2.5 直线与圆的位置关系同步练习（含解析）2023-2024学年苏科版九年级数学上册

苏科版九年级数学上册
2.5 直线与圆的位置关系
一、选择题
1.三角形的内心是( )
A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点
C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条角平分线的交点
2.已知的半径为，点到直线的距离为，则直线与的位置关系是( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
3.已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心到直线的距离则直线与的位置关系是( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断
4.已知的半径为，直线经过上一点点，在点的两旁，下列条件能判定直线与相切的是( )
A.
B.
C. 到直线的距离是
D.
5.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，，则光盘的直径是( )
A. B. C. D.
6.如图，，切于点，，点是上一点，且，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在 中，，若与、相切于点、，则( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，直线是的切线，为切点，交于点，点在上，连接，，，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
10.如图，为的内切圆，，，，点，分别为，上的点，且为的切线，则的周长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11.如图，在中，，，，以点为圆心，以长为半径作圆，则与的位置关系是
12.如图，正方形的边长为，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作当与正方形的边相切时，的长为______．
13.如图，是的直径，且经过弦的中点，过延长线上一点作的切线，切点为若，则______．
14.如图，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与边所在直线垂直于点，若，则等于__________．
15.如图，中，，，，为边的中点，以上一点为圆心的和、均相切，则的半径为 ．
16.如图，分别切的两边，于点，，点在优弧上，若，则等于______度．
17.如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，且的面积为，则内切圆的半径为 ．
18.如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值是_________．
三、解答题
19.如图，是的直径，点在圆上，直线交延长线于点，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．
20.已知、是的切线，、为切点，连接并延长，交的延长线于点，连接，交于点．
如图，若，求的大小；
如图，连接，若，求的大小．
21.如图，是的直径，，是的中点，连接并延长到点，使连接交于点，连接，．
求证：直线是的切线；
若，求的长．
22.已知，分别与相切于点，，，为上一点．
Ⅰ如图，求的大小；
Ⅱ如图，为的直径，与相交于点若，求的大小．
23.如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点，是延长线上一点，交于点，连接、．
求证：平分．
若，
求的度数；
若的半径为，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点，
故选：．
根据三角形的内心的性质解答即可．
此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设的半径为，圆心到直线的距离为直线和相交直线和相切，直线和相离根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论．
【解答】
解：半径，
直线与相交，
故选A．
3.【答案】
【解析】解：，
，，
的半径为一元二次方程的根，
，，
直线与的位置关系是相离，
故选：．
先求方程的根，可得的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定．
4.【答案】
【解析】解：点在上，
若直线与相切，只需即可．
故选D．
根据切线的判定定理可求得需要满足的条件，即可求得答案．
本题主要考查切线的判定．
5.【答案】
【解析】解：设三角板与圆的切点为，连接、，如图：
，
由切线长定理知，平分，
，
在中，，
光盘的直径为，
故选：．
设三角板与圆的切点为，连接、，由切线长定理得出、，根据可得答案．
本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理的应用．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，连接、．
、都为圆的切线，
．
，
．
．
故选：．
由与都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据
的度数，利用四边形的内角和定理求出的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的倍，求出的度数即可．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：与、相切于点、，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
故选：．
首先根据切线长定理，判断四边形是菱形，再利用菱形的对角线平分一组对角得结论．
本题考查了切线长定理及菱形的判定和性质．题目难度不大，但有一点的综合性．切线长定理：从圆外引圆的两条切线，它们的切线长相等．
8.【答案】
【解析】【分析】
由切线的性质知，再根据平行线的性质得，最后由圆周角定理可得答案．
本题主要考查切线的性质，圆周角定理以及平行线的性质，求出的度数是解题的关键．
【解答】
解：直线是的切线，为切点，
，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】解：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据切线的性质得，再利用互余计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．
10.【答案】
【解析】解：，，和圆的切点分别是，，，，根据切线长定理，得
，，．
则有，
解得：．
所以的周长．
故选：．
因为，，和圆的切点分别是，，根据切线长定理得到，所以三角形的周长即是的值，再进一步根据切线长定理由三角形的三边进行求解即可．
此题主要是考查了切线的性质、三角形内切圆与内心、切线长定理．要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题．
11.【答案】相交
【解析】【分析】
本题考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是判断圆的半径和圆心到直线的距离．
先求出点到直线的距离，比较与的大小，从而得出答案．【解答】
解：过作，垂足为，
，，
，
，
，
，
与直线相交．
故答案为相交．
12.【答案】或
【解析】解：正方形的边长为，是的中点，
如图中，当与直线相切时，设．
在中，，
，
，
，．
如图中当与直线相切时．设切点为，连接，则，四边形是矩形．
，
，，
综上所述，的长为或
分两种情形分别求解：如图中，当与直线相切时；如图中当与直线相切时．设切点为，连接，则，四边形是矩形；
本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，交于．
是直径，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是切线，
，
，
．
故答案为．
如图，连接，，，交于，因为是直角三角形，欲求，只要求出即可，再转化为求即可解决问题．
本题考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识，解题的关键是添加辅助线，需要灵活运用圆的有关知识，属于中考常考题型．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
由圆内接四边形的性质求出，由圆周角定理求出，得出，由弦切角定理得出，由三角形的外角性质得出，即可求出的度数．
【解答】
解：圆内接四边形的边过圆心，
，，
，，
过点的切线与边所在直线垂直于点，
，，
，
，
；
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：过点作于点，于点．
、是的切线，
点、是切点，
、是的半径；
；
在中，，，，
由勾股定理，得；
又是边的中点，
，
又，
，即，
解得，
的半径是，
故答案为．
过点作于点，于点，根据切线的性质，知、是的半径；然后由三角形的面积间的关系列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径．
本题考查了切线的性质与三角形的面积．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
16.【答案】
【解析】解：连接，
分别切的两边，于点，
，
又
故答案为：
连接，，由切线的性质可得，，由四边形内角和定理可求，即可求的度数．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键．
17.【答案】
【解析】【分析】此题主要考查了切线长定理以及三角形的内切圆，明确三角形的面积三角形的周长三角形内切圆半径是解题关键．根据切线长定理得出，，，进而得出的周长，最后根据三角形的面积三角形的周长三角形内切圆半径求解即可．
【解答】
解： 是的内切圆，切点分别为，，，
，，，，，，
的周长为．
连接，，，
则的面积等于，，的面积之和，
则，
，，解得．
的内切圆的半径为．
18.【答案】
【解析】【分析】
本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解设的中点为，圆与的切点为，连接，连接，，则有；由勾股定理的逆定理知，是直角三角形，由三角形的三边关系知，；只有当点在上时，有最小值为的长，即当点在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时．
【解答】
解：如图，
，，，
，
，
是的直径，
设的中点为，圆与的切点为，连接，连接，，则，
，
，
当点在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，
．
故答案为．
19.【答案】证明：如图所示，
连结，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，即 ，
，
为半径，
是的切线；
解： ，且，
∽．
，
，即 ，
，

【解析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”也考查了圆周角定理．
连接，如图，利用圆周角定理得，再利用得到，然后根据切线的判定定理得到结论；
先证明∽，则利用相似比计算出的长，然后计算即可．
20.【答案】
解：Ⅰ连接，
、是的切线，
，，，
，
，
，
，
，
Ⅱ连接，设，
、是的切线，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】Ⅰ根据切线的性质和三角形的内角和解答即可；
Ⅱ连接，设为，利用三角形内角和解答即可．
本题考查了切线的性质，解本题的关键是根据切线的性质和三角形的内角和解答．
21.【答案】证明：连接，
是的直径，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
直线是的切线；
解：，
由得：≌，
，
，
，
，
．
【解析】证明≌，可得，可得结论；
由得：≌，则，根据勾股定理得：，利用面积法可得的长．
本题考查圆的有关知识，切线的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22.【答案】解：Ⅰ连接、，
，是的切线，
，
，
由圆周角定理得，；
Ⅱ连接，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
Ⅰ连接、，根据切线的性质得到，根据四边形内角和等于计算；
Ⅱ连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算．
23.【答案】解：证明：
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
，
，
，
；
过点作于点，
则，
，，
，
，
在中，，
，
．
【解析】本题主要考查圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
由切线性质知，结合得，且，即可知，从而得证；
由知，结合可得答案；
过点作，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知，由得出，在中，由可得答案．