山东省青岛市市南区重点中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题（含解析）

青岛市市南区重点中学2023-2024学年高一上学期10月月考
数学试题
2023.10
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则集合A用列举法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．已知“”是“”的充分不必要条件，则实数a，b满足（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题p：存在集合A使得，则命题p是（ ）
A．全称量词命题，且是真命题 B．全称量词命题，且是假命题
C．存在量词命题，且是真命题 D．存在量词命题，且是假命题
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．A，B的大小关系与x的取值有关
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知集合则（ ）
A． B． C． D．
7．若且，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
8．已知，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．1812 D．36
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．当两个集合中一个集合包含另一个集合时，称这两个集合构成全蚀；当两个集合有公共元素，但互不包含时，称这两个集合构成偏蚀；若构成全蚀或偏蚀，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
10．已知“”是真命题，“”是假命题，则集合M可以是（ ）
A． B． C． D．
11．在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少许的糖m克（m>0），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式若，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．当时．
12．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A． B．点在第二象限内
C．的最大值为-2 D．不等式的解集为
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知命题，则命题的否定：______．
14．已知x>1，则的最小值为______．
15．已知m，，定义运算，则的解集为______．
16．已知集合，若，则符合题意的一个集合C为______（写出符合题意的一个集合即可，不必写出所有集合）；集合，，若，且，则______．【第一空2分，第二空3分】
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
问题：已知，，求的取值范围．
下面是某同学的解答过程．
解：由可得，；（步骤1）
在两端乘以得；（步骤2）
所求的取值范围是．（步骤3）
请分析其解答过程中的错误所在的步骤并求出正确的结果．
18．（本小题满分12分）
已知．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）在①；②；③；这三个条件中任选一个，求满足条件的实数a构成的集合P．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分．
19．（本小题满分12分）
已知，且．
（Ⅰ）求ab的取值范围；
（Ⅱ）求的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知实数x，y满足．
（Ⅰ）若，求实数m，n的值；
（Ⅱ）求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ）一家商店使用一架两臂不等长的天平（左臂长acm大于右臂长bcm）称黄金．一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘，取出一些黄金（m克）放在天平右盘使天平平衡；再将5克的砝码放在天平右盘，取出一些黄金（n克）放在天平左盘使天平平衡；最后将两次称量的黄金交给顾客，请比较m+n与10的大小；
（Ⅱ）某驾驶员给爱车加油有两种不同的办法：第一种是不考虑价格变化，每次都加满油箱（大约40升）；第二种是不考虑价格变化，每次都加300元（油箱能装下）；当前油价在不断的变化中，请从数学角度比较哪种方法更经济实惠．
22．（本小题满分12分）
已知，一次函数的图象是线段AB，二次函数的图象是开口向下的抛物线．
（Ⅰ）①若抛物线与线段AB相切，求实数m的值；
②若抛物线与线段AB只有一个交点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）求证：抛物线与线段AB恰有两个不同交点的充要条件是
青岛市市南区重点中学2023-2024学年高一上学期10月月考
数学
参考答案及评分标准
一、1．D解析：，4，2，1，，2，4，5，故选（D）．
2．A解析：由可推出，选（A）．
3．C．解析：存在集合A使得，是存在量词命题，且是真命题，选（C）．
4．C．解析：，故选（C）．
5．A．解析：且．故选（A）．
6．B．解析：
，故选（B）．
7．C解析：且，则，选（C）．
8．B．解析：，则，
故选（B）．【，则】
二、9．ABD．解析：因为若，则，A，B构成全蚀；若a=1，则，A，B构成全蚀；若a=4，则，A，B构成偏蚀；故选（A）（B）（D）．
10．AB．解析：“”是真命题，“”是假命题，则集合M中必有负数，且元素都小于3，集合M可以是、，故选（A）（B）．
11．ABC．解析：，则若，若，
则；若，则选（A）（B）（C）．
12．AC．解析：的解，则，
因此且，点在第三象限内，，
不等式等价于，其解集为，故选（A）（C）．
三、13．或．解析：易错点：漏掉．
14．8．解析：，则．
15．．解析：，即解得．
16．中的一个，-1．解析：，若，
则C是中的一个；，
且，则，解得且．
四、17．解：错误在步骤2，其中中不是正数不等式，不能应用乘法．
正解：当时，，乘得；
当时，与相乘可得；
综上得的取值范围是．
18．解：（Ⅰ），
则；
（Ⅱ）选①，则；
若，此时，解得；
若，此时，只需，解得；
综上满足条件的实数a构成的集合．
选②，则；
若，此时，解得；
若，此时，只需，解得；
综上满足条件的实数a构成的集合．
选③，则若，此时，解得；
若，此时，只需或，
显然即无解；解得；
综上满足条件的实数a构成的集合．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分．
19．解法一：（Ⅰ）由可得，
（当且仅当时取得最小值），所求ab的取值范围是；
（Ⅱ）由可得，
（当且仅当时取得最小值），所求的取值范围是．
解法二：（Ⅰ）由得，
令，则，解得（舍去），所求ab的取值范围是；
（Ⅱ）由，且可得，
令，则，解得﹙舍去﹚，的取值范围是．
20．解：（Ⅰ），
所以，解得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，，，，
所以，即的取值范围是．
21．解：（Ⅰ）两次分别取出黄金m克、n克，则，，
因为，，所以；
（Ⅱ）设第一次加油的价格是m（元/升），第一次加油的价格是n（元/升），第一种加油方式的平均价格是；
第二种加油方式的平均价格是；
因为，（当且仅当时取等号），
所以，如果两次加油价格有变化，则第二种加油方式的平均价格更低，如果两次加油价格没有变化，两种加油方式平均价格相同，总之，第二种加油方法更经济实惠．
22．解：（Ⅰ）①抛物线与线段AB相切，则与联立可得，由得或；
相切时抛物线的对称轴只能在内，故；
②若抛物线与线段AB只有一个交点，由①知，若；
若，则或；
，，，，
但时，方程有两个实数根或，所以只能是，所求实数m的取值范围是；
（Ⅱ）抛物线与线段AB恰有两个不同交点，则方程在内有两个不等实数根，只需，，同时成立，
故充要条件是．