2.3绝对值的几何意义 课件(共19张PPT) 北师大版七年级数学上册

(共19张PPT)
初
数
专
日期：
科目：数学
---第2讲-绝对值
一
学
题
【专题】 绝对值的最值问题
知识点点屋
（1）绝对值非负性：|a|≥0 |a|最小值为0
（2）绝对值的几何意义：|x-a|的几何意义为数轴上点x到点a的距离。两点重
合即x=a时，距离最小，绝对值取最小值0。
（3）去绝对值：|a|=
a, (a>0)
0, (a=0)
-a, (a<0)
【例1】（基础题）当x为何值时|x-6|取最小值，最小值是多少？
【分析和思考】
解法一：∵ |x-6|≥0
∴ |x-6|的最小值为0，
由|x-6|=0 求得x=6
∴ 当x=6时， |x-6|的最小值为0.
思考一：根据绝对值的非负性得知|x-6|≥0，所以|x-6|的最小值为0。由|x-6|=0 求得x=6
思考二：零点分段讨论法解题
第一步 找零点：由|x-6|=0找到点6，如图所示：
第二步 分区间讨论：
当x<6时，|x-6|=-x+6>0；
当x=6时，|x-6|=6-6=0；
当x>6时，|x-6|=x-6>0。
第三步 得结论：当x=6时，|x-6|取最小值0
6
思考：当x为何值时|x+4|取最小值，最小值是多少？
练习一
当x为何值时，下列各绝对值取最小值，最小值是多少？
1、|x-12| 2、 |x-a| 3、 |x+m| 4、 |x+|
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【例2】求|x+6|+|x-2|的最小值，并指出取最小值时，X要满足什么条件？
分析思考一：根据绝对值的几何意义解题
第一步：找点 根据绝对值的几何意义，本题|x+6|+|x-2|就是数轴上一个点x分别到-6、2两个点的距离之和。这两个点按由小到大排序如图。
第二步：取x值 数轴上点x分别到两个点的距离之和最小，这个点x只能位于两点之间(如图所示),所以本题只有当-6≤x≤2时，有最小值。
-6
2
思考？解法二：零点分段讨论法求最值：
练习二
当x满足什么条件时，下列各题中绝对值的和取最小值，最小值是多少？
1、|x-3|+|x+10| 2、|x+100|+|x-180|
3、|x+13|+|x+17| 4、|x-2022|+|x-2019|
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【例3】求|x+5|+|x-3|+|x-8|的最小值，并指出取最小值时，X的值为多少？
解法二：零点分段讨论法求最值：
第一步：取零点：分别取每个绝对值等于零的x点.|x+5|=0 得点-5，
|x-3|=0得到点3，|x-8|=0得到点8。按从小到大排好点位，-5 、3、 8
第二步：分区间讨论：----－5---3---8---->
当x≤-5时， 原式=-x-5+3-x+8-x=-3x+6≥21
当-5当3当x>8时， 原式=x+5+x-3+x-8=3x-6(3x-6>18 )
第三步：根据讨论情况得结论：
所以得：当x=3时，|x+5|+|x-3|+|x-8|有最小值13。
练习三
当x为何值时，下列各题中绝对值的和取最小值，最小值是多少？
1、|x-3|+|x+13|+|x+2| 2、|x-1|+|x+3|+|x-5|
3、|x+2|+|x-3|+|x+6|
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【例4】求y=|x+3|+|x+2|+|x+1|+|x|+|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，并指出y
为最小值时，X的值为多少？
【解题分析】本题项数较多，零点分段讨论法较麻烦，确定根据绝对值的几何意义解题。
第一步 找点：根据绝对值的几何意义我们得知，本题Y的值就是数轴上一个点x分别到-3、-2、-1、0、1、2、3等七个点的距离之和,如图。
第二步 取x值：要使数轴上一个点到若干个点的距离之和最小，这个点只能位于这若干个点之间，且要遵循“单数取中间点，双数取中间区域”的原则。比如本题-3、-2、-1、0、1、2、3共7个点，只有当x位于这7个点的中间点0上，也就是当X=0时，Y取最小值。所以本题可以这样解：
x

-2
-3
1
0
3
2
-1







解：根据绝对值的几何意义得知，本题Y的值就是数轴上一个点x分别到
-3、-2、-1、0、1、2、3等七个点的距离之和，如下图所示：
进一步分析可知，只有当x位于这7个点的中间点0上，也就是当X=0时，
Y取最小值，
把x=0代入，y=|0+3|+|0+2|+|0+1|+|0|+|0-1|+|0-2|+|0-3|=12
∴ 当x=0时，y的最小值为12
x

-2
-3
1
0
3
2
-1







练习四
1、求y=|x-3|+|x+10|+|x+2|+|x+8|+|x+6|的最小值，并指出y取最小值时x是多少？
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【例5】试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+...+|x-1996|的最小值.
【解题分析】本题只有用绝对值的几何意义解题。
第一步 找点：根据绝对值的几何意义我们得知，原式就是数轴上一个点x分别到1、2、3...1996等1996个点的距离之和,如图。
第二步 取x值：要使数轴上一个点到若干个点的距离之和最小，这个点只能位于这若干个点之间，且要遵循“单数取中间点，双数取中间区域”的原则。比如本题1、2、3...1996共1996个点，只有当x位于这1996个点的中间两个点之间，也就是当999≥X≥998时，原式取最小值，所以本题可以这样解。
x

1
1996
3
2






998
999
x

1
1996
3
2






998
999
解：根据绝对值的几何意义我们得知，原式就是数轴上一个点x分别到1、2、3...1996等1996个点的距离之和。
进一步分析可知，只有当x位于这1996个点的中间两个点之间，也就是当999≥X≥998时，原式取最小值。
把x=999代入原式=998+997+996+...+3+2+1+0+1+2+3+...+996+997= 998+2×（1+2+3+... ...+996+997)=998+（997+1）×997=
∴ 当999≥X≥998时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+...+|x-1996|的最小值为
练习五
1、试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+...+|x-2020|的最小值。
2、试求|x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+2019|的最小值。
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绝对值最值问题解题总结
1、若干个绝对值之和有最小值。
①如果这若干个绝对值的取值彼此没有关联，和的最小值就为0。
例如：|x-9|+|y+3|+|z-7|（x、y、z为有理数）最小值就是0。
②如果它们的取值有关联，如|x+5|+|x-3|+|x-8|，则要讨论取值范围
或者根据绝对值的几何意义来确定。
2、绝对值最值解题方法
①绝对值非负性：适应于单个绝对值求最小值，比如|x-9|或|x+a+b|等等
绝对值最值解题总结
①绝对值非负性：适应于单个绝对值求最小值，比如|x-9|或|x+a+b|等等.
②零点分段讨论法：第一步取零点排序，第二步分区间讨论，第三步得结论。
（局限于项数少的情况下使用）
③绝对值几何意义解题法：第一步找点排好序，第二步取值（奇数取点，偶数
取范围），第三步取值代入求结果。（在项数多的情况下解题更显方便）
拓展练习
求绝对值和的最小值
1、|x-3|+|2x+10| 2、2|x+8|+|x-4| 3、 2|x+13|+3|x+17|
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