11.1 与三角形有关的线段 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（ ）
A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形
B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形
C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形
D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形
2．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．（2022秋·湖北荆州·八年级期末）一个三角形的两边长分别为3和8，则第三边长可能是（ ）
A．5 B．6 C．3 D．11
4．（2022秋·湖北荆门·八年级期末）若三角形三边长分别为2，x，3，且x为正整数，则这样的三角形个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）从长为3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段中任选三条线段，不能组成一个三角形的为（ ）
A．3cm，6cm，8cm B．3cm，8cm，9cm
C．3cm，6cm，9cm D．6cm，8cm，9cm
6．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）在同一平面内，线段，线段，则线段的取值范围是（ ）
A． B． C．或10 D．
7．（2022秋·湖北襄阳·八年级期末）如图，在椭圆形池塘的一侧选取一点O，测得OA＝5米，OB＝11米，则A点到B点的距离可能是（ ）
A．5米 B．10米 C．16米 D．17米
8．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）若等腰三角形的周长为30cm，一边为14cm，则腰长为（）
A．2cm B．8cm C．8cm或2cm D．14cm或8cm
9．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，下列四条线段中，是△ABC的中线的是（ ）
A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG
10．（2022秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，△ABC的面积可以表示为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，BD是的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若AEF的面积为3．则的面积是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
12．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法①的面积的面积；②；③；④正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
13．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期末）下列图形中，正确画出AC边上的高的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022春·湖北十堰·八年级统考期末）在实际生活中，我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性，下列实物图中利用了稳定性的是（ ）
A．电动伸缩门 B．升降台
C．栅栏 D．窗户
15．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．平行四边形 D．直角三角形
二、填空题
16．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）已知三角形的两边长分别是和，第三边长是奇数，则第三边长是 ．
17．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）已知a，b，c是的三边长，满足，c为奇数，则 ．
18．（2022秋·湖北咸宁·八年级统考期末）若一个三角形两条边的长分别是3，5，第三条边的长是整数，则该三角形周长的最大值是 ．
19．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）一个三角形的两边分别是2和3，若它的第三边为奇数，则第三边为_______.
20．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则 ．
21．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）空调外机安装在墙壁上时，一般都会像如图所示的方法固定在墙壁上，这种方法是利用了三角形的 ．
三、解答题
22．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．
(1)如图1，作的中线；
(2)如图2，作的高线；
(3)如图3，点是与网格线的交点，请在上作一点，使FH//AB；
(4)如图4，直线和直线在网格线上，点和点在两条直线的两侧，请在直线上作一点，直线上作一点，使的值最小．
参考答案：
1．B
【分析】根据三角形按照边的分类方法解答．
【详解】解：根据三角形的分类，三角形可以分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形分为底边和腰不相等的三角形和底边三角形，
故选择B．
【点睛】本题考查三角形的分类，牢记三角形按照边的分类方法是解决问题的关键．
2．C
【分析】根据三角形的三边关系进行判断即可．
【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，不能构成三角形，不符合题意；
C、，可以构成三角形，符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；是解本题的关键．
3．B
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【详解】解：∵此三角形的两边长分别为3和8，
∴第三边长的取值范围是：8-3＜第三边＜8+3．
即5＜第三边＜11，
观察选项，只有选项B符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
4．B
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边即可解答．
【详解】解：由题意可得，3-2∵x为整数，
∴x为2，3，4，
∴这样的三角形个数为3.
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是解答本题的关键．
5．C
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边逐一判断即可．
【详解】解：A.，可以构成三角形，此选项不符合题意；
B.，可以构成三角形，此选项不符合题意；
C. 不可以构成三角形，此选项符合题意；
D.，可以构成三角形，此选项不符合题意；
故选C．
考点：三角形的三边关系
点评：熟练掌握三角形的三边关系．
6．D
【分析】当A，B，C在一条直线上时，或；当A，B，C不在一条直线上时，，因此．
【详解】解：在同一平面内，线段，线段，
，
即，
．
故选D．
【点睛】本题考查三角形三边关系的应用，解题的关键是牢记三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
7．B
【分析】本题是一个三角形第三边取值范围的题，第三边值在其他两边之和，和两边之差之间．
【详解】解：依题意，在三角形AOB中，
OB-OA＜AB＜OA+OB，OA=5米，OB=11米，
即6米＜AB＜16米．
所以10米符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形的第三边大于两边之和小于两边之差．
8．D
【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长14cm为腰或者14cm底边时．
【详解】分情况考虑：当14cm是腰时，则底边长是30-2×14=2cm，此时2cm，14cm，14cm能组成三角形；当14cm是底边时，腰长是（30-14）×=8cm，8cm，8cm，14cm能够组成三角形．此时腰长是8cm．
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
9．B
【分析】根据三角形中线的定义判断即可．
【详解】解：∵在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，G为线段EC的中点，
∴线段BE是△ABC的中线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中线的定义，熟知连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线是解题的关键．
10．A
【分析】利用三角形的高的定义、三角形的面积公式判断．
【详解】解：由题意知，BD为△ABC中AC边上的高，
∴△ABC的面积=
故选A．
【点睛】本题考查了三角形高的定义：过三角形的一个顶点向它的对边所在直线作一条垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高；也考查了三角形面积计算公式，底×高÷2，掌握这两个概念是解题关键．
11．D
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】是CE的中点，AEF的面积为3，
∴S△ACE=2S△AEF=6，
∵点E为BD的中点，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形面积相等．
12．B
【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC=∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG=∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据三角形的面积公式即可得到AD=4.8判断④．
【详解】解：∵BE是中线，
∴AE=CE，
∴△ABE的面积=△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF=∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵∠AFG=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG=∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠ACF，
∴∠BAD=2∠ACF，
即∠FAG=2∠ACF，故③正确；
∵∠BAC=90°，AD是高，
∴S△ABC=AB AC=AD BC，
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AD==4.8，故④错误，
故选：
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
13．D
【分析】根据高的定义即可求解．
【详解】解：根据锐角三角形和钝角三角形的高线的画法，可得D选项中，BE是△ABC中AC边长的高，
故选：D．
【点晴】此题主要考查高的作法，解题的关键是熟知高的定义．
14．C
【分析】根据三角形具有稳定性和四边形具有不稳定性进行辨别即可.
【详解】A. 由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门运用了平行四边形易变形的特性；
B. 升降台也是运用了四边形易变形的特性；
C.栅栏是由一些三角形焊接而成的，它具有稳定性；
D.窗户是由四边形构成，它具有不稳定性.
故选C.
【点睛】此题主要考查了平行四边形的特性是容易变形以及三角形具有稳定性．
15．D
【详解】解：直角三角形具有稳定性．
故选D．
16．/5厘米
【分析】先根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边点的取值范围，再选择奇数即可．
【详解】解：∵，
∴3＜第三边＜7，
∵第三边为奇数，
∴第三边长为.
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系，利用三角形的三边关系求出第三边的取值范围是解本题的关键．
17．7
【分析】绝对值与平方的取值均0，可知，，可得a、b的值，根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而得到c的值．
【详解】解：
，
由三角形三边关系可得
为奇数
故答案为：7．
【点睛】本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定所求边长的取值范围．
18．15
【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的取值，即可求解．
【详解】解：设该三角形的第三边的长为x，根据题意得：
，即 ，
∵第三条边的长是整数，
∴x取3，4，5，6，7，
∴第三边最长为7，
∴该三角形周长的最大值是3+7+5=15．
故答案为：15
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的第三边大于两边之差，小于两边之和是解题的关键．
19．3
【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3-2【详解】设第三边长为x，
∵两边长分别是2和3，
∴3 2即：1∵第三边长为奇数，
∴x=3，
故答案为3.
【点睛】此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握其定义.
20．1
【分析】由点，，分别为边，，的中点可得是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，得的面积，再由是的中线，得到的面积．
【详解】解：已知点，，分别为边，，的中点，
是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，
是的中线，
，
点是的中点，
，，
，
点是的中点，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中线和三角形面积之间的关系“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”，这也是本题的突破点．
21．稳定性
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形，因而应用了三角形的稳定性．
【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故答案为稳定性．
【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）根据三角形中线的定义，找出线段BC中点所在的格点D，连接即可；
（2）根据三角形中高线的定义，在网格中找到点E，使，即可求解；
（3）观察图形可知，F为的三等分点，，因此若FH//AB，则H为的三等分点，，作法为：将C点向下移动2个单位记作M，将B点向上移动1个单位记作N，连接MN交BC于H，连接FH，H即为所求点；
（4）利用两点之间线段最短即可求解，作法为：连接AH，交a，b与点M，点N，则点和点即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，找出线段BC中点所在的格点D，连接，线段即为所求；
（2）解：如图2中，延长BA至下一个格点记作E，连接CE，线段CE即为所求；
（3）解：如图3中，将C点向下移动2个单位记作M，将B点向上移动1个单位记作N，连接MN交BC于H，连接FH，线段即为所求；
（4）解：如图4中，连接AH，交a，b与点M，点N，则点和点即为所求．
【点睛】本题考查设计作图，三角形的中线、高线，两点之间线段最短等知识，利用数形结合的思想，设计合理方法找到关键点所在位置是解题的关键．11.2 与三角形有关的角 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图的角平分线 相交于点 O，度，则（ ）
A．80 度 B．100 度 C．120 度 D．140 度
2．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠DAE的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图所示，在中，，分别是，边上的高，并且，交于点，若，则等于( )
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，在中，若，是边上的高，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期末）如图所示，直线EFGH，射线分别交直线、于点和点，于点，如果，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，∠C＝88°＝∠D，AD与BE相交于点E，若∠DBC＝23°，则∠CAE的度数是（ ）
A．23° B．25° C．27° D．无法确定
8．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部 B．三角形中至少有一个内角不小于
C．直角三角形仅有一条高 D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半
9．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在中，平分，点在射线上，于，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，D是上一点，E是上一点，，相交于点F，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，△ABC中，，外角，则的大小是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
12．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的有 ．
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．
14．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示．若∠A＝60°，∠1＝96°，则∠2的度数为 ．
15．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图△ABC中，，过点A作于点D，，则 °．
16．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）将一副直角三角板如图放置，已知，，，则 °．
17．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝ ．
18．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东80°方向，则的度数是 ．
19．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，点为内一点，，，，则的度数为 ．
20．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在中，，将△ABC沿着直线l折叠，使点B落在点F的位置，则的度数是 ．
三、解答题
21．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
【习题回顾】
已知：如图1，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．
(1)若∠A=40 ，请直接写出∠BOC=________；
(2)【变式思考】若∠A=α，请猜想与的关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F=β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．
22．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC=112°，求∠BCF的度数．
23．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数．
24．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）问题引入：
(1)如图1，在中，点O是和平分线的交点，若，则______（用表示）：如图2，，，，则______（用表示）；
拓展研究：
(2)如图3，，，，猜想度数（用表示），并说明理由；
(3)BO、CO分别是的外角、的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想______（直接写出答案）．
25．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC于点D，E在CA的延长线上，∠BAE=120°，∠C=40°，求∠BDE的度数．
26．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，是的角平分线交于点，，交于点，，，求各内角的度数．
参考答案：
1．C
【分析】求出的度数，根据平分线的定义得出，，求出的度数，根据三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵、分别是的、的平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于．
2．A
【分析】在三角形ABC中，由∠B与∠C的度数求出∠BAC的度数，根据AE为角平分线求出∠BAE的度数，由∠BAD﹣∠B即可求出∠DAE的度数．
【详解】解：∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
又∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝50°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
则∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝10°，
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的概念等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解本题的关键．
3．B
【分析】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：
，
∴，
∵，
∴，
即．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键．
4．A
【分析】根据三角形高的定义，求得，进而根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：，，
，
又，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
5．B
【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出∠C的度数，结合是边上的高，即可求出的度数．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴，
∴．
∵是边上的高，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
6．D
【分析】由三角形的内角和定理可知，求出的值，由平行线的性质定理可知，进而可求的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于找出角度的数量关系．
7．A
【分析】利用三角形的内角和180°和对顶角相等求解即可．
【详解】解：∵∠C+∠CEA+∠CAE=180°，∠D+∠DEB+∠DBC=180°，
又∠C=∠D，∠CEA=∠DEB，
∴∠CAE=∠DBE=23°．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、对顶角相等，熟练掌握三角形的内角和是180°是解答的关键．
8．B
【分析】根据三角形的中线、高、角平分线的概念，三角形的内角和是180°，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半进行判断即可．
【详解】解：A、钝角三角形有两条高在三角形的外部．故错误，不符合题意；
B、根据内角和定理，可知三角形中至少有一个内角不小于60°．故正确，符合题意；
C、直角三角形有3条高，其中2条在它的直角边上．故错误，不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．A
【分析】根据三角形的外角的性质得出，根据角平分线的性质得出，根据垂直的定义得出，进而根据互余关系即可求解．
【详解】，
，
平分，
，
，
于，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
10．D
【分析】先利用三角形外角的性质求出，再利用三角形外角性质求．
【详解】解：∵ ，，
∴，
∵ ，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键．
11．B
【分析】由∠BAC，∠ACD的度数，利用三角形的外角等于两不相邻的内角和即可求出∠B的度数．
【详解】解：∵∠BAC=60°，∠ACD=110°，
∴∠B=∠ACD-∠BAC=50°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键．
12．C
【分析】先证明可判断A，结合平行线的性质可判断B，再利用三角形的外角的性质可判断C，结合邻补角的定义可判断D，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴ 故A不符合题意；
∵，
故B不符合题意；
故C符合题意；
故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的外角的性质，证明是解本题的关键．
13．①②③
【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得∠ABC=∠CAD，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解∠AFC=∠AGF，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【详解】解：∵BE是△ABC的中线，
∴AE=CE，
∴△ABE的面积等于△BCE的面积，故①正确；
∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，
∵CF为△ABC的角平分线，
∴∠ACF=∠BCF=∠ACB，
∵∠AFC=∠ABC+∠BCF，∠AGF=∠ACF+∠CAD，
∴∠AFC=∠AGF=∠AFG，
故②正确；
∵∠BAD+∠CAD=∠ACB+∠CAD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠BAD=2∠ACF，
即∠FAG=2∠ACF，故③正确；
因为CF是∠ACB的角平分线，只有AC=BC时，才能得到AF=FB，
由已知∠BAC=90°，则有AC＜BC，所以AF≠FB
根据已知条件无法证明AF=FB，故④错误，
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．
14．24°．
【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE＝120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC＝360°﹣120°＝240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′＝∠FEB+∠EFC＝240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．
【详解】解：∵∠A＝60°，
∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣60°＝120°．
∴∠FEB+∠EFC＝360°﹣120°＝240°．
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′＝∠FEB+∠EFC＝240°．
∴∠1+∠2＝240°﹣120°＝120°．
∵∠1＝96°，
∴∠2＝120°﹣96°＝24°．
故答案为：24°．
【点睛】考核知识点：折叠性质.理解折叠性质是关键.
15．70
【分析】由于点D，，求出∠2=45°，再根据三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵于点D，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠2=45°，
∵∠BAC+∠2+∠C=180°，∠C=65°，
∴∠BAC=70°，
故答案为：70．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，求出∠2=45°是解题的关键．
16．105
【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】，，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
故答案为：105
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
17．45°/45°
【分析】延长CH交AB于点F，锐角三角形三条高交于一点，所以CF⊥AB，再根据三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：延长CH交AB于点F，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，
∴∠ACF＝15°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠BCF＝45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD＝45°，
故答案为：45°．
【点睛】本题考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为180°．
18．
【分析】根据方向角的定义，可得，，，然后根据平行线的性质与三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
根据方向角的定义，可得，，．
，，
．
，是正南正北方向，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题主要考查了方向角的定义，平行线的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是正确理解平行线的性质．
19．/20度
【分析】延长交于点，根据三角形外角的性质，以及直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】如图：延长交于点，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，，以及直角三角形两锐角互余，解题关键是正确作出辅助线，熟记三角形外角的性质．
20．80
【分析】由折叠的性质得到∠F＝∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【详解】解：如图，设与交于点H，
由折叠的性质得：，
根据外角性质得：，，
∴，即．
故答案是：80．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理求解角的度数是解决问题的关键．
21．(1)110°
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用三角形内角和和角平分线性质，可求得角度；
（2）将定角转化为动角，利用三角形内角和和角平分线性质，可求得角度的关系；
（3）在（2）的基础结论上，通过角平分线性质可求证FB∥OD，然后角的关系就能够表示出来．
【详解】（1）∵，
∴，
∵角平分线、分别平分、，
∴，，
∴，
在中，
故答案为：110°，
（2）∵，
∴，
∵、是角平分线，
∴，
∴，
（3）由图可知
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了双角平分线模型，利用三角形内角和定理以及角平分线性质，推理出各个角之间的关系是本题的关键．
22．46°
【分析】先根据邻补角互补求出∠DFB的度数，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DBF的度数，再根据角平分线的定义求出∠CBF的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠BCF的度数．
【详解】解：∵∠BFC=112°，
∴∠DFB=180°-∠BFC=68°，
∵CD是△ABC中AB边上的高，
∴∠BDF=90°，
∴∠DBF=90°-∠DFB=22°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBF=∠DBF=22°，
∴∠BCF=180°-∠BFC-∠CBF=46°．
【点睛】本题主要考查了邻补角互补，直角三角形两锐角互余，角平分的定义，三角形内角和定理，正确求出∠CBF的度数是解题的关键．
23．∠DAC= 40°，∠BOA= 115°．
【分析】由直角三角形两锐角互余知∠DAC=40度，根据三角形内角和定理得∠CAB+∠ABC= 130°，AF、BE是角平分线，则∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)=65°，从而得出答案．
【详解】解：∵AD 是高，∠C=50°
∴∠ADC= 90°，
∴∠DAC= 90°-50°=40°，
∵∠C= 50°，
∴∠CAB+∠ABC = 130°，
∵AF、BE是角平分线，
∴∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)= ×（180°-50°）=×130°=65°，
∴∠BOA= 180°- 65° = 115°．
【点睛】本题主要考查了高的概念、直角三角形的性质、三角形内角和定理，角平分线的定义，做题的关键是角平分线性质的运用．
24．(1)，
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由角平分线的定义得，则，再利用三角形内角和定理可得答案；
（2）根据三角形内角和定理得，而，代入化简即可；
（3）由（2）同理可得答案．
【详解】（1）解：点是和平分线的交点，
，
，
在中，
，
，
，
，
故答案为：；
在中，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
，，，
，
，
，
，
；
（3）解：在中，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是采取类比的方法，同时渗透了整体思想．
25．∠BDE＝80°
【分析】根据三角形外角的性质求出∠ABC，根据角平分线的定义求出∠CBD，再利用三角形外角的性质求出∠BDE即可．
【详解】解：∵∠BAE＝120°，∠C＝40°，
∴∠ABC＝∠BAE ∠C＝120° 40°＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝40°，
∴∠BDE＝∠C＋∠CBD＝40°＋40°＝80°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
26．，
【分析】利用三角形外角的性质得∠ACD=∠BDC-∠A= 80°- 60°= 20°，再根据平行线的性质和三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：是的角平分线，
，
又是的外角，
，
，
，
，
，
，
，．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握各三角形外角的性质是解题的关键．11.3 多边形及其内角和 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）凸五边形的对角线的总条数为（ ）条
A．3 B．5 C．6 D．10
2．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）从五边形的其中一个顶点出发，一共可以引出的对角线条数有（ ）
A．2条 B．3条 C．5条 D．6条
3．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）一个八边形的内角和的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）一个多边形的内角和等于1260°，从它的一个顶点出发，可以作对角线的条数是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
5．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期末）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C＝70 ，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（ ）
A．360 B．250 C．180 D．140
7．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2的值是（ ）
A．108° B．36° C．72° D．144°
8．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角的大小为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·湖北荆门·八年级期末）一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（ ）
A．增加180° B．减少180° C．不变 D．以上三种情况都有可能
10．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为( ).
A．12 B．10 C．8 D．6
12．（2022秋·湖北荆州·八年级期末）如果正多边形的每个外角等于40°，则这个正多边形的边数是
A．10 B．9 C．8 D．7
13．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知，那么的大小是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在七边形中，、的延长线交于点O，若、、、的外角和等于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）若边形的内角和是五边形的外角和的倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）若一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则它的边数是（ ）．
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题
17．（2022秋·湖北黄石·八年级期末）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有2条对角线，则 ．
18．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）如果一个多边形的内角和是，则这个多边形对角线总数为 条．
19．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，要使六边形木架（用6根木条钉成）不变形，至少要再钉 条木条．
20．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）一个六边形共有n条对角线，则n的值为 ．
21．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）一个五边形共有 条对角线．
22．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，在四边形中，过A作，若，则 ．
23．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形ABCDE中，，DP，CP分别平分，，则的度数是 ．
24．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，在四边形中，过点A的直线，若，则 度．
25．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠BAC＝70°，O是三条高AD，BE，CF的交点，则∠BOC的度数为 °．
26．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知一个边形的内角和等于1980°，则 ．
27．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）若n边形的每个内角都等于150°，则n＝ ．
28．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）一个n边形的内角和为1080°，则n= ．
29．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是 ．
30．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B＋∠C=230°，则∠E的度数为 ．
三、解答题
31．（2022秋·湖北省仙桃市·八年级统考期末）如图1，已知∠ACD是ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
(1)尝试探究：如图2，已知：∠DBC与∠ECB分别为ABC的两个外角，则∠DBC＋∠ECB－∠A 180°．（横线上填＜、＝或＞）
(2)初步应用：如图3，在ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：∠P= ．
(3)解决问题：如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P与∠BAD、∠CDA的数量关系．
参考答案：
1．B
【分析】根据多边形的对角线的规律，n边形的一个顶点处有（n-3）条对角线，总共有条对角线，据此解答即可．
【详解】解：凸五边形的一个顶点处有5-3=2条对角线，共有条对角线．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多边形的对角线的条数，利用多边形的对角线条数的规律：n边形的一个顶点处有（n-3）对角线，总共有条对角线，代入计算即可．理解好对角线的定义是解题关键．
2．A
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n 3）条对角线可直接得到答案．
【详解】从五边形的一个顶点可引出的对角线的条数有5 3＝2条．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算方法．
3．C
【分析】直接根据多边形的内角和公式列式进行计算即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
4．B
【分析】先根据多边形内角和公式求出这个多边形的边数，再根据多边形一个顶点出发的对角线条数公式求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
由题意得，
∴，
∴从这个多边形一个顶点出发可以引9-3=6条对角线，
故选B．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和公式，多边形一个顶点出发的对角线条数，正确求出这个多边形的边数是解题的关键．
5．B
【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n-2）180°=900°，
解得：n=7，
∴这个多边形的边数为7．
故选B．
【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.
6．B
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=110°，进而利用四边形内角和定理得出答案．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=70°，
∴∠A+∠B=180°-∠C，
∴∠1+∠2=360°-110°=250°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，根据题意得出∠A+∠B的度数是解题关键．
7．C
【分析】过点B作l1的平行线BF，利用平行线的性质推出∠CBF+∠1=180°，∠CBF+∠2=108°，两个式子相减即可．
【详解】解：过点B作l1的平行线BF，则l1∥l2∥BF，
∵l1∥l2∥BF，
∴∠ABF=∠2，∠CBF+∠1=180°①，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴，
∴∠ABF+∠CBF=∠CBF+∠2=108°②，
∴①-②得∠1-∠2=72°，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及正多边形的内角问题，解题的关键是通过作辅助线，搭建角之间的关系桥梁．
8．B
【分析】根据正多边形的性质和内角和公式即可得．
【详解】正九边形的内角和为，且每个内角都相等，
该正九边形的一个内角的大小为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形的性质和内角和公式，熟练掌握正多边形的性质是解题关键．
9．D
【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果．
【详解】解：∵一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，
∴内角和可能减少180°，可能不变，可能增加180°．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形，能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．
10．B
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【详解】解：正多边形的一个外角等于60°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷60°=6，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
11．B
【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【详解】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
故选B．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．是需要识记的内容．
12．B
【详解】360°÷40°=9．
故选B．
13．B
【分析】根据多边形外角和为度进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和，熟知多边形外角和为是解题的关键．
14．A
【分析】根据多边形的外角和是，由、、、的外角和等于，可求得的外角，即可根据邻补角的定义求得．
【详解】解：∵、、、的外角和等于，五边形的外角和为，
∴的外角为 ，
∴＝，
故选：A．
【点睛】本题主要考查多边形的外角和，利用内角和外角的关系求得、、、的外角和，进而求得的外角度数是解题的关键．
15．A
【分析】外角和，内角和公式为：，列等式计算即可．
【详解】由题意得：
，
解得．
故选：．
【点睛】本题主要考查多边形外角和及内角和公式，能够熟记内角和公式是解题关键．
16．A
【分析】多边形的外角和是，n边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
∵n边形的内角和为，多边形的外角和为，
∴，
解得．
∴此多边形的边数为6．
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据多边形的内角和求多边形的边数，这是常用的一种方法，需要熟记．
17．216
【分析】根据m边形从一个顶点发出的对角线有条，从而可求得m的值；又根据n边形没有对角线，只有三角形没有对角线，从而可求得n的值；再根据k边形共有对角线条，从而可求得k的值，代入即可求出代数式的值．
【详解】解：∵m边形从一个顶点发出的对角线有条，
∴，
又∵n边形没有对角线，
∴，
又∵k边形有2条对角线，
∴，
∴，（舍去）
∴．
故答案为：216．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，解决本题的关键是熟记n边形从一个顶点发出的对角线有条，共有对角线条．
18．14
【分析】先由多边形内角和公式及已知的内角和求出这个多边形的边数，再由多边形的边数求出其对角线条数即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，则由题意可得：
，解得：，
即这个多边形是七边形，
∵七边形的的对角线条数为：，
∴这个多边形的对角线共有14条．
故答案为：14
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线条数是解题的关键．（1）n边形的内角和为：；（2）n边形的对角线条数．
19．3
【分析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
【详解】解：过六边形的一个顶点作对角线，有条对角线，
所以至少要钉上3根木条．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了三角形的稳定性以及多边形，正确利用图形得出是解题关键．解题时注意：过n边形的一个顶点作对角线，可以做条．
20．9
【分析】直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解．
【详解】解：六边形的对角线的条数．
故答案：9．
【点睛】本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n边形对角线的总条数为：（，且n为整数）．
21．5
【分析】由n边形的对角线有： 条，再把代入计算即可得．
【详解】解：边形共有条对角线，
五边形共有条对角线．
故答案为：5
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数，掌握n边形的对角线的条数是解题的关键．
22．/ 度
【分析】根据平行线的性质和四边形内角和求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，四边形内角和等于360度，熟 练掌握平行线的性质、四边形内角和等于360度是解题的关键．
23．
【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵五边形的内角和为，
∴，
∵分别为、的平分线，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记n边形的内角和为是解题关键．
24．150
【分析】先由平行线性质得，再由四边形内角和为与平角为，可得出，再将、代入即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：150．
【点睛】此题考查了多边形的内角和公式、平行线的性质定理、平角的定义，熟练掌握四边形的内角和与平行线的性质是解答此题的关键．
25．110
【分析】在四边形AFOE中，利用四边形的内角和与直角先求出∠EOF，再求出∠BOC．
【详解】解：∵BE、CF是△ABC的高，
∴∠AFC=∠AEB=90°．
∵AFOE是四边形，
∴∠AFC+∠AEB+∠BAC+∠FOE=360°．
∴∠FOE=360°-（∠AFC+∠AEB+∠BAC）
=360°-（90°+90°+70°）
=110°．
故答案为：110．
【点睛】本题主要考查了四边形形内角和，掌握四边形的内角和是360°是解决本题的关键．
26．13
【分析】由题意可知多边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，以此列方程即可求解．
【详解】解：依题意有：
（n-2） 180°=1980°，
解得n=13．
故答案为：13．
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，注意掌握解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
27．12
【分析】根据多边形的内角和定理：求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
解得．
故多边形是12边形．
故答案为12．
【点睛】主要考查了多边形的内角和定理．边形的内角和为：．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
28．8
【分析】直接根据内角和公式计算即可求解．
【详解】解：（n﹣2） 180°=1080°，解得n=8．
故答案为8．
【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：．
29．5
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于108°
∴每一个外角为72°
∵多边形的外角和为360°
∴这个多边形的边数是：360÷72=5
故答案为：5
30．65°/65度
【分析】根据三角形内角和定理的应用，四边形的内角和与平角的定义可得结论．
【详解】解：由四边形内角和可得∠B＋∠C＋∠CDA＋∠BAD＝360°，
∵∠MDA＋∠CDA＋∠NAD＋∠BAD＝360°，
∴∠MDA＋∠NAD＝∠B＋∠C，
∵AE、DE分别是∠NAD、∠MDA的平分线，
∴∠ADE＋∠EAD＝（∠MDA＋∠NAD）＝（∠B＋∠C），
∵∠B＋∠C＝230°，
∴∠ADE＋∠EAD＝×230°＝115°，
∴∠E＝180° （∠ADE＋∠EAD）＝180° 115°＝65°．
故答案为：65°．
【点睛】本题考查三角形和四边形的内角与外角，熟练掌握三角形和四边形的内角和与外角和是解题关键．
31．(1)＝
(2)∠P＝90°－∠A
(3)∠P＝180°－∠BAD－∠CDA，探究见解析
【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，两式相加可得结论；
（2）根据角平分线的定义得：∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB=180°+∠A，可得：∠P=90° ∠A；
（3）根据平角的定义得：∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，由角平分线得：∠3=∠EBC=90° ∠1，∠4=∠FCB=90° ∠2，相加可得：∠3+∠4=180° （∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．
【详解】（1）∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
理由是：∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=2∠A+∠ACB+∠ABC=180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB-∠A=180°，
故答案为：=；
（2）∠P=90°-∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP=∠DBC，∠BCP=∠ECB，
∵△BPC中，∠P=180°-∠CBP-∠BCP=180°-（∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∴∠P=180°-（180°+∠A）=90°-∠A．
故答案为：∠P=90°-∠A，
（3）∠P=180°-∠BAD-∠CDA，
理由是：如图，
∵∠EBC=180°-∠1，∠FCB=180°-∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3=∠EBC=90°-∠1，∠4=∠FCB=90°-∠2，
∴∠3+∠4=180°-（∠1+∠2），
∵四边形ABCD中，∠1+∠2=360°-（∠BAD+∠CDA），
又∵△PBC中，∠P=180°-（∠3+∠4）=（∠1+∠2），
∴∠P=×[360°-（∠BAD+∠CDA）]=180°-（∠BAD+∠CDA）=180°-∠BAD-∠CDA．
【点睛】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是关键．
