山东省青岛市青岛超银高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题（含解析）

青岛超银高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考
数学科目试题
考试时长：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，请将对应题目的答案写在答题纸相应位置上．
第Ⅰ卷（共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
4．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．集合，．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．设实数满足，则函数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
8．设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．集合有16个真子集
B．对于任意集合，
C．任何集合都有子集，但不一定有真子集
D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．的一个必要不充分条件是
B．若集合中只有一个元素，则
C．已知：，，则的否定对应的的集合为
D．已知集合，则满足条件的集合的个数为3
11．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．的最小值为6
D．不等式的解集为
12．下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，的最小值是2
C．当时，的最小值是4
D．设，，且，则的最小值是9
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．命题“，”的否定为______．
14．已知且，则由的值构成的集合是______．
15．已知集合，，则______．
16．已知实数，满足，则的范围为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．设，，，
（1）分别求，；
（2）若，求实数的取值范围．
18．已知集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）命题：，命题：，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19．（1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若不等式在实数集上恒成立，求的范围．
20．（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式（）．
21．已知全集为，，．
（1）若，求实数，的值；
（2）若（），求使得为整数的实数的整数值．
22．已知关于的不等式的解集为．
（1）求，的值；
（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．
参考答案
1．C
【分析】求出集合的补集，根据集合的交集运算求得答案．
【详解】由题意得，，，
故选：C．
2．B
【详解】，或，所以答案选择B．
【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题．
3．C
【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项．
【详解】A选项，，如，而，所以A选项错误．
B选项，，如，而，所以B选项错误．
C选项，，，，则，所以，所以C选项正确．
D选项，，如，而，所以D选项错误．
故选：C
4．B
【分析】不等式可转化为，根据二次不等式的解法结合图像即可求解
【详解】由得，即，
也即，解得或，
所以原不等式的解集为，
故选：B
5．A
【分析】按，，讨论求解集合，按列出满足的条件求解即可．
【详解】∵，
∴①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，
当时，可得，要使，则需要，解得．
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．
故选：A．
6．D
【分析】将函数解析式拼凑变形后使用基本不等式求最大值．
【详解】因为，所以，
所以
当且仅当时，等号成立，
故选：D．
7．C
【分析】由基本不等式得出关于的不等式，解之可得．
【详解】因为，，
所以，当且仅当时取等号．
，解得或（舍去），
所以，即的最小值4．此时，．
故选：C．
8．A
【分析】由题意变量分离转为在上恒成立，只需，
求出最大值即可得到实数的取值范围．
【详解】由题意，可得，即，
当时，，所以在上恒成立，
只需，当时有最小值为1，则有最大值为3，
则，实数的取值范围是，
故选：A
【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题．
9．BCD
【分析】根据集合的真子集个数公式判断A：利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B、C、D．
【详解】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误；
空集是任何集合的子集，则，故B正确；
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确；
空集是任何非空集合的真子集，若，则，故D正确．
故选：BCD．
10．AC
【分析】根据必要条件、充分条件的定义，集合的基本关系，以及全称命题的否定逐一判断即可．
【详解】解：对于A，因为由，得成立，即成立，反之不成立，
故“”是“”的一个必要不充分条件，故A正确；
对于B，若集合中只有一个元素，当时，，符合题意，
又，解得，也符合题意，故B不正确；
对于C，已知：，，即，，
故对应的的集合为，故C正确：
对于D，由，，故集合的个数为，故D不正确．
故选：AC
11．BC
【分析】由不等式与方程的关系得出，从而得到：，，且，
再依次对四个选项判断即可得出答案．
【详解】∵不等式的解集为，
∴，解得：，，且，故选项A错误；
，故选项B正确；
，
当且仅当时等号成立，故选项C正确；
可化为：，即，
则解集为，故选项D错误；
综上所述选项B、C正确，
故选：BC．
12．AD
【解析】利用基本不等式判断各选项．
【详解】解：对于选项A，当时，，，当且仅当时取等号，结论成立，故A正确；
对于选项B，当时，，当且仅当时取等号，但，等号取不到，因此的最小值不是2，故B错误；
对于选项C，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，故C错误；
对于选项D，因为，，则，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选：AD．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值：
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
13．，
【分析】对全称量词的否定用特称量词，直接写出
【详解】由全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，可得：命题“，”的否定为“，”．
故答案为：，．
14．
【分析】由集合的互异性列出不等式解得答案即可．
【详解】∵，；
∴或，解得．
故答案为：．
15．
【详解】由题意可知，集合表示直线上的点组成的集合，
集合表示直线上的点组成的集合，
联立直线方程可得交点坐标为，
据此可得：．
16．
【分析】用、表示出，然后可算出答案．
【详解】设，则，解得，
∴
∵，∴，
∵，∴
∴．
故答案为：
17．（1）；
（2）
【分析】（1）解不等式，直接计算集合的交集并集与补集；
（2）根据集合间的计算结果判断集合间关系，进而确定参数取值范围．
【详解】（1）解：解不等式可得，
，
所以，或；
（2）解：由可得，且，
所以，解得，即．
18．（1）；（2）
【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围；
（2）由是成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围．
【详解】（1）由，得
（1）若，即时，，符合题意；
（2）若，即时，需或，解得．
综上，实数的取值范围为．
（2）由已知是的真子集，知两个端不同时取等号，解得．
由实数的取值范围为．
19．（1）；（2）．
【分析】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出，的值，然后就可以解不等式了；
（2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式．
【详解】（1）因为的解集为，
所以与是方程的两个实数根，
由根与系数的关系得解得
不等式，
即，整理得，解得．
即不等式的解集为．
（2）由题意可得，，即，整理得，
解得．
20．（1）；（2）答案见解析．
【分析】（1）讨论和两种情况，按开口方向和判别式列不等式组，解出实数的取值范围；
（2）按，和三种情况分类讨论，当，比较和1的大小，分情况写出不等式的解集．
【详解】（1）由题意，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；
当时，满足，
即，解得；
故实数的取值范围是．
（2）不等式（）等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为．
综上：时，等式的解集为．
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为
21．（1），；（2）
【分析】（1）由题意，，，代入求解即可；
（2）利用韦达定理可求解，，然后结合二次方程根的存在条件求出实数的范围，分析即得解
【详解】（1）由题意，，且，
故，
所以，
解得，
（2）由题意，，解得
此时，
故为整数
所以，又
故
22．（1），；（2）．
【分析】（1）根据不等式的解集可确定1和是方程的两个实数根且，
结合韦达定理即可求得答案；
（2）利用基本不等式可求得的最小值，根据恒成立可得，
即可求得答案．
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以1和是方程的两个实数根且，
所以，解得，即，．
（2）由（1）知，于是有，
故，
当且仅当，结合，即时，等号成立，
依题意有，即，
得，即，
所以的取值范围为．