浙江省嘉兴市海盐第二高级中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段测试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 浙江省嘉兴市海盐第二高级中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段测试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 623.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-25 23:12:27 | ||
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文档简介
海盐第二高级中学2023-2024学年高一上学期第一次阶段测试
数学
一 单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设全集，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.“”是“”（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.若且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，其中表示不超过的最大整数，则（ ）
A.2 B.3 C. D.6
8.已知不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C.或 D.
二 多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各组中表示同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.下列关系中，正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11.若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（ ）
A.2 B.-2 C.1 D.0
12.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则的最小值为
C.若，则
D.若实数满足，则的最小值为2
三 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知集合，若，则实数的值为__________.
14.函数的定义域是__________.
15.已知，则__________.
16.已知不等式的解集为，则的取值范围是__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10.0分）
已知集合，全集.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（本小题12.0分）
求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
19.（本小题12.0分）
求下列函数的最值.
（1）求函数的最小值.
（2）已知，求函数的最大值.
20.（本小题12.0分）
已知函数.
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）求函数的最大值和最小值.
21.（本小题12.0分）
已如函数.
（1）若不等式解集为时，求实数的值；
（2）当时，解关于的不等式.
22.（本小题12.0分）
“硬科技”是以人工智能 航空航天 生物技术 光电芯片 信息技术 新材料 新能源 智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿 最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台.
（1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查集合的表示方法 集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.
根据补集的定义求得，再根据两个集合的交集的定义，求得.
【解答】
解：全集，集合，
或，
.
故选.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定，属于基础题.
根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可求出结果.
【解答】
解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“”的否定是：
.
故选.
3.【答案】A
【解析】【分析】
解方程，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断.
【解答】
解：由得或，
则是的充分不必要条件，
故选：A.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，属于基础题.
利用不等式的性质即可得出.
【解答】
解：，
.
又
.
故选：D.
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查的是函数的定义和函数的图象问题.在解答时可以就选项逐一排查.
对不符合定义域当中的每一个元素都有象；对满足函数定义；对出现了一对多的情况；对值域当中有的元素没有原象.
【解答】
解：对不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对满足函数定义，故符合；
对出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，即可排除；对因为值域当中有的元素没有原象，即可排除.
故选：B.
6.【答案】B
【解析】解：且，
，化为：，当且仅当时取等号.
则的最大值为.
故选：B.
利用基本不等式的性质即可得出.
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了求函数值.
根据表示不超过的最大整数得到，即可得到答案.
【解答】
解：因为表示不超过的最大整数，所以，
所以.
故选.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式与相应二次函数的关系，属于基础题.
将已知转化为不等式在上有解，根据对应二次函数的图象，得到，解得的取值范围即可.
【解答】
解：不等式在上有解，
即不等式在上有解，
需满足，解得，
所以实数的取值范围为，
故选.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查判断两个函数是否表示同一函数的问题，属于基础题.
只需要判断两个函数的定义域和解析式是否一致即可.
【解答】
解：A.的定义域相同，解析式同，表示同一函数；
B.，两个函数的定义域相同，解析式相同，表示同一函数；
C.，两个函数的定义域不同，不表示同一函数；
D.的定义域相同，解析式相同，表示同一函数.
故选.
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系关系，考查空集的概念，属于基础题.
逐项判断即可求解.
【解答】
解：对于，根据空集是任何非空集合的真子集可知，选项正确；
对于为有理数集，
，故选项正确；
对于为有理数集，是整数集，
，故选项错误；
对于表示由元素0构成的集合，
或 ，故选项错误.
故选.
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查一次函数的单调性及其应用，考查一次函数最值问题，属基础题.
根据一次函数单调性可解得最大值和最小值.
【解答】
解：依题意，当时，在处取得最大值，在处取得最小值，所以，
即；
当时，在处取得最大值，在处取得最小值，所以，即.
故选.
12.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查由基本不等式求最值问题，属于中档题.
利用特殊值法判断，根据基本不等式判断即可.
【解答】
解：.若，则，故错误；
B.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故B错误；
C.，当且仅当时，取等号，故正确；
.令，则.
，当且仅当时，取等号，故正确.
故选：.
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查集合相等的定义，集合中元素的性质，属于基础题目.
根据题意求出并代入验证.
【解答】
解：由题意，集合，满足，
所以，解得，或，
时，，符合题意；
时，，不满足集合元素互异性，故舍去.
综上.
故答案为3.
14.【答案】且
【解析】【分析】
本题考查求具体函数的定义域，属基础题.
根据使函数有意义的的范围即为定义域逐项求解即可.
【解答】
解：由题意得，
解得且，
故函数的定义域为且.
15.【答案】7
【解析】【分析】
本题考查函数求值问题，属于基础题.
令，从而求解.
【解答】
解：令，
则.
故答案为7.
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，解题时常用判别式来解答.
根据不等式的解集为，列出不等式求出解集即可.
【解答】
解：不等式的解集为，
，
即，
解得；
的取值范围是.
故答案为：.
17.【答案】解：（1）当时，，全集，
或，
，
（2），
，
当时，则，解得，
当，则，解得，
综上，的取值范围是或.
【解析】本题考查了集合的运算性质 不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
（1）根据集合的混合运算法则计算即可；
（2）由，得到，分两种情况讨论即可.
18.【答案】解：（1）可化为，
对应方程的两个根为，
原不等式的解集为；
（2）原不等式等价为
解得，
原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为，
即，
解得，
所以原不等式的解集为.
【解析】本题主要考查了一元二次不等式的求解，属于基础题.
（1）求出不等式对应的方程的解，可得不等式的解集；
（2）不等式等价于，求解即可；
（3）将不等式化为，求解即可.
19.【答案】解：（1），
，
故函数的最小值为3，当且仅当，即时取得；
（2），
，
当且仅当，即时，等号成立，有最大值.
【解析】本题考查基本不等式，凑出基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题.
（1）分析出是解题关键；
（2）分析出是解题关键，注意一正，二定，三相等即可.
20.【答案】解：（1）根据题意，函数在区间上为减函数，
证明：，
设任意且，则，
又由，则，
则，
则函数在上为减函数，
（2）由（1）的结论，函数在上为减函数，
则在上最大值为，最小值为.
【解析】（1）根据题意，设，由作差法分析可得结论，
（2）根据题意，由（1）的结论，函数在上为减函数，据此分析可得结论.
本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题.
21.【答案】解：，
（1）的解集为
或，
或.
（2）当，即时，恒成立，
当，即时，或；
当，即时，或，
综上：时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或.
【解析】本题主要考查二次函数与二次不等式的关系的应用及含参数的不等式的解法，分类讨论思想的应用，属于中档题.
（1）根据不等式解集的端点与函数的零点的关系可得关于的方程组，求解可得；
（2）对参数分类讨论解关于的不等式可得.
22.【答案】解：（1）当时，；
当时，，
所以
（2）当时，，
所以当时，，
当时，，
当且仅当时取等号，即时取等号，
因为，所以，
故当年产量为30百台时，企业所获利润最大，最大利润为800万元.
【解析】本题主要考查了分段函数的实际应用，属于中档题.
（1）由已知分别求出时的解析式；
（2）利用二次函数的性质与基本不等式即可求解.
数学
一 单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设全集，集合，则集合（ ）
A. B. C. D.
2.命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
3.“”是“”（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.若且，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，其中表示不超过的最大整数，则（ ）
A.2 B.3 C. D.6
8.已知不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C.或 D.
二 多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各组中表示同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.下列关系中，正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11.若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数的值可以是（ ）
A.2 B.-2 C.1 D.0
12.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式.下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则的最小值为
C.若，则
D.若实数满足，则的最小值为2
三 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知集合，若，则实数的值为__________.
14.函数的定义域是__________.
15.已知，则__________.
16.已知不等式的解集为，则的取值范围是__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10.0分）
已知集合，全集.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18.（本小题12.0分）
求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
19.（本小题12.0分）
求下列函数的最值.
（1）求函数的最小值.
（2）已知，求函数的最大值.
20.（本小题12.0分）
已知函数.
（1）判断函数的单调性并证明；
（2）求函数的最大值和最小值.
21.（本小题12.0分）
已如函数.
（1）若不等式解集为时，求实数的值；
（2）当时，解关于的不等式.
22.（本小题12.0分）
“硬科技”是以人工智能 航空航天 生物技术 光电芯片 信息技术 新材料 新能源 智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，持续积累才能形成的原创技术，具有极高技术门槛和技术壁垒，难以被复制和模仿 最近十年，我国的一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本1000万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且每百台高级设备售价为160万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产展最大为10000台.
（1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查集合的表示方法 集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题.
根据补集的定义求得，再根据两个集合的交集的定义，求得.
【解答】
解：全集，集合，
或，
.
故选.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查存在量词命题的否定，属于基础题.
根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可求出结果.
【解答】
解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“”的否定是：
.
故选.
3.【答案】A
【解析】【分析】
解方程，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断.
【解答】
解：由得或，
则是的充分不必要条件，
故选：A.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了不等式的性质，属于基础题.
利用不等式的性质即可得出.
【解答】
解：，
.
又
.
故选：D.
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查的是函数的定义和函数的图象问题.在解答时可以就选项逐一排查.
对不符合定义域当中的每一个元素都有象；对满足函数定义；对出现了一对多的情况；对值域当中有的元素没有原象.
【解答】
解：对不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对满足函数定义，故符合；
对出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，即可排除；对因为值域当中有的元素没有原象，即可排除.
故选：B.
6.【答案】B
【解析】解：且，
，化为：，当且仅当时取等号.
则的最大值为.
故选：B.
利用基本不等式的性质即可得出.
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了求函数值.
根据表示不超过的最大整数得到，即可得到答案.
【解答】
解：因为表示不超过的最大整数，所以，
所以.
故选.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式与相应二次函数的关系，属于基础题.
将已知转化为不等式在上有解，根据对应二次函数的图象，得到，解得的取值范围即可.
【解答】
解：不等式在上有解，
即不等式在上有解，
需满足，解得，
所以实数的取值范围为，
故选.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查判断两个函数是否表示同一函数的问题，属于基础题.
只需要判断两个函数的定义域和解析式是否一致即可.
【解答】
解：A.的定义域相同，解析式同，表示同一函数；
B.，两个函数的定义域相同，解析式相同，表示同一函数；
C.，两个函数的定义域不同，不表示同一函数；
D.的定义域相同，解析式相同，表示同一函数.
故选.
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查元素与集合的关系，集合与集合的关系关系，考查空集的概念，属于基础题.
逐项判断即可求解.
【解答】
解：对于，根据空集是任何非空集合的真子集可知，选项正确；
对于为有理数集，
，故选项正确；
对于为有理数集，是整数集，
，故选项错误；
对于表示由元素0构成的集合，
或 ，故选项错误.
故选.
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查一次函数的单调性及其应用，考查一次函数最值问题，属基础题.
根据一次函数单调性可解得最大值和最小值.
【解答】
解：依题意，当时，在处取得最大值，在处取得最小值，所以，
即；
当时，在处取得最大值，在处取得最小值，所以，即.
故选.
12.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查由基本不等式求最值问题，属于中档题.
利用特殊值法判断，根据基本不等式判断即可.
【解答】
解：.若，则，故错误；
B.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故B错误；
C.，当且仅当时，取等号，故正确；
.令，则.
，当且仅当时，取等号，故正确.
故选：.
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查集合相等的定义，集合中元素的性质，属于基础题目.
根据题意求出并代入验证.
【解答】
解：由题意，集合，满足，
所以，解得，或，
时，，符合题意；
时，，不满足集合元素互异性，故舍去.
综上.
故答案为3.
14.【答案】且
【解析】【分析】
本题考查求具体函数的定义域，属基础题.
根据使函数有意义的的范围即为定义域逐项求解即可.
【解答】
解：由题意得，
解得且，
故函数的定义域为且.
15.【答案】7
【解析】【分析】
本题考查函数求值问题，属于基础题.
令，从而求解.
【解答】
解：令，
则.
故答案为7.
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，解题时常用判别式来解答.
根据不等式的解集为，列出不等式求出解集即可.
【解答】
解：不等式的解集为，
，
即，
解得；
的取值范围是.
故答案为：.
17.【答案】解：（1）当时，，全集，
或，
，
（2），
，
当时，则，解得，
当，则，解得，
综上，的取值范围是或.
【解析】本题考查了集合的运算性质 不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
（1）根据集合的混合运算法则计算即可；
（2）由，得到，分两种情况讨论即可.
18.【答案】解：（1）可化为，
对应方程的两个根为，
原不等式的解集为；
（2）原不等式等价为
解得，
原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为，
即，
解得，
所以原不等式的解集为.
【解析】本题主要考查了一元二次不等式的求解，属于基础题.
（1）求出不等式对应的方程的解，可得不等式的解集；
（2）不等式等价于，求解即可；
（3）将不等式化为，求解即可.
19.【答案】解：（1），
，
故函数的最小值为3，当且仅当，即时取得；
（2），
，
当且仅当，即时，等号成立，有最大值.
【解析】本题考查基本不等式，凑出基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题.
（1）分析出是解题关键；
（2）分析出是解题关键，注意一正，二定，三相等即可.
20.【答案】解：（1）根据题意，函数在区间上为减函数，
证明：，
设任意且，则，
又由，则，
则，
则函数在上为减函数，
（2）由（1）的结论，函数在上为减函数，
则在上最大值为，最小值为.
【解析】（1）根据题意，设，由作差法分析可得结论，
（2）根据题意，由（1）的结论，函数在上为减函数，据此分析可得结论.
本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的最值，属于基础题.
21.【答案】解：，
（1）的解集为
或，
或.
（2）当，即时，恒成立，
当，即时，或；
当，即时，或，
综上：时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或.
【解析】本题主要考查二次函数与二次不等式的关系的应用及含参数的不等式的解法，分类讨论思想的应用，属于中档题.
（1）根据不等式解集的端点与函数的零点的关系可得关于的方程组，求解可得；
（2）对参数分类讨论解关于的不等式可得.
22.【答案】解：（1）当时，；
当时，，
所以
（2）当时，，
所以当时，，
当时，，
当且仅当时取等号，即时取等号，
因为，所以，
故当年产量为30百台时，企业所获利润最大，最大利润为800万元.
【解析】本题主要考查了分段函数的实际应用，属于中档题.
（1）由已知分别求出时的解析式；
（2）利用二次函数的性质与基本不等式即可求解.
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