2023-2024学年苏科版九年级数学上册 2.6 正多边形与圆同步练习（含解析）

苏科版九年级数学上册
2.6 正多边形与圆
一、选择题
1.一个正多边形的每一个外角都等于，则这个多边形的边数是( )
A. B. C. D.
2.如图，是正五边形的外接圆，点是的一点，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在由边长相同的个正六边形组成的网格中，点，在格点上．再选择一个格点，使是以为腰的等腰三角形，则符合点条件的格点个数为( )
A. B. C. D.
4.如图，正五边形内接于，为上的一点点不与点重合，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手的开口的值应是( )
A. B. C. D.
6.如图是由个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，的顶点都在格点上．设定边如图所示，则是直角三角形的个数有( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
7.若一个正六边形的周长为，则该正六边形的边心距为( )
A. B. C. D.
8.如图，等边三角形和正方形都内接于，则：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
9.已知正方形和正六边形的边长均为，把正方形放在正六边形中，使边与边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转在这样连续次旋转的过程中，点，间的距离可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题
10.已知一个正多边形的内角和为，则它的一个外角的度数为______度．
11.圆内接正六边形的边长为，它的边心距等于 ．
12.如图，点、分别是正五边形的两边、上的点．且，点是正五边形的中心，则的度数是______度．
13.如图，与正五边形的边、分别相切于点、，则劣弧所对的圆心角的大小为______度．
14.刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在九章算术中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，设的半径为，则______．
15.如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，则的度数是
16.两个完全相同的正五边形都有一边在直线上，且有一个公共顶点，其摆放方式如图所示，则等于______度．
17.如图，与正五边形的两边、分别相切于、两点，则的度数为___________．
三、解答题
18.如图，在网格纸中，、都是格点，以为圆心，为半径作圆．用无刻度的直尺完成以下画图：不写画法
在图中画的一个内接正六边形；
在图中画的一个内接正八边形．
19.如图，已知等边，请用直尺不带刻度和圆规按下列要求作图不要求写作法，但要保留作图痕迹
作的外心
设是边上一点，在图中作出一个正六边形，使点、点分别在边和上．
20.如图所示，正六边形内接于，已知的周长等于，连接，．
求的度数．
求正六边形的周长和面积．
21.如图，正方形内接于，连接，点是的中点，过点作的切线与的延长线相交于点．
试判断与的位置关系，并说明理由．
求的度数．
22.如图，内切于正三角形，正方形内接于，正三角形的边长为，求正方形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：条
故选：．
任何一个多边形的外角都等于，用除以每一个外角的度数就是这个多边形的边数．
本题考查了多边形的外角和，关键是根据任何一个多边形的外角都等于解答．
2.【答案】
【解析】解：如图，连接，．
是正五边形，
，
，
故选：．
连接，，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3.【答案】
【解析】解：的长等于六边形的边长最长对角线的长，
据此可以确定共有个点，位置如图，
故选：．
确定的长度后确定点的位置即可．
考查了正多边形和圆及等腰三角形的判定，解题的关键是确定的长，难度不大．
4.【答案】
【解析】解：如图，连接，．
是正五边形，
，
，
故选：．
连接，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题；
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】【分析】
此题比较简单，解答此题的关键是作出辅助线，根据等腰三角形及正六边形的性质求解．连接，作于；根据正六边形的特点求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，由特殊角的三角函数值求出的长，进而可求出的长．
【解答】
解：如图，
连接，过作于；
，
是等腰三角形，
；
此多边形为正六边形，
，
，
，，
．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：如图，是直角边时，点共有个位置，即有个直角三角形，
是斜边时，点共有个位置，即有个直角三角形，
综上所述，是直角三角形的个数有个．
故选：．
根据正六边形的性质，分是直角边和斜边两种情况确定出点的位置即可得解．
本题考查了正多边形和圆，难点在于分是直角边和斜边两种情况讨论，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
7.【答案】
【解析】解：连接，作，得到，
圆内接正六边形的周长为，
，则，，
因而．
正六边形的边心距是．
故选：．
首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接、、，过作于，由垂径定理得出，证出是等腰直角三角形，，，得出，，则，进而得出答案．
【解答】
解：连接、、，过作于，如图所示：
则，
正方形和等边三角形都内接于，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的弧线，分别对次旋转过程进行分析，可知，由此即可判断．
【解答】
解：如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的弧线，
观察图象可知：在第一次旋转过程中，
在第二次旋转过程中，点的位置不变，
在第三次旋转过程中，的长由逐渐变小为；
在第四次旋转过程中，点在以点为圆心，为半径的圆弧上，的长由逐渐变小为，然后逐渐变大为；
在第五次旋转过程中，的长由逐渐变大为；
在第六次旋转过程中，点的位置不变，．
显然连续六次旋转的过程中，．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是掌握多边形内角和定理：，外角和等于．
首先设此多边形为边形，根据题意得：，即可求得，再由多边形的外角和等于，即可求得答案．
【解答】
解：设此多边形为边形，
根据题意得：，
解得：，
这个正多边形的每一个外角等于：．
故答案为．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是正多边形与圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键．
根据题意画出图形，利用等边三角形的性质及勾股定理直接计算即可．
【解答】
解：如图所示，连接、，过作于，
此多边形是正六边形，
是等边三角形，
，
，，
根据勾股定理可得：边心距，
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：连接、、，
，
，，，
，
在和中，
≌，
，
，
故答案为：．
连接、、，根据正多边形的中心角的计算公式求出，证明≌，根据全等三角形的性质得到，得到答案．
本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形与圆的关系、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
根据正多边形内角和公式可求出、，根据切线的性质可求出、，从而可求出．
【解答】
解：五边形是正五边形，
．
、与相切，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：的半径为，
的面积，
圆的内接正十二边形的中心角为，
圆的内接正十二边形的面积，
则，
故答案为：．
根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
连接，根据圆周角定理得到，根据五边形的内角和得到，求得，，由圆周角定理得到，求得，进而得到，于是得到结论．
【解答】
解：连接，
是的直径，
，
五边形是的内接正五边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：如图，
由正五边形的内角和，得，
，
．
，
故答案为：．
根据多边形的内角和，可得，，，，根据等腰三角形的内角和，可得，根据角的和差，可得答案．
本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是解题关键．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是多边形的内角和定理，切线的性质，正多边形和圆等有关知识．
先根据五边形的内角和求出，再由切线的性质得到，最后利用五边形的内角和相减即可求解．
【解答】
解：正五边形的内角为：，
，
，分别与相切于点，两点，
，
．
故答案为．
18.【答案】解：如图所示，
如图，正六边形即为所求；
如图，正八边形即为所求．
【解析】【分析】
此题考查的是格点作图，掌握圆的内接正六边形和内接正八边形的性质和中心角的求法是解决此题的关键．
设的延长线与圆交于点，根据正六边形的性质，点即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它顶点；
先求出圆内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．
【解答】
解：设的延长线与圆交于点，
根据圆的内接正六边形的性质，点即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点和；同理：在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点和，连接、、、、、，如图，正六边形即为所求．
圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为
在如图所示的正方形中，连接对角线并延长，交圆于点，此时；，
的延长线与圆的交点即为点．
同理，即可确定点、、、、的位置，顺次连接，
如图，正八边形即为所求．
19.【答案】解：如图，点为的外心．
如图，正六边形即为所求．

【解析】【分析】本题考查尺规作图复杂作图，等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心，正多边形的计算．
根据垂直平分线的作法作出，的垂直平分线交于点即为所求；
过点作交于，分别以，为圆心，长为半径作圆弧交于，交于，过点作交于，过点作交于，六边形即为所求正六边形．
20.【答案】【小题】
如图，连接．正六边形内接于，，．
【小题】
如图，过点作于点，则．的周长等于，的半径为．，，是等边三角形，，，
，
正六边形的周长为．

【解析】 见答案
见答案
21.【答案】解：，
理由：连接，
四边形是正方形，
，
，
与相切于点，
，
，
；
四边形是正方形，
，，
．
点是的中点，
，
，
，
．
【解析】如图，连接，根据正方形的性质得到，根据切线的性质得到，，根据平行线的性质即可得到结论；
根据正方形的性质得到，，求得根据平行线的自己看得到结论．
本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：连接，，，，过点作 于点，
则．
是的内切圆，
．
，．
令，
．
．
即．
．
．
．

【解析】见答案