专题18.11三角形的中位线 巩固篇 专项练习（含解析）2023-2024学年八年级数学下册人教版专项讲练

专题18.11 三角形的中位线（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为（　　）
A．32 B．16 C．8 D．4
2．如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列命题是假命题的是（ ）
A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4．如图，ABC中，AB＝AC＝12，BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则CDE的周长为（ ）
A．11 B．17 C．18 D．16
5．如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的周长是3，则AC＋BD的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD，下列结论错误的是（　　）
A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB
7．如图，在中，是的中点，在上，且，连接，交于点，若，则（ ）
A．15 B．18 C．20 D．25
8．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AnBnCn的周长为（　　）
A．a B．a C．a D．a
9．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，若∠MPN=130°，则∠NMP的度数为（　　）

A．10° B．15° C．25° D．40°
10．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．现给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．当在内绕顶点旋转时（点不与点，重合），上述结论中始终正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
二、填空题
11．如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为 ．
12．如图，在中，，，，点、分别在、上，将沿翻折，使与的中点重合，则的长为 ．
13．如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F，G分别是AD，AE的中点，且FG＝2 cm，则BC的长度是 cm．
14．如图，的顶点C在等边的边上，点E在的延长线上，G为的中点，连接．若，，则的长为 ．
15．如图，在平行四边形纸片ABCD中，，将纸片沿对角线AC对折至CF，交AD边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ．
16．如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为的中点，连接，则的长为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，D为AB的中点，E为边BC上一点，将△ADE沿DE翻折得到△A'DE，A'D与BC交于F．若△A'DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的，则BF的长为 ．
18．如图，在中，，将平移5个单位长度得到，点、分别是、的中点，的最小值等于 ．
三、解答题
19．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）若DE∥AB交AC于点E，证明：△ADE是等腰三角形；
（2）若BC＝12，DE＝5，且E为AC中点，求AD的值．
21．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．
22．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是AB，AC上的点，且EF∥BC，作EG平分∠AEF交AC于点G，在EF上取点D，使ED＝EA，连接DG并延长，交BA的延长于点P，连接PF．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）若ED＝DF，求∠B的大小．
（3）在（2）的条件下，若四边形AEDG的面积为S，请直接写出△PEF的面积（用含S的式子表示）．
23．如图，直线与轴相交于点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点．
求直线的函数关系式；
点是上的一点，若的面积等于的面积的倍，求点的坐标．
设点 的坐标为，是否存在 的值使得 最小？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（1）探究：如图（1），点P在线段AB上，在AB的同侧作△APC和△BPD，满足PC=PA，PD=PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G分别是AC、BD、CD边中点，连接EF、FG、EG．求证：∠EFG＝∠GEF．
（2）应用：如图（2），点P在线段AB上方，∠APC＝∠BPD＝90°，图（1）题中的其他条件不变，若EF＝2，则四边形ABDC的面积为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据等腰三角形的性质和中位线的性质求解即可．
【详解】∵AD＝AC，
∴是等腰三角形，
∵AE⊥CD，
∴，
∴E是CD的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCD的中位线，
∴，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了三角形的线段长问题，掌握等腰三角形的性质和中位线的性质是解题的关键．
2．B
【分析】根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到DF=5，由三角形中位线的性质得到DE=8，最后由线段的和差解题即可．
【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=5，
∵BC= 16，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=8，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
3．C
【分析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解．
【详解】解：选项A：三角形的两边之差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；
选项B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项B正确，不符合题意；
选项C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项C不正确，是假命题，符合题意；
选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握各个基本定理和性质是解决本类题的关键．
4．B
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=DC，根据三角形中位线定理求出DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴，
∵点E为AC的中点，
∴，
∴△CDE的周长=CD+CE+DE=17，
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
5．A
【分析】先由三角形的中位线定理推知四边形EFGH是平行四边形，然后求解即可．
【详解】解：如图，
∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知：
EF∥AC，GH∥AC且EF=GH=AC，EH=FG=BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形EFGH的周长是3，即EF+GH+EH+FG=3，
∴AC+BD=3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查中点四边形，解题时，利用三角形中位线定理判定四边形EFGH是平行四边形是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．
【详解】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，AE=EC，故A正确，
∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，
∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，
故选D．
【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题．
7．D
【分析】过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，根据三角形中位线的定理可得CG＝EG，通过△DGF △AEF，可得AF=DF，再利用三角形的面积可求解．
【详解】过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，
∵D为BC的中点，
∴DG为△BCE的中位线，
∴BE＝2GD，CG＝EG，
∵，
∴AE=GD，
∵DG∥AB，
∴∠AEF=∠DGF，∠EAF=∠GDF，
∴△DGF △AEF，
∴AF=DF，
∵，
∴S△ABD＝30，S△AED＝10，
∴S△AEF＝5，
∴S四边形DCEF＝S△ABD S△AEF＝30 5＝25，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
8．A
【分析】根据三角形中位线的性质可知的周长的周长，的周长的周长，以此类推找出规律，写出代数式，再整理即可选择．
【详解】解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作，
∴的周长的周长．
∵以各边的中点为顶点作，
∴的周长的周长，
…，
∴的周长
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质求出前2个三角形的面积总结出规律是解答本题的关键．
9．C
【详解】分析：根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠PMN的度数．
详解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC．
∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形．
∵∠MPN=130°，∴∠PMN==25°．
故选C．
点睛：本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．
10．B
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，求出∠APE=∠CPF，证△APE≌△CPF，推出AE=CF，EP=PF，推出S△AEP=S△CPF，求出S四边形AEPF=S△APC=S△ABC，EF不是△ABC的中位线，故EF≠AP，即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF-∠APF=∠APC-∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴①正确；②正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故③错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S△AEP=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC=S△ABC，
∴④正确；
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形中位线的性质，三角形三边关系定理，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．
11．10
【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答．
【详解】解：∵E、F分别为BC、AC的中点，
∴AB＝2EF＝20，
∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
12．
【分析】过点M作于N，则，可得MN是的中位线，利用三角形中位线定理可得MN=AC=3，BN=CN=BC=4，设CF=x，则NF=4-x，由折叠的性质可得MF=CF，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点M作于N，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴MN是的中位线，
∴MN=AC=3，BN=CN=BC=4，
设CF=x，则NF=4-x，
∵将沿翻折，使与的中点重合，
∴MF=CF=x，
在中，，
∴，解得，
∴CF=．
故答案为：．
【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，熟练掌握三角形的中位线定理，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．
13．8
【解析】略
14．
【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG=，代入数值即可得出答案．
【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，，，
平行四边形的顶点C在等边的边上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形中，，，
又是等边三角形，
，
．
G为的中点，，
是的中点，且是的中位线，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M，利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出是的中位线是解题的关键．
15．
【分析】为等边三角形，点A为BF的中点，可得，求得，再证明出点E为AD的中点，得到，可求出面积．
【详解】解：折叠至处，
AB=AF=2cm，BC=BF=CF=4cm，
为等边三角形，
，，
又四边形ABCD为平行四边形，
，
，
cm，CD=AB=2cm，
=，
点A为BF的中点，，
AE为的中位线，
，
点E为AD的中点，
==为折叠重合部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠问题以及等边三角形和平行四边形的综合问题，还涉及勾股定理，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握等边三角形和平行四边形的性质是解题的关键．
16．
【分析】连接DE，根据题意可得ΔDEG是直角三角形，然后根据勾股定理即可求解DG的长．
【详解】解：连接DE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC．
∵ΔABC是等边三角形，且BC=4，
∴∠DEB=60°，DE=2．
∵EF⊥AC，∠C=60°，EC=2，
∴∠FEC=30°，EF=．
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°．
∵G是EF的中点，
∴EG=．
在RtΔDEG中，DG=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线性质定理，记住和熟练运用性质是解题的关键．
17．##
【分析】依据勾股定理可得AB的长，由△DEF与△ABE面积关系推出F为BE中点，再根据三角形中位线定理以及勾股定理即可得出CE的长，进而得到BF的长．
【详解】解：如图，
Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴，
∵点D是AB的中点，
∴S△BDE＝S△ABE，
又∵△DEF的面积占△ABE面积的，
∴S△FDE＝S△ABE＝S△DBE，
∴F是BE的中点，
又∵D是AB的中点，
∴DF是△ABE的中位线，
∴DF∥AE，
∴∠2＝∠3，
又∵∠2＝∠1，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝AD＝AB＝，
Rt△ACE中，，
∴BE＝2﹣＝，
∴BF＝BE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、三角形中位线定理、折叠图形的特征等知识点，将题目中三角形面积关系转化为线段间的关系是解题关键．
18．
【分析】取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图，根据平移的性质得到PP′＝7，B1C1＝BC＝4，再利用P′Q为△A1B1C1的中位线得到P′Q=2，利用三角形三边的关系得到PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），从而得到PQ的最小值．
【详解】解：取A1B1的中点P′，连接QP′、PP′，如图：
∵△ABC平移5个单位长度得到△A1B1C1，
∴PP′＝5，B1C1＝BC＝3，
∵Q是A1C1的中点，P′为A1B1的中点，
∴P′Q为△A1B1C1的中位线，
∴P′Q＝B1C1＝，
∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（当且仅当P、P′、Q三点共线时取等号），
即，，
∴PQ的最小值为．
故答案为
【点睛】本题主要考查平移的性质和三角形三边关系，三角形的中位线的性质，掌握三角形三边关系是解题的关键．
19．见解析
【分析】连接BD，利用三角形的中位线定理证明得出，从而得到四边形是平行四边形
【详解】解：如图，连接．
∵点E，H分别是线段的中点，
∴是的中位线，
∴EH∥BD，．
同理，．
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大，解题的关键是正确的添加辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题．
20．（1）见解析；（2）8
【分析】（1）根据“三线合一”性质先推出∠BAD=∠CAD，再结合平行线的性质推出∠BAD=∠ADE，从而得到∠ADE=∠EAD，即可根据“等角对等边”证明；
（2）根据题意结合中位线定理可先推出AC=2DE，然后在Rt△ADC中利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证：∵在△ABC中，AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD⊥BC于点D，
∴由“三线合一”知：∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AB交AC于点E，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠CAD=∠ADE，
即：∠ADE=∠EAD，
∴AE=DE，
∴△ADE是等腰三角形；
（2）解：由“三线合一”知：BD=CD，
∵BC=12，
∴DC=6，
∵E为AC中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴AB=2DE，
∴AC=AB=2DE=10，
在Rt△ADC中，，
∴AD=8．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，勾股定理解三角形，以及三角形的中位线定理等，掌握等腰三角形的基本性质，熟练运用中位线定理和勾股定理计算是解题关键．
21．（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝
【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
22．（1）详见解析；（2）60°；（3）S△PEF＝3S．
【分析】（1）由“SAS”可证△AEG≌△DEG，可得∠GAE＝∠GDE＝90°，可得PD⊥EF；
（2）由线段垂直平分线的性质可得EG＝GF，可得∠GFE＝∠GEF，由直角三角形的性质可求∠AEG＝∠GEF＝∠GFE＝30°，由平行线的性质可求解；
（3）先证△PEF是等边三角形，可证四边形AEDG的面积＝S△AEF＝S△PEF，即可求解．
【详解】（1）∵EG平分∠AEF，
∴∠AEG＝∠DEG，
在△AEG和△DEG中，
，
∴△AEG≌△DEG（SAS）
∴∠GAE＝∠GDE＝90°，
∴PD⊥EF；
（2）∵ED＝DF，PD⊥EF，
∴EG＝GF，
∴∠GFE＝∠GEF，
∴∠AEG＝∠GEF＝∠GFE，
∵∠AEG+∠GEF+∠GFE＝90°，
∴∠AEG＝∠GEF＝∠GFE＝30°，
∴∠AEF＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B＝60°
（2）∵ED＝DF，PD⊥EF，
∴PE＝PF，且∠PEF＝60°，
∴△PEF是等边三角形，
∵AF⊥AB，
∴AE＝AP，
∴S△AEF＝S△AFP，
∵∠BAC＝90°，∠AEG＝30°，
∴EG＝2AG，
∴GF＝2AG，
∴2S△AEG＝S△EGF，
∵ED＝DF，
∴S△GED＝S△GFD，
∴S△GED＝S△GFD＝S△AEG，
∴四边形AEDG的面积＝S△AEF＝S△PEF，
∴S△PEF＝3S．
【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、平行线的性质是解题的关键．
23．（1）y=x-2；（2）（ ，）或（， ）；（3）（，3）．
【分析】（1）把点（3，-1），点B（6，0）代入直线l2，求出k、b的值即可；
（2）设点P的坐标为（t， t-2），求出D点坐标，再由S△ABP=2S△ABD求出t的值即可；
（3）作直线y=3，作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q（m，3）在直线A′B上求出m的值，进而可得出结论．
【详解】解：（1）由题知：
解得：
，
故直线l2的函数关系式为：y=x-2；
（2）由题及（1）可设点P的坐标为（t， t-2）．
解方程组 ，得 ，
∴点D的坐标为（，-）．
∵S△ABP=2S△ABD，
∴AB |t-2|=2×AB |-|，即|t-2|=，解得：t=或t=，
∴点P的坐标为（ ，）或（， ）；
（3）作直线y=3（如图），再作点A关于直线y=3的对称点A′，连结A′B．
由几何知识可知：A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q．
∵点A（3，0），
∴A′（3，6）
∵点B（6，0），
∴直线A′B的函数表达式为y=-2x+12．
∵点Q（m，3）在直线A′B上，
∴3=-2m+12
解得：m=，
故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（，3）．
【点睛】此题考查一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，轴对称最短路线问题，三角形的面积公式，解题关键在于在解答（3）时要注意作出辅助线，利用轴对称的性质求解．
24．（1）见解析；（2）4
【分析】（1）连接AD，BC，可证得△APD≌△CPB，从而得到AD=CB．再由三角形中位线定理，可得EG=GF，即可求证；
（2）连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，可证得△APD≌△CPB，从而得到AD=CB．∠ADP=∠CBP，再由∠CND=∠PNB，AD⊥BC，再由三角形中位线定理，可得△GEF为等腰直角三角形，从而得到，再由，即可求解．
【详解】证明：（1） 如图，连接AD，BC，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠APD=∠CPB．
∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB，
∴AD=CB．
∵E、G、F分别为AC、CD、DB的中点，
∴EG=AD，GF=BC，
∴EG=GF，
∴∠GEF=∠GFE．
（2）如图，连接AD、BC交于点M，BC、PD交于点N，
∵∠APC=∠BPD=90°，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，即∠APD=∠CPB，
∵PA=PC，PD=PB，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=CB，∠ADP=∠CBP，
∵∠CND=∠PNB，
∴∠DMN=∠BPD=90°，
∴AD⊥BC，
∵E、G、F分别为AC、CD、DB的中点，
∴EG是△ACD的中位线，GF是△DCB的中位线，
∴EG=AD，GF=BC， EGAD，GFBC，
∴GE=GF，GE⊥GF，
∴△GEF为等腰直角三角形，
∴，
∵EF=2，
∴，
∴．
故答案为：4
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
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