12.1 全等三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北省仙桃市·八年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形一定是全等图形 B．两个全等图形形状一定相同
C．两个周长相等的图形一定是全等图形 D．两个正三角形一定是全等图形
2．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）如图，如果成立，则下列结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）如图，已知，，，，，则的长（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）如图，，图中和相等的线段（ ）
A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
6．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图△ABC≌△DEC，其中BE＝3，AE＝4，则DE的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，已知两个三角形全等，图中字母a，b，c表示三角形的边长，则的度数为（ ）
A．50° B．58° C．60° D．62°
9．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，，，则的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
10．（2022秋·湖北襄阳·八年级期末）如图，△ABE≌△ACD，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDO度数为（ ）
A．85° B．95° C．110° D．120°
11．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）如图，ABC≌DCB，若AC＝7，BE﹦5，则DE的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
12．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，已知△ABC≌△CDA，AB＝4，BC＝5，AC＝6，则AD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．不确定
13．（2022秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，△OCA≌△OBD，AO＝3，CO＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
14．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，已知≌，，，，那么下列结论中错误的是（）．
A． B． C． D．
15．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是（ ）
A．54° B．60° C．66° D．76°
二、填空题
16．（2022秋·湖北荆门·八年级期末）如图，，如果，，，那么线段的长是 ．
17．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，△ACB≌△ADB，△ACB的周长为20，AB＝8，则AD+BD＝ ．
18．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，点B、E、D、C在同一直线上，≌，，，则 ．
19．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）已知点A(0，1)，B(3，1)，C(4，3)．如果在y轴的左侧存在一点D，使得△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标为 ．
三、解答题
20．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足AE=CF． 求证：DE=BF；
参考答案：
1．B
【分析】根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误，不符合题意；
B：两个全等图形形状一定相同，故B正确，符合题意；
C：两个周长相等的图形不一定是全等图形，故C错误，不符合题意；
D：两个正三角形不一定是全等图形，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了全等图形，熟练运用“能够完全重合的两个图形叫做全等形”是本题的关键．
2．D
【分析】直接根据全等三角形的性质即可得到答案．
【详解】解：图中的两个三角形全等，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
3．D
【分析】根据全等三角形的性质和平行线的判定方法逐项进行判断即可．
【详解】解：．若，则，故A不符合题意；
．若，则，不符合题意；
．若，则，不符合题意；
．∵，
∴，
∴，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同位角相等，两直线平行和全等三角形的性质．
4．A
【分析】根据全等三角形的性质可得到边相等，再根据线段和差关系求出线段的长．
【详解】解：∵，
∴
∵
∴
故选：
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，运用全等三角形的性质得到线段相等是解题的关键．
5．C
【分析】由全等三角形的性质即可求得，可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
即和相等的线段是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
6．C
【分析】根据三角形内角和定理得到∠C=30°，利用全等三角形的性质得出结果．
【详解】解：在△ABC中，∠C=180°-∠B－∠BAC=180°-75°-75°=30°，
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠C=30°，
故选择C．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，得到对应角相等是解决问题的的关键．
7．D
【分析】由题意可求出AB=7．再根据全等三角形的性质可知DE =AB=7．
【详解】∵BE＝3，AE＝4，
∴AB=7．
∵△ABC≌△DEC，
∴DE =AB=7．
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应边相等是解题关键．
8．C
【分析】根据三角形内角和定理计算出∠β的度数，然后再根据全等三角形的对应角相等可得∠α=∠β，即可求出结果．
【详解】解：根据三角形内角和可得∠β=180°-58°-62°=60°，
因为两个全等三角形，
所以∠α=∠β=60°，
故选：C．
【点睛】题本主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
9．B
【分析】根据全等三角形的对应角相等解答．
【详解】解：∵△ACB≌△DEB，
∴∠EBD=∠CBA，
∴∠EBC+∠CBD=∠CBD+∠ABD
∴∠ABD=∠CBE=35°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
10．A
【分析】利用全等三角形的性质，得到∠C＝25°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和求解即可．
【详解】解：∵△ABE≌△ACD，∠B＝25°
∴
又∵∠A＝60°，∠C＝25°，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及三角形的外角性质．全等三角形的对应边相等，对应角相等．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
11．A
【分析】由题意易得AC=DB=7，然后问题可求解．
【详解】解：∵ABC≌DCB，AC＝7，
∴AC=DB=7，
∵BE﹦5，
∴DE=DB-BE=2，
故选A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
12．B
【分析】根据全等三角形对应边相等解答即可．
【详解】解：∵△ABC≌△CDA，BC＝5，
∴AD＝BC＝5．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上准确找出AD的对应边是解题的关键．
13．D
【分析】因为△OCA≌△OBD，所以CO＝BO＝2，进而可求出AB的长．
【详解】∵△OCA≌△OBD，
∴CO＝BO＝2，
∴AB＝AO+BO＝2+3＝5，
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的性质．熟知若两个三角形全等，则其对应边相等、对应角相等是解答本题的关键．
14．D
【分析】根据三角形全等的性质，及三角形内角和判定即可．
【详解】∵≌，,
∴AB=CD=10，∠A=∠D=60°，∠ACB=∠DBC=180°-∠A-∠ABC=40°，AC=BD，
∴BE，
故选D．
【点睛】本题考查三角形全等的性质，三角形内角和．
15．C
【详解】试题解析：根据三角形内角和可得
因为两个全等三角形，
所以
故选C.
16．5
【分析】直接利用全等三角形的性质得出，可得，进而求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，正确得出是解题关键．
17．12
【分析】由全等三角形的性质可得△ABD的周长为20，从而可求解．
【详解】解：∵△ACB≌△ADB，△ACB的周长为20，
∴△ABD的周长为20，
∵AB＝8，
∴AD＋BD＝20 AB＝12．
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质并灵活运用．
18．3
【分析】根据全等三角形的性质得，故可得，再求出答案即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟记全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
19．（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）/（﹣1，﹣1）或（﹣1，3）
【分析】根据三角形三边对应相等的三角形全等可确定D的位置，再根据平面直角坐标系可得D的坐标．
【详解】如图所示，点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．
因为要求是y轴的左侧，所以只有（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）两点满足题意．
故答案为∶ （﹣1，3）或（﹣1，﹣1）
【点睛】本题主要考查全等三角形的有关知识，知道三边对应相等的三角形全等是解答此题的关键．
20．证明见解析.
【详解】试题分析：先由AE=CF根据等式的性质就可以得出AF=CE，再由条件证明△ABF≌△CDE就可以得出结论．
试题解析：证明：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE.
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠BFA=90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，
∴DE=BF.12.2 三角形全等的判定 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图所示，已知AB＝CD，则再添加下列哪一个条件，可以判定（ ）
A．∠A＝∠D B．∠ABC＝∠ACB C．AC＝BD D．BC＝CD
2．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出的依据是运用全等三角形判定（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
3．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在的两边，上分别截取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与点，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线，这里构造的依据是（）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC≌△BDE，AC＝7，CE＝2，则DE的长为（ ）
A．2 B．5 C．7 D．9
5．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）下列选项中,不是依据三角形全等知识解决问题的是（）
A．利用尺规作图，作一个角等于已知角 B．工人师傅用角尺平分任意角
C．利用卡钳测量内槽的宽 D．用放大镜观察蚂蚁的触角
6．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使≌的条件有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC，从而DE=AB．判定△ABC≌△EDC的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
8．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，点，在直线的同侧，，添加一个适当的条件后，仍不能使得成立的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）根据下列图中所给定的条件，找出全等的三角形 （ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④
10．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图所示，已知中，，以为边作，使，E是边上一点，连接，，连接．下列四个结论：
①；②；③平分；④．
其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图所示，在坐标平面中，，C为x轴负半轴上一点，，，若点P为y轴上一动点，以为腰作等腰三角形，已知（为定值），连接，则的最小值为 ．
12．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．
13．（2022秋·湖北孝感·八年级期末）如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则 ．
14．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在的方格纸中，等于 ．
15．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△，判定这两个三角形全等的依据是 ．
（1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，．
16．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期末）小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间（如图），，，每块砌墙用的砖块厚度为，小聪很快就知道了两个墙脚之间的距离的长为 ．
17．（2022秋·湖北襄阳·八年级期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，要使得△ABC≌△DCB，根据“HL”判定方法，需要再添加的一个条件是 ．
18．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①：②；③若，，则；④．其中正确的是 ．
三、解答题
19．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期末）如图，CA=CD，∠BCE=∠ACD，BC=EC，求证：△ABC≌△DEC．
20．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，，求证：.
21．（2022秋·湖北黄石·八年级期末）如图，点E，F在AB上，.
求证：.
22．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，，．求证：．
23．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）已知、是的高，点P在的延长线上，，点Q在上，．判断线段和的关系，并证明．
24．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，点，，在同一直线上，与交于点，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
25．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．求证：AC∥DF．
26．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：．
27．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，已知DO＝BO，∠A＝∠C，求证：AO＝CO．
28．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）已知是的平分线，点P是射线上一定点，点C、D分别在射线、上，连接、．
(1)如图①，当，时，则与的数量关系是___________；
(2)如图②，点C、D在射线、上滑动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由．
(3)在问题（2）中，若，则四边形的面积S是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
29．（2022秋·湖北荆门·八年级期末）如图，在和中，，E是的中点，垂足为点F，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
30．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且、相交于点.
（1）求证：
（2）求证：
参考答案：
1．C
【分析】根据三角形全等判定“边边边”即可判断．
【详解】解：由题意可知：BC=CB，又AB=CD
根据三角形判定“边边边”可知添加BD=AC即可判定．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的全等判定，掌握“边边边”的判定定理是解题的关键．
2．A
【分析】由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，根据SSS可证△ODC≌△O′D′C′，根据全等三角形的对应角相等即可得∠A′O′B′=∠AOB．可得答案.
【详解】由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
故选A.
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和有关角的作法，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
3．C
【分析】根据全等三角形的判定定理推出全等即可．
【详解】解：移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，
，
在和中，
即是的平分线，
故选∶C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
4．B
【分析】根据可得对应边相等，根据，即可求得长度．
【详解】解：，
，，
，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，正确的掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5．D
【分析】分别利用作一个角等于已知角以及工人师傅用角尺平分任意角和卡钳测量内槽的宽都是利用全等三角形的知识解决问题,进而分析得出答案.
【详解】A、利用尺规作图,作一个角等于已知角,是利用SSS得出,依据三角形全等知识解决问题,故此选项不合题意;
B、工人师傅用角尺平分任意角,是利用SSS得出,依据三角形全等知识解决问题,故此选项不合题意;
C、利用卡钳测量内槽的宽,是利用SAS得出,依据三角形全等知识解决问题,故此选项不合题意;
D、用放大镜观察蚂蚁的触角,是利用相似,不是依据三角形全等知识解决问题,故此选项正确.
所以D选项是正确的.故选D.
【点睛】本题考查了全等三角形的应用,正确掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
6．B
【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【详解】解：①，，，
和不一定全等，
故①不符合题意；
②，，，
≌，
故②符合题意；
③，
，
，
，，
≌，
故③符合题意；
④，，，
≌，
故④符合题意；
所以，增加上列条件，其中能使≌的条件有个，
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
7．A
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】解：在△ABC和△EDC中：
，
∴△ABC≌△EDC（ASA）．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
8．B
【分析】因为，共边，对选项一一分析，选择正确答案．
【详解】解：A．补充，可根据判定，故正确；
B．补充，不能判定，故错误；
C．补充，可根据判定，故正确；
D．补充，可根据判定，故正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
9．D
【分析】根据三角形全等的判定定理，结合已知条件，判断条件与定理相一致的即可．
【详解】∵①和④符合了SAS，
∴①和④两个三角形全等；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，熟练掌握判定方法是解题的关键．
10．C
【分析】如图，延长至G，使，从而构造条件，得到，通过全等或线段的等量代换运算对结论进行判别，从而得到答案．
【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M，
，
，
垂直平分，
，
，
,即，
，
，
，
在和中，
，
，，
故结论①正确；
，
，
，
平分,
故结论③正确；
，
在和中，
当时，
，
则，
当时，则无法说明与垂直，故结论②错误；
，
，
，
，故结论④正确．
综上所述，其中正确的有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质；解决本题的关键是通过二倍角这一条件，构造两倍的是本题的突破口．
11．
【分析】延长至点M，连接，使，证出，进而证明，得到，求出，当时，有最小值，利用，求出的最小值．
【详解】解：延长至点M，连接，使，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴的最小值是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短的性质，正确理解题意作出辅助线是解题的关键．
12．/度
【分析】如图，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．
13．180°/180度
【分析】利用三角形全等，等量代换后计算即可．
【详解】解：由题意得：，，，
所以△ABC≌△EDC（SAS），
，
所以．
故答案为：180°．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，两个角的和，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
14．90°/90度
【分析】标注字母，然后利用“边角边”求证和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余求解．
【详解】解：如图，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：90°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理及性质，直角三角形两锐角互余．解本题的关键是证明．
15．
【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．
【详解】解：在和△中，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图 复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．
16．56
【分析】由砖的厚度可得，，利用同角的余角相等可得，再用判定，得到对应边相等，再由即可得出答案．
【详解】解：由题意得，，，，
∵，，
∴，
在和中，
∴
∴
∴．
故答案为：56．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，由同角的余角相等得出全等条件是关键．
17．AB＝DC或AC＝BD
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理HL得出即可．
【详解】解：AB＝DC或AC＝BD，
理由是：①在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
②在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
故答案为：AB＝DC或AC＝BD．
【点睛】本题考查了根据证明三角形全等，掌握判定三角形全等是解题的关键．
18．①②③
【分析】先根据，，证明，再根据全等三角形求证后续结论．
【详解】
又
又
故①正确．
故②正确．
故③正确．
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是找准证明三角形全等的条件．
19．见解析
【分析】由∠BCE=∠ACD推出∠ACB=∠DCE，即可利用SAS证明结论．
【详解】证明：∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理：两个三角形的两组边及夹角对应相等，则这两个三角形全等．
20．证明见解析
【分析】要证明AC∥DF，只要证明∠ACB=∠DFE即可，要证明∠ACB=∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【详解】
在与中，
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，掌握判定法则是解题关键
21．详见解析
【分析】先将AE=BF转化为AF＝BE，再利用SAS证明两个三角形全等．
【详解】证明：因为AE＝BF，
所以，AE＋EF＝BF＋EF，
即AF＝BE，
在△ADF和△BCE中，
所以，．
【点睛】用SAS证明两三角形全等．
22．见解析
【分析】先根据平行线的性质证得，再根据线段和求得，然后证明，即可由全等三角形的性质得出结论．
【详解】证明：∵，∴
∵，∴
∴
在与中，
∴
∴
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．且，理由见解析
【分析】先根据证明，得出，，再根据，得出，即可得出结论．
【详解】解：且．理由如下：
∵，是的高，
∴，
∴，，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴且．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是证明．
24．(1)见解析
(2)140°
【分析】（1）根据SAS即可证明，由全等三角形的性质即可得证；
（2）由全等三角形的性质得，，由得，在中，由三角形内角和即可得解．
【详解】（1）在与中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
在中，．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．见解析
【分析】根据AB∥DE，得到∠B=∠E ，再由BF=CE，可推出BC=EF，即可利用SAS证明△ABC≌△DEF得到∠ACB=∠DFE，即可证明AC∥DF．
【详解】证明：∵AB∥DE，
∴∠B=∠E ，
∵BF=CE，
∴BF+CF=CE+CF，即BC=EF，
又∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC∥DF．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．
26．见解析
【分析】由得出，由SAS证明，得出对应角相等即可．
【详解】证明：∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
【点睛】本小题考查垂线的性质、全等三角形的判定与性质、等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观．
27．见解析
【分析】根据题目中的已知条件利用“AAS”证明△ADO≌△CBO，然后全等三角形对应边相等得出AO=CO．
【详解】证明：在△ADO和△CBO中，
，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴AO＝CO．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的条件是解决本题的关键．
28．(1)
(2)成立，理由见解析
(3)四边形的面积S为定值9
【分析】（1）通过证明即可得出结论；
（2）过点P作于点E，于点F，通过证明即可得出，再证明，即可得出结论；
（3）根据，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）成立，理由如下：
过点P作于点E，于点F，
∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（3）由（2）可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵．
∴四边形的面积S为定值9．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，正确画出辅助线，构造全等三角形求解．
29．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质证明即可；
（2）利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵E是的中点，，
∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
30．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得∠C=∠BAD；
（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF，可得AC=EF．
【详解】（1）如图
∵，
∴是等腰三角形
又∵为的中点，
∴（等腰三角形三线合一）
在和中，
∵为公共角，，
∴.
另解：∵为的中点，
∵，又，，
∴，
∴，又，
∴
∴，
在和中，
∵为公共角，，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．12.3 角的平分线的性质 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）点P在的平分线上，点P到边的距离等于3，点D是边上的任意一点，则关于长度的选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，是中的角平分线，于点E，，，，则的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
3．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，是的角平分线，于，，分别是边，上的点，，若和的面积分别为和，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，平分，平分，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，点M是平分线上的一点，点P、点Q分别在射线、射线上，满足，若的面积是2，则的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，点是的外角平分线上一点，且满足，过点作于点E，交的延长线于点，则下列结论中，其中正确的结论有（ ）①；②平分；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，点在上．若，，，当最小时，的面积是（ ）
A．2 B．1 C．6 D．7
8．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①；②；③若∠BAC＝80°，则∠CBD＝40°：④∠BDC＝∠BAC．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
11．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，长方形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC．若BE=4，AC=15，则△AEC面积为（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
12．（2022秋·湖北荆州·八年级期末）如图，△ABC的面积是18cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接BD，则△DAB的面积是（ ）
A．9cm2 B．8cm2 C．7cm2 D．6cm2
13．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ）
A．无法确定 B． C．1 D．2
二、填空题
14．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，已知点为的两条角平分线的交点，过点作于点，且．若的周长是，则的面积为 ．
15．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，D、E为边上两点，F为边上的一点，连接，，，，．则 ．
16．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，，是的角平分线，，相交于点于F，，下列四个结论：
①；
②；
③若的周长为m，，则
④若，则
其中正确的结论是 （填写序号）．
17．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D、E；②分别以点D、E为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线交于点G．如果，，的面积为12，则的面积为 ．
18．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期末）如图，在中，，是的平分线，，，则的面积是 ．
19．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，于E，AD平分，，cm，cm，则 ．
三、解答题
20．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在中，平分，交于，，，且，求证：．
21．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．
22．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）在中，、分别平分和，和相交于点．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，连接，求证：平分；
(3)如图3，若，求证：．
23．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，A、B两点分别在射线上，点C在的内部，且，，垂足分别为D，E，且．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
24．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：．
25．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：CE平分∠BCD；
(2)求证：AD+BC=CD．
26．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，，，垂直平分．
(1)作的平分线交于点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
(2)在所作的图中，求的度数．
参考答案：
1．B
【分析】过点作于，与，由角平分线的性质得，由点到直线的距离垂线段最短得出即可解答．
【详解】如图，过点作于，与，
∵平分，点P到BA边的距离等于3，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查点到直线的距离最短问题，关键掌握角平分线的性质，和垂线段的性质．
2．A
【分析】作交于点F，根据角平分线的性质可得，再由，即可求解．
【详解】解：如图，作交于点F，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积公式，解题的关键是正确的得到，从而进行解题．
3．B
【分析】如图所示（见详解），过点作于，是的角平分线，于，可证，同理可证，设，和的面积分别为和，列方程即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于，
∵是的角平分线，于，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
设，和的面积分别为和，
∴，解方程得，，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查角平分线，三角形全等和性质的综合，理解并掌握角平分线上点到角两边的距离相等，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
4．A
【分析】由三角形的内角和定理可得，再利用角平分线的性质得到，最后利用三角形外角的性质得出结果．
【详解】解：，
，
平分，
平分，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和及三角形外角的性质．
5．D
【分析】过点M作，先利用角平分线的性质说明与的关系，再利用三角形的面积公式求出与的积，最后再利用三角形的面积公式得结论．
【详解】解：过点M作，垂足分别为E、F．
∵M是平分线上的一点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”、三角形的面积公式是解决本题的关键．
6．D
【分析】利用角平分线的性质和证明（），利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：如图，设交于点．
∵，，
∴，
∵平分，
∴，，故①正确，
在和中，
∴（）
∴，，
∴平分，故②正确，
∵，
∴（），
∴，
∴，故③正确，
∵，，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．B
【分析】过点作于，由角平分线的作法可知，是的角平分线，利用角平分线的性质得出，根据过直线外一点到直线的垂线段最短， 最短为2，由直角三角形全等的判定和性质可得出，利用线段间的数量关系及三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，
由角平分线的作法可知，是的角平分线，
点为线段上的一个动点，最短，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查的是作图基本操作，角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质，过直线外一点到直线的垂线段最短等，理解题意，然后熟练掌握运用角平分线的性质是解题的关键．
8．C
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再证明∠FDB=∠EDC，即可证明；根据全等三角形对应边相等可得CE=BF，利用HL证明△ADE≌△ADF，可得AE=AF，然后求出；利用外角定理得2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB，由可得∠ABD=∠DCE，BD=DC，故∠DBC=∠DCB，于是可证明∠DAF=∠CBD；根据∠FDE与∠BAC都与∠FAE互补，可得∠FDE=∠BAC，于是可证∠BDC＝∠BAC．
【详解】解：∵AD平分∠FAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，∠DEC=∠DFB=90°，
∵∠FDE＝∠BDC，
∴∠FDE-∠BDE＝∠BDC-∠BDE，即∠FDB=∠EDC，
∴，故①正确；
∵，
∴CE=BF，
∵DE=DF，AD=AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE=AF，
∵BF=AB+AF，
∴；故②正确；
∵∠FAE是△ABC的外角，
∴2∠DAF=∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=180°-80°=100°，
∵，
∴∠ABD=∠DCE，BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴2∠DAF=∠DCE+∠DBC+∠ACB=∠DBC+∠DCB=2∠DBC，
∴∠DAF=∠CBD=50°，故③错误；
∵∠DFA=∠DEA=90°，
∴∠EDF+∠FAE=180°，
∴∠FDE=∠BAC，
∵∠FDE=∠BDC，
∴∠BDC＝∠BAC；故④正确；
正确的有①②④，
故选：C．
【点睛】此题考查了角平分线上的点到角两边距离相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
9．D
【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴CP平分∠ACF，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10．D
【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．
【详解】解：满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
故选：D．
【点睛】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握角平分线的定理的应用是关键．
11．B
【分析】首先过点E作△AEC的高，然后利用角平分线得到性质得到高的长度等于BE的长度，把AC做底，进而求得所求三角形的面积．
【详解】解：如图所示：
过点E作EF⊥AC，则EF为△AEC的高，
因为AE平分∠BAC，
所以EF=BE=4 (角平分线上的点到角两边的距离相等)，
则△AEC面积=，
故选：B.
12．A
【分析】延长CD交AB于点E，根据ASA证明△ACD≌△AED，得到CD=ED，进而得到S△BCD=S△BED，S△ACD=S△AED，推出S△ABD=S△AED＋S△BED=S△ABC，即可得到答案．
【详解】解：如图，延长CD交AB于点E，
由题可得，AP平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
又∵CD⊥AP，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
又∵AD=AD，
∴△ACD≌△AED（ASA），
∴CD=ED，
∴S△BCD=S△BED，S△ACD=S△AED，
∴S△ABD=S△AED+S△BED=S△ABC=×18=9（cm2）．
故选：A．
【点睛】本题考查了基本作图方法，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中线与面积的关系，熟知基本作图，角平分线、中线定义，熟练掌握全等三角形判定、性质定理是解题的关键．
13．C
【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1．
【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，
∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理．
14．21
【分析】作，，连接，垂足分别为、，连接，可得，再利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：作，，连接，垂足分别为、，连接，
，分别平分和，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
15．22
【分析】如图，在右侧作，交延长线于点K，过点D作，交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J，由根据平行线和角的数量关系得到，，从而得到：，将转到，利用角的关系和角平分线的性质可再证明，然后利用线段的关系计算从而得出结果．
【详解】解：如图，在右侧作，交延长线于点K，过点D作，交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J，
，，
∴是的平分线；
又，
在与中，
，，，
，
．
又∵角平分线、交于L，
，，，
，
在与中，，，
，
在与中，
，，，
，
，
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查了与三角形有关的角的计算、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，重点是利用三角形全等，对线段进行转换，从而进行求解，难点是通过辅助线构造全等三角形．
16．①②④
【分析】①利用三角形的内角和以及角平分线平分角，求出的度数，进行判断；②在上截取，证明，得到，再证明，得到，进而得到；③连接，过点作，垂足分别为：，利用角平分线的性质，以及，进行求解即可；④根据，得到，根据，得到，进而得到，根据，得到：，即可得到．
【详解】解：①∵，
∴，
∵，是的角平分线，
∴，
∴；故①正确；
②如图，在上截取，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故②正确；
③连接，过点作，垂足分别为：，
∵，是的角平分线，
∴，
∴；故③错误；
④如图，由②知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：；故④正确；
综上，正确的是①②④；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，利用截长补短法，证明三角形全等，是解题的关键．
17．16
【分析】由作图步骤可知：为的角平分线，过G作，可得，然后再结合已知条件和三角形的面积公式解答即可．
【详解】解：由作图作法可知：为的角平分线
过G作，
∴
∴,
故答案为16．
【点睛】本题考查了角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线的性质定理是解答本题的关键．
18．9
【分析】如图，作于，由角平分线的性质可得，根据计算求解即可．
【详解】解：如图，作于
∵是的平分线，
∴
∴
故答案为：9．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
19．8cm
【分析】过D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质得DF＝DE，再证Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），得AF＝AE，设BE＝xcm，则AF＝（6+x）cm，然后证Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），得CF＝BE＝xcm，最后列方程求出x＝2，即可得出答案．
【详解】解：如图，过D作DF⊥AC于F，
则∠DFA＝∠DFC＝90°，
∵DE⊥AB于E，AD平分∠BAC，
∴∠DEB＝90°，DF＝DE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴AF＝AE，
设BE＝xcm，则AF＝BE＝AB+BE＝（6+x）cm，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴CF＝BE＝xcm，
∵AF+CF＝AC＝10cm，
∴6+x+x＝10，
解得：x＝2，
∴AE＝AB+BE＝6+2＝8（cm），
故答案为：8cm．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．证明见详解
【分析】根据角平分线的性质可得出，结合即可证出，再根据全等三角形的性质即可证出．
【详解】证明：平分，,,
，
在和中，
，
【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是根据角平分线的性质结合证出．
21．见解析
【分析】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．
【详解】证明：如图，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
22．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABD=∠ABC，∠BAD=∠BAC，利用三角形的内角和定理可求解∠ABD+∠BAD=70°，即可求得∠ABC+∠BAC=140°，结合三角形的内角和定理可求解．
（2）过点作于，于，于，由角平分线的性质定理得，从而可得结论；
（3）延长至，使，连接，根据AAS证明，得，进一步可得出结论．
【详解】（1）解：∵AF、BE分别平分∠BAC和∠ABC，且相交于点D，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAD=∠BAC，
∵∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∠ADB=110°，
∴∠ABD+∠BAD=70°，
∴∠ABC+∠BAC=140°，
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°，
∴∠C=40°，
（2）解：如图，过点作于，于，于，
∵、分别平分和，，
，，
，，
∴，
又∵，，
∴平分；
（3）解：如图，延长至，使，连接，
∵、分别平分和，
∴，
∵，
∴，∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形角平分线的性质定理以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)10
【分析】（1）证明，得到，得到，即可得证；
（2）根据，得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键．
24．见解析
【分析】先证明，得到OD=OE，再根据角的平行线性质判定即可．
【详解】证明：于点，于点，
，
在和中，
，
，
，
，，
平分，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定和角的平分线的判定是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作EM⊥CD垂足为M，根据角平分线的性质定理以及判定定理即可证明；
（2）只要证明△DEA≌△DEM得AD＝DM，同理可证CB＝CM．即可得结论．
【详解】（1）证明：如图，作EM⊥CD垂足为M，
∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，
∴AE＝EM，
∵AE＝EB，
∴EM＝EB，
∵EB⊥BC，EM⊥CD，
∴EC平分∠BCD．
（2）证明：由（1）可知：AE＝EM＝EB，
在Rt△DEA和Rt△DEM中，
，
∴Rt△DEA≌Rt△DEM（HL），
∴DA＝DM，
同理可证：Rt△BEC≌Rt△BMC（HL），
∴CB＝CM，
∴CD＝DM+MC＝AD+BC．
【点睛】本题考查角平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质，根据角平分线这个条件添加辅助线是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的作法即可作∠DAC的平分线AE交BC于点E；
（2）根据角平分线定义和三角形内角和定理即可求∠DAE的度数．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解： 垂直平分，
，
∴
，
，
是的平分线，
．
【点睛】本题考查了作图一基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
