2.4 圆周角同步练习（含答案）2023-2024学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级数学上册
2.4 圆周角
一、选择题
1.如图，是半圆的直径，，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，四边形内接于，，为中点，，则等于( )
A. B. C. D.
3.如图，点，，在上，，则等于( )
A. B. C. D.
4.如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，四边形内接于，连接若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.如图，已知的半径为，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，弦，则弦的长为( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，点、、在上，且，则( )
A. B. C. D.
二、填空题
8.如图，点、、在上，，，则的半径为 ．
9.如图，，，，是上的四个点，，则________度
10.如图所示，是的直径，弦于点，，，则的半径是______．
11.如图，为的直径，点在圆上，交于点，连接，，则______．
12.如图，点，，，在上，，，，则 ．
13.如图，四边形内接于，为的直径，点为弧的中点，若，则 ．
14.如图，内接于，，的角平分线交于若，，则的长为 ．
15.如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为 度
三、解答题
16.如图，是直径，弦与相交于点，，求的度数．
17.如图，的弦、的延长线相交于点，且求证：．
18.已知，
用无刻度的直尺和圆规作，使且的面积为面积的一半，只需要画出一个即可作图不必写作法，但要保留作图痕迹
在中，若，，则面积的最大值是____．
19.已知：如图，在中，，为延长线上一点，连接交的外接圆于点，连接、．
求证：平分
若，，，求的长．
20.如图，四边形内接于，，的延长线交于点，是延长线上一点，．
求证：是等边三角形；
判断，，之间的数量关系，并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：是半圆的直径，
，
，
，
．
故选：．
先利用圆周角定理得到，则利用互余得到的度数，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能根据定理求出是解此题的关键．
求出，根据圆周角的度数求出它所对的的度数，求出的度数，再求出答案即可．
【解答】
解：为中点，
，
，
，
，
圆周角，
对的的度数是，
的度数是，
对的圆周角的度数是，
故选：．
3.【答案】
【解析】解：根据圆周角定理可知，
，
即，
故选：．
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．
本题主要考查了圆周角定理，正确认识与的位置关系是解题关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理．掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
连接，根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
【解答】
解：如图，连接，
是半圆的直径，
，
，
．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
四边形是圆内接四边形，
．
故选B．
根据，得到，然后利用圆内接四边形的性质得到结果．
本题考查圆周角定理，以及圆内接四边形的性质．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
延长交于点，连接，由知，据此可得，在中利用勾股定理求解可得．
【解答】解：如图，延长交于点，连接，
则，
又，
，
，
为的直径，
，
，
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．作所对的圆周角，如图，利用圆内接四边形的性质得，然后根据圆周角定理求解．
【解答】
解：作所对的圆周角，如图，
，
，
．
故选．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理以及等边三角形的判定和性质．
根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半和有一角是的等腰三角形是等边三角形求解．
【解答】
解：连接，，
，
又，
是等边三角形，
，
故答案为．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理和圆内接四边形性质，解题的关键是明确它们各自内容，灵活运用，解答问题．根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍可以解答本题．
【解答】
解：，，，是上的四个点，，
四边形是圆内接四边形，，
，
，
，
故答案为．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
连接，由圆周角定理和垂径定理得出，，由直角三角形的性质得出，，，得出，，求出．
【解答】
解：连接，如图所示：
是的直径，弦于点，
，，
，
，
在中，，
，，
，，
，
即的半径是；
故答案为：．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查圆周角定理，关键是根据直径和垂直得出的度数．
连接，得出的度数，进而得出的度数，利用互余解答即可．
【解答】
解：连接，
为的直径，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理有关知识，直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出，进而得出答案．
【解答】
解：，，
，
，
，
，
．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理的应用，掌握半圆或直径所对的圆周角是直角是解题的关键．连接，得到，，计算即可．
【解答】解：连接，
点为弧的中点，
，
为的直径，
，
，
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：连接，
，
是的直径．
，
的角平分线交于，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
，，
．
故答案为：．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，推出，，，四点共圆是解题的关键．
根据已知条件得到点，，，在以为圆心，为直径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：，为对角线的中点，
．
，，，四点共圆，圆心是，直径是．
，，
．
16.【答案】解：连接，
是直径，
，
，
．
【解析】此题考查了圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法．
连接，根据圆周角定理即可得到结论．
17.【答案】证明：连接．
，
，
，
即，
，
．
【解析】连接，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等角对等边证得．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
18.【答案】解：如图所示，即为所求．
．
【解析】【分析】
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键判断出点是以为弦的圆上、圆的确定及线段的中垂线的尺规作图等知识点．
先作出的外接圆，再作边上的高，继而作出此高的中垂线，与外接圆的交与点，即为所求；
作以为弦且所对圆心角为的，则垂直于弦的直径与优弧的交点即为使三角形面积最大的点，根据作图得出边上的高可得答案．
【解答】
解：见答案，如图所示；
如图所示，作以为弦，且所对圆心角为的，
点为优弧上不与、重合的任一点，
当在位置上时在的垂直平分线上，高最长，面积最大，
，，
，
则，
，
的面积为，
即的面积的最大值为．
故答案为：．
19.【答案】证明：四边形内接于圆，
，
，
，
，
又，
，
平分；
解：，
，，
，
，
，，
．
【解析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论；
根据等腰三角形的性质得到，，求得，解直角三角形即可得到结论．
20.【答案】证明：，
，
四边形内接于，
，
由圆周角定理得，，
是等边三角形；
解：，
理由如下：如图，在上截取，连接，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
由圆周角定理得，，
在和中，
≌，
，
．
【解析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理、等边三角形的判定定理证明；
在上截取，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论．