3.1 函数的概念及其表示一课一练（含解析）

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3.1 函数的概念及其表示一课一练
一、单选题
1．若函数t=f（x）的值域为（0，8]，则y=t2﹣10t﹣4的值域为（　　）
A．[﹣20，﹣4） B．[﹣20，﹣4]
C．[﹣29，﹣20] D．[﹣29，﹣4）
2．设x为实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是 （　　）
A． B．
C． D．
3．函数 的定义域是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列四组函数中，表示相同函数的一组是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知函数的定义域为，值域为，那么满足条件的整数对共有 （　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．9个
6．若函数f（x）= 的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是（　　）
A．2≤a≤3 B．a＞2 C．a≥2 D．2≤a＜3
二、多选题
7．下列四组函数，表示同一函数的是（　　）
A．f（x） = ，g（x）=|x|
B．f（x）= ，g（x）=
C．f（x）=x，g（x） =
D．f（x）=|x+1|，g（x）=
8．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet，1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数 有如下四个命题，正确的为
A．函数 是偶函数
B． ， ， 恒成立
C．任取一个不为零的有理数T， 对任意的 恒成立
D．不存在三个点 ， ， ，使得 为等腰直角三角形
三、填空题
9．函数 的定义域是　 　.
10．函数 的定义域为　 　；（用集合或区间表示）
11．定义在 上的函数 满足 .若当 时． ，则当 时， =　 　.
四、解答题
12．已知 ， 为 的反函数，不等式 的解集为
(I)求集合 ；
(II)当 时，求函数 的值域.
13．设函数f（x）=．
（1）当a=﹣5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
14．函数 的定义域为 ，函数 .
（1）若 时， 的解集为 ，求 ；
（2）若存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：F（x）=t2﹣10t﹣4=（t﹣5）2﹣29，
∵函数t=f（x）值域为（0，8]，
∴0≤（t﹣5）2＜25，
∴﹣29≤（t﹣5）2﹣29＜﹣4，
故选：D．
【分析】由函数t=f（x）值域为（0，8]可知f（x）∈（0，8]，用配方法求函数的值域．
2．【答案】B
【解析】【分析】因为选项A中，前者的定义域为R，后者的定义域为大于零的实数因此不是同一函数。选项B中，对应关系式相同，定义域相同，且为R，成立。选项C中，由于底数x-2不能为零，因此定义域不同，前者为R，后者不能为2，故不成立。选项D中，定义域前者是x不能为1，-1，后者是x不能为1，那么可知不是同一函数，故选B.
【点评】解决该试题的关键是同一函数是指函数的定义域、值域、对应关系均相同的函数，从这三要素入手，即可做出准确判断.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得得-1≤x<0或x>0，故定义域为 ，
故答案为：C.
【分析】根据函数的定义域求解即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】对于A， 定义域不同，化简后对应法则相同，不是相同函数；
对于B， 定义域不同，对应法则不同，不是相同函数；
对于C， 定义域相同，对应法则相同，是相同函数；
对于D， 定义域不同，化简后对应法则相同，不是相同函数。
故答案为：C
【分析】两个函数是不是同一函数决定于定义域、对应法则是否相同。
5．【答案】C
【解析】【分析】由题设，值域是[0，1]，可得1≤ ≤2，由此解出0≤|x|≤2，由于x=0时y=1，x=±2时，y=0，故在定义域中一定有0，而±2必有其一，当一定有2时，取b=2时，a可取-2，-1，0，当b=-2时，a可取0，1
【解答】由题意函数f(x)= -1的值域是[0，1]，
∴1≤≤2
∴0≤|x|≤2
∴-2≤x≤2
∴[a，b] [-2，2]
由于x=0时y=1，x=±2时，y=0，故在定义域中一定有0，而±2必有其一，又a，b∈Z
取b=2时，a可取-2，-1，0，取a=-2时，b可取0，1
故满足条件的整数数对（a，b)共有5对
故应选C．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：x≤0时，0＜2x≤1；
∴0≤1﹣2x＜1；
∴x＞0时，f（x）=x3﹣3x+a的值域B满足[1，+∞） B [0，+∞），
f′（x）=3（x2﹣1）；
∴0＜x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；
∴x=1时，f（x）取最小值a﹣2；
∴0≤a﹣2≤1；
∴2≤a≤3；
∴实数a的取值范围是[2，3]．
故选A．
【分析】先可求得x≤0时，0≤f（x）＜1，从而根据f（x）的值域[0，+∞）即可得到x＞0时，f（x）的值域B满足[1，+∞） B [0，+∞），并求出x＞0时，f′（x）=3（x2﹣1），根据导数符号便可求出x=1时，f（x）取到最小值a﹣2，这样即可得出关于a的不等式，进而得出实数a的取值范围．
7．【答案】A,D
【解析】【解答】对于A，两个函数的定义域都是R， ，对应关系一致，A符合题意；
对于B， 的定义域为 ， 的定义域为 ，定义域不一致，B不符合题意；
对于C， 的定义域都是R， 的定义域为 ，定义域不同，C不符合题意；
对应D，两个函数的定义域都是R，且 ，对应关系一致，D符合题意.
故答案为：AD.
【分析】分别判断定义域和对应关系是否一致即可.
8．【答案】A,C,D
【解析】【解答】对于A，若 ，则 ，满足 ；若 ，则 ，满足 ；故函数 为偶函数，A符合题意；
对于B，取 ，则 ， ，B不符合题意；
对于C，若 ，则 ，满足 ；若 ，则 ，满足 ，C符合题意；
对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点 在 上，斜边在 轴上，此时点 ，点 的横坐标为无理数，则 中点的横坐标仍然为无理数，那么点 的横坐标也为无理数，这与点 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点 在 上，斜边不在 轴上，此时点 的横坐标为无理数，则点 的横坐标也应为无理数，这与点 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点 在 轴上，斜边在 上，此时点 ，点 的横坐标为有理数，则 中点的横坐标仍然为有理数，那么点 的横坐标也应为有理数，这与点 的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点 在 轴上，斜边不在 上，此时点 的横坐标为无理数，则点 的横坐标也应为无理数，这与点 的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点 ， ， ，使得 为等腰直角三角形，D符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】根据函数的定义以及解析式，逐项进行分析可得答案。
9．【答案】
【解析】【解答】 的定义域需满足 ，
所以函数的定义域 .
故答案为：
【分析】写出使函数有意义的表达式，求定义域.
10．【答案】
【解析】【解答】 应满足： ，解得： ，
即函数 的定义域为 ,
故答案为：
【分析】利用函数定义域的求法，分母大于等于零以及真数大于零即可得到关于x的方程组，解出x的取值范围即为f(x) 的定义域。
11．【答案】
【解析】【解答】当 ，则 ，故
又 ，所以 。
【分析】利用x的取值范围，即 ， 求出x+1的取值范围，从而利用已知条件当 时． ， 结合代入法求出，再利用已知条件，从而求出当 时， 函数对应的解析式。
12．【答案】解：(I)∵ ，即 ，
∴
解得 。
故 。
(II)∵ ，
∴ ，即 。
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴函数 的值域为 。
【解析】【分析】 (I) 解指数不等式即可求出该不等式的解集；
(II) 采用换元法，解对数不等式，即可求出相应的值域.
13．【答案】【解答】（1）由题设知：|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，
如图，在同一坐标系中作出函数y=|x+1|+|x﹣2|
和y=5的图象（如图所示），知定义域为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）；
（2）由题设知，当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0，
即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，由（1）|x+1|+|x﹣2|≥3，
∴﹣a≤3，即a≥﹣3．
【解析】【分析】（1）由|x+1|+|x﹣2|﹣5≥0，然后构造函数y=|x+1|+|x﹣2|，在同一坐标系内画出函数y=|x+1|+|x﹣2|与y=5的图象得答案；
（2）函数f（x）的定义域为R，说明当x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|+a≥0，即|x+1|+|x﹣2|≥﹣a，然后结合绝对值的几何意义求得a的取值范围．
14．【答案】（1）解：由x2+2x﹣8＞0，解得：x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），
故则函数f（x）＝log3（x2+2x﹣8）的定义域A＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），
若m＝﹣4，g（x）＝x2﹣3x﹣4，由x2﹣3x﹣4≤0，解得：x∈[﹣1，4]，则B＝[﹣1，4]
所以A∩B＝（2，4]；
（2）解：存在 使得不等式x2+（m+1）x+m≤﹣1成立，
即存在 使得不等式﹣m 成立，所以﹣m≥（ ）min
因为 x+1 1≥1，
当且仅当x+1＝1，即x＝0时取得等号
所以﹣m≥1，
解得：m≤﹣1．
【解析】【分析】（1）求出集合A，B，由交集运算的定义，可得A∩B；（2）若存在 使得不等式g（x）≤﹣1成立，即存在 使得不等式﹣m 成立，得﹣m≥（ ）min，解得实数m的取值范围．
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