2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一课一练（含解析）

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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式一课一练
一、单选题
1．已知集合A= ,B= ,则 =（　　）
A． B．
C． D．
2．设集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
3．不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
4．不等式x2－2x－5>2x的解集是(　　)
A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1}
C．{x|－15．若函数，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．
6．不等式 对任何实数 恒成立，则 的取值范围是（　　）
A．(﹣3，0 ) B．(﹣3，0] C．[﹣3，0 ) D．[﹣3，0]
二、多选题
7．与不等式的解集相同的不等式有（　　）
A． B．
C． D．
8．已知关于 的不等式 ，下列结论正确的是（　　）
A．当 时，不等式 的解集为
B．当 时，不等式 的解集为
C．当 时，不等式 的解集可以写为 形式
D．不等式 的解集恰为 ，那么
三、填空题
9．已知，则关于的不等式的解集是　 　．
10．不等式4x2﹣4x+1＞0的解集是　 　．
11．设 ，若关于 的不等式 对任意的 恒成立，则 的最大值为　 　.
四、解答题
12．设关于 x 的函数 f（x）=lg（x2﹣2x﹣3）的定义域为集合 A，函数 g（x）=x﹣a，（0≤x≤4）的值域为集合 B．
（1）求集合 A，B；
（2）若集合 A，B 满足 A∩B=B，求实数 a 的取值范围．
13．k是什么实数时，方程x2﹣（2k+3）x+3k2+1=0有实数根？
14．已知实数 并且满足 ，若 恒成立，求实数m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】先解不等式 得0故答案为：C.
【分析】通过解一元二次不等式求出集合B，结合集合A的含义及交集的运算，即可求出 .
2．【答案】A
【解析】【解答】由集合 ，
得 ，
或 ，
所以
故答案为：A.
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求出集合A、B再由交集的定义即可得出答案。
3．【答案】A
【解析】【解答】原不等式等价于 ，解得 或 .
即解集为：
故选：A.
【分析】利用幂函数 的定义域 和单调递增，列式，解不等式即可得出解集.
4．【答案】B
【解析】【解答】由题意，将不等式 化为 ，
则 ，解得 或 ，
即不等式的解集为 或 。
故答案为：B．
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出不等式x2－2x－5>2x的解集。
5．【答案】B
【解析】【解答】时，，即，解得，，所以，；
a=0时，即1>a+1，不合题意；
时，，即，解得，，
所以，；
a=1时，即a+1>1恒成立；
时，即，化简得，恒成立，所以，；
综上知，不等式的解集为，选B。
【分析】中档题，对于抽象函数构成的不等式，应首先考虑“具体化”，本题通过分类讨论，转化得到几个不同的简单不等式。作为选择题，可结代入验证的方法，排除错误选项。
6．【答案】B
【解析】【解答】当 时， 恒成立，故满足题意；
时， ，解得 ；
所以 的取值范围是 ，
故答案为：B.
【分析】可以把不等式左边看成一个关于x的函数，因为二次项系数含有参数k，故可分该函数为一次函数和二次函数进行探究，当k=0，通过计算发现恒成立；当k不等于0的时候，为二次函数，因为该二次函数恒小于0，结合图像可知k小于0，同时该二次函数与x轴没有交点，因而，综合考虑，便可以求出k的范围。
7．【答案】A,B,C
【解析】【解答】因为，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为，
A.，二次函数的图象开口朝下，所以的解集为；
B.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为；
C.，二次函数的图象开口朝上，所以不等式的解集为；
D. ，所以或，与已知不符.
故答案为：ABC
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法，进而得出与不等式的解集相同的不等式。
8．【答案】A,B,D
【解析】【解答】由 得 ，又 ，所以 ．
所以不等式 的解集为 ，故A正确；
当a＝1时，不等式 为 ，解集为R，
当b＝4时，不等式 为 ，解集为 ，故B正确；
在同一平面直角坐标系中作出函数 的图象及直线y＝a和y＝b，如图所示．
由图知，当a＝2时，不等式 的解集为 的形式，故C错误；
由 的解集为 ，知 ，即 ，
因此当x＝a，x＝b时函数值都是b．由当x＝b时函数值是b，得 b2－3b＋4＝b，解得b＝ 或b＝4．
当b＝ 时，由 a2－3a＋4＝b＝ ，解得a＝ 或a＝ ，不满足a≤1，不符合题意，
当 时，解得 或 （舍），所以 ，故D正确
故答案为：ABD
【分析】A.由 得 ，根据 ，利用判别式判断；B. 令a＝1，b＝4，利用一元二次不等式的解法判断；C.在同一平面直角坐标系中作出函数 的图象及直线y＝a和y＝b的图象判断；D．根据 的解集为 ，则 ， ， 时函数值都是b．然后分别由 b2－3b＋4＝b， a2－3a＋4＝b求解判断．
9．【答案】
【解析】【解答】x2-4ax-5a2=（x+a）（x-5a）＜0，所以方程（x+a）（x-5a）=0的实数根为-a和5a，因为a＞0，所以5a＞-a，所以原不等式的解集为（-a，5a）.
故答案为：（-a，5a）．
【分析】根据因式分解求解对应方程的实数根，比较两根大小后即可求解不等式解集.
10．【答案】{x|x }
【解析】【解答】解：∵4x2﹣4x+1＞0，即（2x﹣1）2＞0，∴2x﹣1≠0，即 ，
∴不等式4x2﹣4x+1＞0的解集是{x|x }．
故答案为{x|x }．
【分析】利用实数的性质即可得出．
11．【答案】
【解析】【解答】不等式 等价于：
① 或②
若不等式 对任意的 恒成立，
则不等式的解集必须包含 .
①
当 时，①的解不包含0，而 中有0，与题意不符；
当 时，①的解为 且 ，不包含 ，与题意不符.
②
若不等式的解集包含 ，必须
即
所以，当 时， 有最大值 .
【分析】不等式 等价于：
① 或②
若不等式 对任意的 恒成立，则不等式的解集必须包含 .
再利用分类讨论的方法结合不等式恒成立问题的解决方法和求最值的方法求出当 时， 有最大值 .
12．【答案】（1）解：由题意可知：A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|（x﹣3）（x+1）＞0}={x|x＜﹣1 或 x＞3}，
由 0≤x≤4，得﹣a≤x﹣a≤4﹣a，
∴B={y|﹣a≤y≤4﹣a}；
（2）解：∵A∩B=B，∴B A∴4﹣a＜﹣1 或﹣a＞3，解得：a＞5 或 a＜﹣3．
∴实数 a 的取值范围是{a|a＞5 或 a＜﹣3}
【解析】【分析】（1）利用对数函数的定义域能求出集合A，利用一次函数的值域能求出集合B；（2）由集合A，B满足 ，得 ，由此能求出实数 a 的取值范围．
13．【答案】解：根据一元二次方程有实数根的条件，判别式
△=b2﹣4ac≥0，
所以[﹣2（k+3）]2﹣4（3k2+1）≥0，
即k2﹣3k﹣4≤0，∴﹣1≤k≤4．
故当﹣1≤k≤4时，原方程有实数根
【解析】【分析】根据一元二次方程的根的情况取决于△的取值
14．【答案】解：
当且仅当 ，即 ， 时，“﹦”成立
故
或
即m的范围为
【解析】【分析】首先利用基本不等式求得 的最小值为 ，由此得到 ，解一元二次不等式求得m的取值范围.
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