2.2 基本不等式一课一练（含解析）

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2.2 基本不等式一课一练
一、单选题
1．设是内一点，且的面积为2，定义，其中分别是，，的面积，若内一动点满足，则的最小值是（　　）
A．1 B．4 C．9 D．12
2．已知a>0，b>0，a+b=3，则 的最小值为（　　）
A． B． C． D．9
3．若不等式在上恒成立，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．若a，b，c均为正数，且 ，则 的最小值为（　　）
A．12 B．6 C．5 D．3
5．下列不等式或 命题一定成立的是（　　）
① ；② ；③ ；④ 最小值为2.
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
6．已知，则的最小值为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、多选题
7．若 ，则（　　）
A． B． 的最小值为10
C． D． 的最小值为9
8．若，且，则（　　）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
三、填空题
9．若 ，则 的最小值为　 　
10．阿基米德（公元前287—公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆经过点，则当取得最大值时，椭圆的面积为　 　．
11．已知 ，且 ，则 的最大值为　 　.
四、解答题
12．
（1）若 是正常数， ，求证： (当且仅当 时等号成立)．
（2）求函数 的最小值，并求此时 的值．
13．已知，，且.
（1）求的最大值；
（2）求的最小值.
14．已知正实数 ， 满足 ，求证： .
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】根据题意，由于是内一点，且的面积为2，定义，其中分别是ΔMBC，ΔMCA，ΔMAB的面积，那么可知内一动点满足，x+y+1=2，x+y=1.因此可知
，故可知答案为C。
2．【答案】D
【解析】【解答】 ， ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为9.
故答案为：D.
【分析】由 ，利用基本不等式可求解.
3．【答案】C
【解析】【分析】因为不等式在上恒成立，所以且，因为，所以，所以的取值范围是.选C
【点评】恒成立问题一般转化成最值问题解决，而此小题求最值时，一定要注意变量的范围，当用基本不等式取不到等号时，要转化成对号函数求解.
4．【答案】B
【解析】【解答】不妨设 ，则 ， ，
由排序不等式得 ．
故答案为：B
【分析】首先整理化简代数式再由基本不等式求出最小值即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：① ，由基本不等式可得
当且仅当 时取等号，故正确；
② 可以取负值，故 不成立，故错误；
③由基本不等式可得 当且仅当 时取等号，故正确；
④当 时 故错误.
故答案为：
【分析】根据基本不等式的性质一一验证.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：设，，，则，，，
且，，，
∴，，，
∴，
令
，
∴.
当且仅当，即，即时等号成立.
（如，即时等号成立）.
∴的最小值为；
故答案为：B．
【分析】设，分别求得，代入将不等式化简为，结合基本不等式，即可求解.
7．【答案】A,B
【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ， ，即 ，所以A符合题意，C不符合题意；
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为10，所以B符合题意；
，当且仅当 ，即 时取等号，而 ，所以 ，所以不能取得等号，所以 的最小值不为9，所以D不符合题意，
故答案为：AB
【分析】根据题意由不等式的基本性质结合基本不等式求出最值，再对选项逐一判断即可得出答案。
8．【答案】B,D
【解析】【解答】由，可知，，，
，
当且仅当时，等号成立，的最小值为25，
又，
当且仅当时，等号成立，
所以，
故的最大值为。
故答案为：BD.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法得出正确的选项。
9．【答案】
【解析】【解答】由基本不等式可知 ，当且仅当 时取等号
即 的最小值为
【分析】利用基本不等式即可得到 的最小值.
10．【答案】
【解析】【解答】
由基本不等式 可得 ，当且仅当 时取得最大值，
由 可知 ，
∵椭圆 经过点 ，∴ ，解得 ， ，
则椭圆的面积为 .
故答案为： .
【分析】 利用基本不等式得出 取得最大值时的条件结合 可知 ，再利用点在椭圆方程上，故可求得a、b的值，进而求出椭圆的面积.
11．【答案】
【解析】【解答】∵xy﹣z＝0，∴xy＝z，即x＝ ，∵ ，∴x＞2，
∴令t＝ ，
∴ ，当且仅当 取等号，
∴ 的最大值是 ．
故答案为： ．
【分析】利用已知条件结合换元法，结合均值不等式变形求出 的最大值。
12．【答案】（1）解：
，当且仅当 时，即 时等号成立.
（2）解： ，当且仅当 时，即 时等号成立.
【解析】【分析】(1)首先整理化简原式再由基本不等式即可得证。
(2)首先整理化简原式再由(1)的结论即可求出当函数取得最小值时x的值。
13．【答案】（1）解：因为，所以，即，
当且仅当时，等号成立.
故的最大值是.
（2）解：因为，
当且仅当，即时，等号成立.
故最小值为36.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得出ab的最大值。
（2）利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得出 的最小值。
14．【答案】证明：
由 可得
当且仅当 ， 时取等号，所以 ，即
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，从而证出不等式 成立。
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