第二单元 二次函数与一元二次方程、不等式测试题（含解析）

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第二单元 二次函数与一元二次方程、不等式测试题
一、单选题
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则 （　　）
A． B． C． D．
3．关于x的不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
4．不等式 的解集为（　　）
A． B．
C． D．
5．下列命题中正确的是（　　）
A．若 ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
6．已知 ， ， ，若不等式 恒成立，则t的最大值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
7．函数 的最小值为（　　）
A． B．3 C． D．
8．已知函数 ，若存在实数 ，满足 ，则实数 的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
9．设a，b，x∈N*，a≤b，已知关于x的不等式lgb-lgaA． B．6 C． D．4
二、多选题
10．可以作为的一个充分不必要条件是（　　）
A． B． C． D．
11．若 ， ，且 ，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
12．下列函数中，最小值为 的有（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知 ，则 的最小值为　 　，此时x的值为　 　.
14．设，，则有　 　.（请填“<”、“=”、“>”）
15．不等式（x+2）（x﹣3）＞0的解集为　 　．
16．不等式 的解集为　 　.
17．若 ，且 ，求 的最小值　 　.
18．已知正数 ， 满足 ，则 的最小值是　 　．
四、解答题
19．已知全集为 ，集合 ， .
（1）若 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
20．已知a＞b＞0，c＞0，求证： ．
21．已知 ， ．
（1）若 ，解不等式 ；
（2）若不等式 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若 ，解不等式 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解不等式得：，解不等式得：，
于是得，
所以.
故答案为：B
【分析】根据题意由一元二次不等式的解法求解出不等式的解集，从而得出集合A与B，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
2．【答案】B
【解析】【解答】由题意得 ，
∴ ．
故答案为：B．
【分析】解二次不等式求出集合M,再求交集.
3．【答案】A
【解析】【解答】由原不等式可得 ，
即 ，
解得 ，
故答案为：A
【分析】化简一元二次不等式，求出对应方程的根，结合二次函数图象，写出不等式解即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】将不等式 化为 ，解得 ，
所以解集为
故答案为：B.
【分析】将不等式 变形为 ，从而得到解集．
5．【答案】C
【解析】【解答】A,当c=0时， ，A不符合题意；
B，若 则 ，则 举例说明：a=3,b=2,c=-1,d=-2,则 ，B不符合题意。
D，若 ，则有 D不符合题意；
故答案为：C；
【分析】由不等式的性质逐一判断即可。
6．【答案】C
【解析】【解答】因为 ， ， ，
若不等式 恒成立，
令y= ，
当且仅当 且 ，
即 时取等号，
所以 ，所以 ，
故t的最大值为8．
故答案为：C
【分析】由不等式 恒成立，转化为求 的最小值，结合 ，用“1”的代换求其最小值即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为 。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而求出函数 的最小值 。
8．【答案】A
【解析】【解答】由题意知，方程 有解，
则 ，
化简得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 化简得 ， 解得 ；
当 时， 化简得 ， 解得 ，
综上所述 的取值范围为 ．
故答案为：A
【分析】根据题意可知方程 有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出 ， 再利用分类讨论思想即可求出实数 的取值范围．
9．【答案】B
【解析】【解答】易得，因为a，b，x∈N*，a≤b，所以.当时，，即共50个；当时，，即共50个；当时，，共有51－3＝48个；，共有55－3＝52个；，有59－3＝56个，即始终不可能有50个；当时，也不可能有50个.所以的最大值为，此时，选B.
10．【答案】A,C
【解析】【解答】，
，
，解得或.
所以可以作为的一个充分不必要条件是或.
故答案为：AC
【分析】先解不等式，然后判断充分不必要条件.
11．【答案】A,B,C
【解析】【解答】对于A选项，由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，A选项正确；
对于B选项， ， ，
当且仅当 时，等号成立，B选项正确；
对于C选项， ，
当且仅当 时，等号成立，C选项正确；
对于D选项，由A选项可知， ，即 ， ，D选项错误.
故答案为：ABC.
【分析】利用不等式的基本性质和基本不等式的性质即可得出答案。
12．【答案】A,C
【解析】【解答】对于 ，
当且仅当 时，即 取等号，此时取得最小值 ，故 成立；
对于 ：由 可得 ，
令 ， ， 在 ， 上单调递减，
当 时取得最小值3，故 不成立；
对于 ：令 ，则 ，则 ，
当且仅当 时，即 取等号，此时取得最小值 ， 成立；
对于 ，由于 ，所以设 ，
当 时， ，
当且仅当 时，即 取等号，此时取得最小值 ；
当 时， ，
当且仅当 时，即 取等号，此时取得最大值 ．
综上述 或 ，故 不成立．
故答案为：AC．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，从而找出最小值为 的函数。
13．【答案】4；2
【解析】【解答】由 ，可得 ，
则 ，当且仅当 时，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，此时 .
故答案为：4，2.
【分析】由 ，求得 ，再由 ，结合基本不等式，即可求解.
14．【答案】<
【解析】【解答】因为，，
所以，
故.
故答案为：<.
【分析】利用作差比较法，得到，即可求解.
15．【答案】（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）
【解析】【解答】解：∵方程（x+2）（x﹣3）=0的两根为﹣2和3，
∴不等式（x+2）（x﹣3）＞0的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．
【分析】解得对应方程的根，由三个二次的关系可得．
16．【答案】
【解析】【解答】
解得：
故答案为：
【分析】将不等式转化为 ，化简即可得出答案.
17．【答案】
【解析】【解答】因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ，
故答案为： 。
【分析】因为 ，且 ，所以 ，再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出 的最小值 。
18．【答案】9
【解析】【解答】 ， ，
为正实数， ，当且仅当 时取等号，
， ，即
解得： 或 （舍去），
，当且仅当 时取等号，即 的最小值是9。
故答案为：9。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出 或 （舍去），进而求出 的最小值。
19．【答案】（1）解：集合 或 ，
集合 ，
因为 ，
则 ，
所以 ，
所以 时，实数 的取值范围为 ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
当 时，无解；
当 时 或 ，
得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
【解析】【分析】(1)根据题意由集合之间的关系，对边界点进行限制由此得到a的取值范围。
(2)由已知条件即可得到，对集合B分情况讨论，由集合之间的运算性质，对边界点进行限制由此得到a的取值范围。
20．【答案】证明：∵a＞b＞0，∴ ＞ ＞0，再由 c＞0，可得 ，故要证的不等式成立
【解析】【分析】由a＞b＞0，可得 ＞ ，两边同时乘以正实数c，可得要证的不等式．
21．【答案】（1）解：当 ，不等式 即 ，即 ，解得 ，或 ，
故不等式的解集为 ，或
（2）解：由题意可得 恒成立，
当 时，显然不满足条件， ．
解得 ，故a的范围为
（3）解：若 ，不等式为 ，即 ．
，
当 时， ，不等式的解集为 ；
当 时， ，不等式即 ，它的解集为 ；
当 时， ，不等式的解集为
【解析】【分析】（1）当 a = 1 ，得到不等式 x 2 + x 1 ≥ 1 ，即 ( x + 2 ) ( x 1 ) ≥ 0 ，即可求解不等式的解集；
（2）由题意可得 ( a + 2) x 2 + 4 x + a 1 > 0 恒成立，得到a + 20且，即可得到实数a的取值范围；
（3）若 a < 0 ，不等式为 ax 2 + x a 1 > 0 ，即 ( x 1 ) ( x + ) < 0 ，分类讨论，即可求解不等式的解集。
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