专题18.6平行四边形的判定 基础篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题18.6 平行四边形的判定（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AD∥BC，AB＝CD B．AO＝OC，BO＝OD
C．AD＝CB，AB∥CD D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
2．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，，，则四边形的面积为( )
A．100 B．130 C．60 D．120
3．小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
4．已知在平面直角坐标系中有三个点：、、．在平面内确定点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标不可能是( )
A． B． C． D．
5．如图，，，的面积为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
7． ABCD中，E，F为对角线AC上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形BFDE一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知的一组邻边AB，BC，用尺规作图作，下列4个作图中，作法与理论依据都正确的有几个（　　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在中，点D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，连接FD并延长到点G，已知，则添加下列条件，可以使线段AG，DE互相平分的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知：如图所示：点D，E分别是的边的中点．
求证：，且．
证明：延长到点F，使EF＝DE，连接．∵，∴四边形是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴；②．即；③四边形是平行四边形；④，且．则正确的证明顺序应是（　　）
A．①→③→②→④ B．①→③→④→② C．②→③→①→④ D．②→③→④→①
二、填空题
11．如图，当AO＝OC，BD＝6cm，那么OB＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形．
12．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD=13时，线段BC的长为 ．
13．已知：如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，则四边形ABCD是 ．
14．如图，在中，，，，把向右平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE//AD，若AC＝2，CE＝4，则四边形ACEB的周长为 ．
16．把一张长方形纸按如图所示折叠，所得的四边形是 四边形．
17．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F是DE延长线上的点，且EF＝DE，=7，图中有 个平行四边形，四边形BCFD的面积为 ．
18．如图，在四边形ABCD中，ADBC，∠B=90°，AB=6cm，AD=12cm，BC=15cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，当运动时间t= s时，PQCD，且PQ=CD．
三、解答题
19．如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．
（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；
（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．
20．如图，在平行四边形中，
(1)若点E、F是、的中点，连接、，求证：；
(2)若平分且交边于点F，如果，，试求线段的长．
21．已知：如图，在平行四边形中，分别是和的角平分线，交于点E，F连接．
(1)求证：互相平分；
(2)若，求四边形的周长和面积．
22．已知在直角坐标系中，四边形四个顶点的坐标分别为．以点A，B，C，D为顶点的四边形是不是平行四边形？请给出证明．
23．（1）如图，以线段、为邻边，用尺规作图画出平行四边形（保留作图痕迹），并说明它用了平行四边形的哪个判定方法？
（2）连接、，若，，，求平行四边形的面积．
24．(1)问题发现：
如图（1），和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，请直接写出线段与的数量关系：______；（直接填写结果）
(2)操作探究：
如图（2），将图中的绕点顺时针旋转（），I小题中线段与线段的数量关系是否成立？如果不成立，说明理由，如果成立，请你结合图（2）给出的情形进行证明；
(3)解决问题：
将图（1）中的绕点顺时针旋转，若，在备用图中画出旋转图形，并判断以、、、四个点为顶点的四边形的形状.（不写证明过程）
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】A、由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AO＝OC，BO＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故选项B符合题意；
C、由AD＝CB，AB∥CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的各种判定方法．
2．D
【分析】根据勾股定理求出CE=13，得出AE=13，再根据AE=CE，BE=DE，得出四边形ABCD为平行四边形，根据平行四边形的性质，求出平行四边形的面积即可．
【详解】解：∵，
∴△BEC为直角三角形，
∴，
∴，
∴AE=CE，
∵BE=DE，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定，平行四边形面积的计算，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
3．C
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟悉掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．D
【分析】在平面直角坐标系中，分类讨论①当AB，CD为对角线时，②当AC，BD为对角线时和③当BC，AD为对角线时，结合平行四边形的性质画出图形即得出答案．
【详解】①当AB，CD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向上平移4个单位，向左平移2个单位得到，
∴向上平移4个单位，向左平移2个单位得到；
②当AC，BD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向上平移1个单位，向左平移4个单位得到，
∴向上平移1个单位，向左平移4个单位得到；
③当BC，AD为对角线时，如图，此时四边形为平行四边形，
∴．
∵向下平移1个单位，向右平移4个单位得到，
∴向下平移1个单位，向右平移4个单位得到．
综上可知点D的坐标可能是或或，
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
5．B
【分析】先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
【详解】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了平行线的性质．
6．C
【分析】根据平行四边形的性质与判定证明逐项分析判断即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
；
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．故A正确；
四边形是平行四边形，
，
又
，
四边形是平行四边形．故B正确
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形．故D正确
C选项中由，不能得出，故C不能判断四边形是平行四边形
故选：C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
7．A
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【详解】解：如图，连接BD与AC相交于O，
A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
由BE=DF，无法判断OE=OF，故本选项符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵，
∴∠OBF=∠ODE，
在△BOF和△DOE中，，
∴△BOF≌△DOE（ASA），
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD=CB，ADCB，
∴∠DAE=∠BCF，
在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
∴四边形BFDE为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明OE=OF是解题的关键．
8．C
【分析】根据各个图形的做法结合平行四边形的判定方法进行判断即可．
【详解】解：图①，由作图可知，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可知，图①作法与理论依据正确；
图②，
由作图可知，作AC的垂直平分线，得到AC的中点O，再连接BO并延长到点D，使，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得，图2作法与理论依据正确；
图③，作同位角相等，得出，再截取，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得，图3作法与理论依据正确；
图④，作同位角相等，得出，再截取，“一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形”，因此图4作法与理论依据不正确；
综上所述，作法与理论依据正确的是图①、图②、图③，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法及尺规作图的意义是解题的关键．
9．D
【分析】通过分析线段AG，DE互相平分，得四边形ADGE是平行四边形，结合选项，利用平行四边形的判定定理即可求解．
【详解】若线段AG，DE互相平分，则四边形ADGE是平行四边形，
添加，
又∵，
∴四边形ADGE是平行四边形，
∴线段AG，DE互相平分，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．C
【分析】先正确书写出三角形中位线的证明过程再进行排序．
【详解】先延长到点F，使，连接，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴②，即，
∴③四边形是平行四边形，
∴①，
∴④，且，
∴正确的证明顺序为：②→③→①→④，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线的证明过程是解题关键．
11．
【分析】根据平行四边形的判定—对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解答．
【详解】∵BD＝6cm，根据题意，当时，
∴ ，
∴ ，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
12．13
【分析】由条件可知ABCD，ADBC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD=BC．
【详解】解：由条件可知ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=13．
故答案为：13．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形 平行四边形，②两组对边分别相等的四边形 平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形 平行四边形，④两组对角分别相等的四边形 平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形 平行四边形．
13．平行四边形
【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，且AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形．
【详解】证明：∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD=EF，且AD∥EF，
同理可得BC=EF，且BC∥EF，
∴AD=BC，且AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
故答案为：平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行的四边形 平行四边形，②两组对边分别相等的四边形 平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形 平行四边形，④两组对角分别相等的四边形 平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形 平行四边形．
14．14
【分析】根据平移的性质得出四边形ADFC为平行四边形，然后利用平行四边形的面积计算方法求解即可．
【详解】解：根据题意得：BE=CF=AD=2，ADCF，
∴四边形ADFC为平行四边形，
∵∠ABC=90°
∴平行四边形ADFC的高为AB=7，
∴阴影部分的面积为：2×7=14，
故答案为：14．
【点睛】题目主要考查平移的性质及平行四边形的判定和性质，理解题意，掌握运用平移的性质是解题关键．
15．##
【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
【详解】∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在Rt△CDE中，DE= 2，CE＝4，由勾股定理得．
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4．
在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+．
故答案为：10+．
16．平行
【分析】长方形对边平行，有；由折叠知根据“有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形”作出判断．
【详解】解：纸片为长方形，
∴．
∴，
由叠法知，
．
∴，
∴，
是平行四边形．
故答案为：平行．
【点睛】此题考查了平行四边形的判断，折叠的性质，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
17． 2 28
【分析】通过对角线互相平分即可证明四边形ADCF为平行四边形，通过且CF=BD即可证明四边形BCFD是平行四边形；通过平行四边形的性质可知，最后通过和等底同高即可求解．
【详解】解：∵点E为AC中点，
∴AE=CE，
∵EF＝DE，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∴，则，CF=AD，
∵点D为AB中点，
∴AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形；
∵AD=BD，
∴和等底同高，
∴，
故答案为：2，28．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握平行四边形的性质和判定定理是解题的关键．
18．4
【分析】根据，时，四边形为平行四边形，得出PQ=CD，PD=CQ，用t表示出PD、CQ即可列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意可知，AP=t，则，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴PQ=CD，PD=CQ，
∴，
解得：，
即t=4s时，，且PQ=CD．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解一元一次方程，根据题意列出关于t的方程，是解题的关键．
19．（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析
【分析】（1）由题意可知，要使得四边形为平行四边形，则使得即可，从而添加适当条件即可；
（2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可．
【详解】（1）显然，直接添加，可根据定义得到结果，
故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
20．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得，AD=BC，再由点E、F是、的中点，可得DE=BF，即可求证；
（2）根据和平分可得∠CFD=∠CDF，从而得到CF=CD=5，即可求解．
【详解】（1）证明∶∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，AD=BC，
∵点E、F是、的中点，
∴，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴， CD=AB=5，
∴∠ADF=∠CFD，
∵平分，
∴∠ADF=∠CDF，
∴∠CFD=∠CDF，
∴CF=CD=5，
∴BF=BC-CF=8-5=3．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟记平行四边形的性质，证出CF=CD是解决问题（2）的关键．
21．(1)见解析
(2)四边形的周长为12，四边形的面积为
【分析】（1）证明互相平分，只要证是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明．
（2）首先证明出是等边三角形，然后根据平行四边形的周长公式求解，过D点作于点G，根据勾股定理求出，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形
∴，
∵分别是和的角平分线
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴，
∴即
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴互相平分；
（2）∵，
∴是等边三角形
∵，
∴，
∵，
∴
∴四边形的周长；
过D点作于点G，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
22．四边形是平行四边形；理由见解析
【分析】由已知条件得出点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，得出，，由平行四边形的判定方法即可得出结论．
【详解】解：四边形是平行四边形；理由如下：
，，，，，．
点与点关于原点对称，点与点关于原点对称，
，，
四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法、坐标与图形性质、关于原点对称的点的坐标特征；解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，由关于原点对称的点的坐标特征得出，．
23．（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）．
【分析】（1）分别以A、C为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形满足条件；根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形进行判断；
（2）根据平行四边形的性质求得，，利用勾股定理求得，再根据面积公式即可求解．
【详解】解：（1）如图，平行四边形为所作；
由作法得，，
所以四边形为平行四边形．
结论：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）解：如图：
设和交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定和性质以及勾股定理．
24．（1）；（2）（1）中结论仍成立；（3）详见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AE＝AD，再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系；
（2）根据等腰直角三角形的性质可得AB＝AC，AE＝AD，根据旋转的性质可得∠BAE＝∠CAD，根据SAS可证△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可求解；
（3）根据题意作图，根据等腰三角形及旋转的特点证明即可求解．
【详解】（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∴AE AB＝AD AC，
∴BE＝CD；
（2）（1）中结论仍成立，理由：
∵和都是等腰直角三角形，，
，，
由旋转的性质得，，
在与中，，
∴
∴.
（3）画图如下：
∵，△AED是等腰直角三角形，
∴AC=CD,AC⊥DE
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=CD,AB⊥AC
∴
则以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形.
【点睛】此题是四边形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解（2）的关键是判断出△BAE≌△CAD，解（3）的关键是画出示意图；综合性较强，难度中等．
答案第1页，共2页
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