中位线，
∴OHAB，
∴∠ABD=∠HOF．
∵OH⊥FH
∴∠FHO=90°．
∵OH=FH．
∴∠HOF=∠HFO=45°，
∴∠ABD=45°．
在△ACF和△BCF中
，
△ACF≌△BCF（SAS），
∴AF=BF．
∴∠ABD=∠BAF=45°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，ABCD，
∴∠ABD=∠CDB=45°
∴∠DCM=45°，
∴∠ABD=∠BAF=∠CDB=∠HFO=∠DCM=45°．
∴CF=CD．
∵CM⊥BD，
∴DF=2DM，
在△ABF和△CDM中
，
∴△ABF≌△CDM（ASA）
∴BF=DM，
∴DF=2BF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出，，进而得出答案；
（2）利用等边三角形的判定方法得出和是等边三角形，再证明得出≌（ASA），即可得出，进而可判定为矩形，再利用矩形的性质可得，进而可得答案．
【详解】（1）证明：如图，
是的平分线，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
．
（2）解：，
理由：如图，，，
，
，
，
则是等边三角形，
可得，，
，
，
是直角三角形，，
在和中，
≌（ASA），
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，得出是得出四边形是平行四边形的关键．
23．(1)见解析
(2)3
(3)DE+CH＝AF或DE﹣CH＝AF
【分析】（1）通过证明AB∥CD，可证四边形ABCD是平行四边形；
（2）作BH⊥AD交DA的延长线于点H，由直角三角形的性质可求BH的长，由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由全等三角形的判定和性质可求解．
【详解】（1）解：∵∠ABC＝α，AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°．
∵∠ADC＝∠ABC＝α，
∴∠A+∠ADC＝180°．
∴AB∥CD，
又AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EBC＝∠AEB，
又 BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝，
作BH⊥AD交DA的延长线于点H，
∴∠AHB＝90°，
∵∠ABC＝30°，AD∥BC，
∴∠HAB＝∠ABC＝30°，
∴BH＝AB＝，
∴S△ABE＝AE BH＝×2×＝3；
（3）解：①若点H在CD上时，作AG⊥BE交DC的延长线于G．
∵AG⊥BE，AH⊥CD，
∴∠G＝∠BFA＝90°﹣∠HAG．
又∠BAF＝∠AHG＝90°，AB＝AH，
∴△AGH≌△BFA（AAS），
∴GH＝AF，
∵BE平分∠ABC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠EBC，∠EBC＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝CD，
∴∠BAG＝∠EAG＝∠G，
∴AD＝DG，
∴DE＝AD﹣AE＝DG﹣CD＝CG，
又CG＝GH﹣CH＝AF﹣CH，
∴DE＝AF﹣CH，
即DE+CH＝AF；
②如图4，若点H在DC的延长线上，
则DE＝AD﹣AE＝DG﹣CD＝CG，
又CG＝GH+CH＝AF+CH，
∴DE﹣CH＝AF．
∴线段AF，DE，CH的数量关系为：DE+CH＝AF或DE﹣CH＝AF
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
24．(1)
(2)或
(3)存在，或或
【分析】（1）由待定系数法求直线解析式即可；
（2）由题意可得，求点坐标即可；
（3）设，根据平行四边形对角线的性质，分三种情况讨论：①当为平行四边形对角线时，，；②当为平行四边形对角线时，，；③当为平行四边形对角线时，，．
【详解】（1）点的横坐标为1，
，
将点，代入，
，
解得，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
或；
（3）存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设，
①当为平行四边形对角线时，
，
，
；
②当为平行四边形对角线时，
，
，
；
③当为平行四边形对角线时，
，
，
；
综上所述：点坐标为或或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．
答案第1页，共2页
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