13.1 轴对称 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）下列汉字可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）下列几何图形不一定是轴对称图形的是（ ）
A．角 B．三角形 C．长方形 D．圆
4．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）下列说法错误的是（ ）
A．所有的等边三角形都是全等三角形 B．全等三角形面积相等
C．三条边分别相等的两个三角形全等 D．成轴对称的两个三角形全等
5．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，，，，点P、Q分别是边、上的动点，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．5 D．
6．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
7．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，与相交于点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）三角形内到三条边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三条角平分线的交点
9．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，，若和分别垂直平分和，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，在中，，，用直尺和圆规作线段的垂直平分线交于点D，若，则的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．4.5 D．6
12．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，D，E是的BC边上的两点，DM，EN分别垂直平分AB，AC，垂足分别为M，N．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于( )
A．50° B．75° C．80° D．105°
二、填空题
14．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图,∠AOB=30 ,点M、N分别是射线OB、OA上的动点,点P为∠AOB内一点,且OP＝8,则△PMN的周长的最小值＝ .
15．（2022秋·湖北黄石·八年级期末）如图，，，，在，上分别找一点，，当周长最小时，的度数是 ．
16．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，把长方形沿对角线折叠，若，则 ．
17．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）仔细观察图1，体会图1的几何意义．用图1的方法和结论操作一长方形纸片得图2或图3或······，OC，OD均是折痕，当B'在∠COA'的内部时，连接OB'，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，∠A'OB'的度数是 ．
18．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，中，，，将沿折痕折叠，使点恰好落在边上的点处，若的周长为7，则的长为 ．
19．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．
20．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，则的周长为 ．
21．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期末）如图，在中，是的垂直平分线．若，的周长为13，则的周长为 ．
22．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 .
23．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC= ．
24．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，点为的平分线上一点，过任作一直线分别与的两边交于，两点，为中点，过作的垂线交于点，，则 ．
三、解答题
25．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，，，．
(1)用直尺和圆规作的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)若（1）中所作的垂直平分线交于点，求的周长．
26．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，，点在边上且点到点的距离与点到点的距离相等.
（1）利用尺柜作图作出点，不写作法但保留作图痕迹.
（2）连接，若的底边长为3，周长为17，求的周长.
27．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，在中，已知，．
(1)在图中分别作出BC边上的高AD和的平分线AE（只保留作图痕迹并标注字母即可）；
(2)求的度数．
参考答案：
1．A
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．C
【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：汉字“振”、“兴”、“中”、“华”四个字中，只有“中”沿中间的竖线折叠，直线两旁的部分能完全重合，则“中”是轴对称图形，“振”、“兴”、 “华”不是轴对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
3．B
【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、角是轴对称图形，不符合题意；
B、三角形不一定是轴对称图形，符合题意；
C、长方形是轴对称图形，不符合题意；
D、圆是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称图形的概念，理解概念，掌握选项中图形的特征是解答的关键．
4．A
【分析】根据全等三角形的判定和性质、成轴对称图形的概念对各选项分析判断即可解答．
【详解】A．所有的等边三角形有大有小，不一定全对，故此选项错误，符合题意；
B．全等三角形的面积相等，故此选项正确，不符合题意；
C．三条边分别相等的三角形全等，此选项正确，不符合题意；
D．成轴对称的两个三角形全等，此选项正确，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、成轴对称图形的概念，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键．
5．B
【分析】作过于的对称点，过点作，交于点，交于点，根据对称可得：，得到当三点共线时，最小，再根据垂线段最短，得到时，最小，进行求解即可．
【详解】解：作过于的对称点，过点作，交于点，交于点，
∵，
∴当三点共线时，最小，
∵垂线段最短，
∴时，最小，
连接，
∵关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查利用轴对称求线段和最小问题．熟练掌握通过构造轴对称，解决线段和最小，以及点到直线，垂线段最短，是解题的关键．
6．B
【分析】利用轴对称画图可得答案.
【详解】解：如图所示，
球最后落入的球袋是2号袋，
故选：B.
【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形.
7．A
【分析】由折叠的性质知，，不一定等于，故选项A结论错误；根据两直线平行内错角相等可得，即可推出，故选项B结论正确；由B知， 所以，故选项结论C正确；通过证明，即可得证，故选项D结论正确．
【详解】解： A、由折叠的性质知，，不一定等于，故选项A错误；
B、由折叠的性质知，，
四边形是长方形
故选项B正确；
C、由B知，
故选项C正确；
D、四边形是长方形
在和中
故选项D正确．
故选：A．
【点睛】此题考查了矩形的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质、长方形的性质、两直线平行内错角相等、全等三角形的性质以及判定定理．
8．D
【分析】根据角平分线的性质即得答案.
【详解】解：三角形内到三条边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
9．B
【分析】根据线段垂直平分线性质得出，求出和的长，即可求出答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，
的周长为：；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
10．A
【分析】先利用三角形内角和定理求出 ，然后利用线段垂直平分线的性质可得 ，从而利用等腰三角形的性质可得，， ，最后利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解： ，
，
∵和分别垂直平分和 ，
∴，
∴ ，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11．B
【分析】连接，如图，先根据线段垂直平分线的性质得到，则，所以，然后利用求解．
【详解】解：连接，如图，
∵点D为的垂直平分线与的交点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
12．A
【分析】根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到 ，，根据等腰三角形的性质得到，，计算即可．
【详解】解：在中，，
则，
，分别垂直平分、，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
13．C
【详解】∵∠BAC=130°，
∴∠B+∠C=180°-130°=50°，
∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴BP=AP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=50°，
∴∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=130°-50°=80°，
故选：C．
14．8
【详解】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=8．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8．
故答案为8．
15．/120度
【分析】作点A关于，的对称点，，连接，当，在线段上时，周长最小时，且为的周长最小值．此时由对称的性质及三角形内角和定理、三角形外角的性质即可求得结果．
【详解】解：作点A关于，的对称点，，连接，
当，在线段上时，周长最小时，且为的周长最小值．
∵，
∴，
∵，，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了对称的性质，两点间线段最短，三角形内角和定理与三角形外角的性质等知识，作点A关于，的对称点是本题的关键．
16．/70度
【分析】根据长方形的特征可知，，则有，由折叠的性质可知，然后根据平行线的性质可求解．
【详解】解：由长方形的特征可知：，，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
∵，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，熟练掌握折叠的性质及平行线的性质是解题的关键．
17．30°
【分析】由折叠的性质知，∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，再利用∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°，即可得出答案．
【详解】解：由折叠知，∠AOA'＝2∠AOC，∠BOB'＝2∠BOD，
∵∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，
∴∠AOA'＝2∠AOC＝2×44°＝88°，∠BOB'＝2∠BOD＝2×61°＝122°，
∴∠A'OB'＝∠AOA'+∠BOB'﹣180°＝88°+122°﹣180°＝30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，角的和差关系等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
18．8
【分析】由折叠的性质可得BD=DE，AB=AE=6，由线段的数量关系可求EC=2，即可求解．
【详解】解：将沿折痕折叠，使点恰好落在边上的点处，
，，
的周长为7，
，
，
，
，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是解题的关键．
19．5
【分析】由三角形的周长求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，推出，由此求出，由此求出．
【详解】解：∵周长为16cm，，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴
∵垂直平分，
∴
∴
∴，
∴
故答案为：5．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．
20．17
【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：由作图可知，MN垂直平分AB，
∴AD=BD，
∵BC=12，AC=5，
∴△ACD的周长为AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC=17，
故答案为：17．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
21．
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．
【详解】解： 是的垂直平分线．，
的周长
故答案为：
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
22．65°
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C＝∠CAD，进而可得出结论.
【详解】解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°.
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°.
故答案为：65°.
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
23．96°
【详解】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在和中，，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：96°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线证明 是解题的关键．
24．．
【分析】过D作DE⊥OM于E，DF⊥ON于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据线段垂直平分线性质求出BD＝CD，证Rt△DEB≌Rt△DFC，求出∠EDB＝∠CDF，推出∠BDC＝∠EDF＝50°，由四边形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：如图：
过作于，于，
则，
平分，
，
为中点，，
，
在和中，，
，
，
．
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．
25．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN即可．
（2）由（1）知MN是AB的垂直平分线，得到AD=BD，所以△ACD的周长=AC+CD+AD= AC+CD+ BD= AC+BC，即可求得的周长．
【详解】（1）如图，直线MN即为所求．
（2）证明∵MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD．
∴△ACD的周长=AC+CD+AD= AC+CD+ BD= AC+BC．
∵AC＝4，BC＝8，
∴△ACD的周长= 4+8=12．
【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26．（1）点就是所求作的点；（2）周长为10.
【分析】（1）根据题意作AC的垂直平分线即可；根据已知条件先求出AB的长，再由AD=CD即可求出的周长.
【详解】解：（1）点就是所求作的点.
（2）∵点到点的距离与点到点的距离相等
又∵等腰的周长为17，底边，
∴等腰的腰，
∴的周长
答：的周长为10.
【点睛】此题主要考查垂直平分线的作图与性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质.
27．(1)见解析
(2)40°
【分析】（1）利用尺规过A点作BC的垂线即可得到AD，再利用尺规作的平分线；
（2）利用角平分线的定义求出，利用外角的性质求出，再利用直角三角形两锐角互余求出，则．
【详解】（1）解：如图所示，AD是BC边上的高，AE是的平分线．
作法如下：
以A点为圆心，适当长为半径作弧，交直线BC于M，N两点；
分别以M，N为圆心，大于长为半径作弧，交于F点；
连接AF交直线BC于D点，连接AD即可；
以A点为圆心，适当长为半径作弧，交AC于G点，交AB于H点；
分别以G，H为圆心，大于长为半径作弧，交于P点；
连接AP并延长，交BC于点E，连接AE即可．
（2）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查尺规作图——作垂线、角平分线，角平分线的定义以及三角形外角的性质等，熟练掌握尺规作图的基本步骤，找出图中相关角的和差关系是解题的关键．13.2 画轴对称图形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图是轴对称图形，其对称轴的条数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）下列图形中对称轴的数量小于3的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正六边形 D．圆
4．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期末）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是【 】．[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在(6，3)]
A．黑(3，7)；白(5，3) B．黑(4，7)；白(6，2)
C．黑(2，7)；白(5，3) D．黑(3，7)；白(2，6)
5．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）若点与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）点 关于轴对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）已知点，关于轴对称，则的值是（ ）
A．3 B． C．8 D．
8．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）已知点关于y轴对称的点在第二象限，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在四边形中，，M，N分别是边上的动点，当的周长最小时，的大小是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，∠MON＝50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（ ）．
A．60° B．70° C．80° D．100°
二、填空题
11．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）点和点关于轴对称，则的值是 ．
12．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）若点与点关于y轴对称，则 ．
13．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则 ．
三、解答题
14．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
(1)在图中画出关于轴对称的图形；
(2)的面积为______；
(3)在轴上确定一点，使的周长最小，并直接写出点坐标．（注：不写作法，只保留作图痕迹）
15．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图（保留画图痕迹）．
(1)在图1中，为格点，在上画点，使；
(2)在图2中，画的中线；
(3)在图3中，画的高；
(4)在图4中，画线段上的点，使．
16．（2022秋·湖北荆门·八年级期末）请在如图的平面直角坐标系中描出以下三点：，，，并回答如下问题：
(1)在平面直角坐标系中画出；
(2)在平面直角坐标系中画，使它与关于x轴对称，并写出点的坐标；
(3)在x轴上作出一点P，使的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）．
17．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点 A、C的坐标分别为．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)请作出关于 y 轴对称的；
(3)点的坐标为 ．
(4)的面积为 ．
18．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，所有的网格都是由边长为1的小正方形构成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC为格点三角形．
(1)如图1，计算图中格点△ABC的面积为_______；
(2)如图，图2、图3、图4都是6×6的正方形网格，点M、点N都是格点
①在图2中作格点△MNP，使△MNP，与△ABC全等；
②在图3中作格点△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在图4中作格点△NFG，使△NFG与△ABC关于某条直线对称．
19．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图平面直角坐标系中，已知点A（4，4），B（2，1）C（4，2）
(1)在坐标系中作出线段AB、BC关于x轴对称的线段、；
(2)连接、、，求图中封闭图形的面积．
20．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，已知在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1)画出△ABC关于y轴对称的 （要求：A与，B与，C与相对应）；
(2)写出点，，的坐标；
(3)求的面积．
21．（2022秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于轴对称的；
(2)写出点，，的坐标；
(3)求的面积．
22．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点．如图，的顶点都是格点，M为AB上一点，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹），并回答问题．
(1)画关于y轴对称的；
(2)画的高；
(3)画M点关于y轴的对称点；
(4)探究与有一条公共边且与成轴对称的格点三角形，直接写出满足条件的三角形的个数．
23．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为、、，
(1)画出与关于y轴对称的，并写出点、、的坐标；
(2)若与全等（D点与不重合），直接写出所有符合条件的点D的坐标．
24．（2022春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图，，，都在边长为1个单位的正方形网格的格点上．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)画出点关于直线的对称点，连，．直接写出为 ；
(3)点，分别为边，上的动点，请找出点，的位置，使得最小，直接写出的最小值为 ．
25．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）已知：如图，在平面直角坐标系中．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标；
(2)直接写出△A1B1C1的面积为____________；
(3)在x轴上画点P，使PA＋PC最小(保留作图痕迹）．
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形对称轴的画法即可得到结果．
【详解】解：∵该图形是轴对称图形，可画出条对称轴，
故选．
【点睛】本题考查的轴对称图形对称轴的画法，根据图形画出对称轴是解题的关键．
2．D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可
【详解】解：选项A一共有4条对称轴，故A不符合题意；
选项B一共有6条对称轴，故B不符合题意；
选项C一共有4条对称轴，故C不符合题意；
选项D一共有2条对称轴，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了找轴对称图形的对称轴，熟知对称轴的定义是解题的关键．
3．D
【分析】分别求出各个图形的对称轴的条数，再进行比较即可．
【详解】解：A、等边三角形有3条对称轴；
B、正方形有4条对称轴；
C、正六边形有6条对称轴；
D、圆有无数条对称轴．
故选：D．
【点睛】此题考查了轴对称图形对称轴条数的问题，解题的关键是掌握轴对称图形对称轴的定义以及性质．
4．C
【详解】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答：
A、若放入黑（3，7），白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形；
B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形；
C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白旗是轴对称图形；
D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形．
故选C．
5．A
【分析】依据关于轴的对称点的坐标特点以及关于轴的对称点的坐标特点，即可得到点的坐标．
【详解】点与点关于轴对称
点
点与点关于轴对称
故选：A．
【点睛】此题主要考查了关于坐标轴对称点的性质，正确把握各点之间横、纵坐标的关系是解题关键．
6．A
【分析】根据关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同确定即可．
【详解】解：点关于y轴对称点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称与坐标变化，熟练掌握对称点的坐标变化特点是解题的关键．关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同．
7．D
【分析】根据平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数、纵坐标相等，求出值，代入代数式求值即可得到答案．
【详解】解：点，关于轴对称，
，解得，
，
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数、纵坐标相等，求出值是解决问题的关键．
8．A
【分析】点关于y轴对称的点在第二象限，则点A在第一象限，根据第一象限点的坐标性质即可求出x的取值范围．
【详解】解：∵点关于y轴对称的点在第二象限，
∴点A在第一象限，
∴
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查的是关于y轴对称的点的坐标特点和各象限内点的坐标特点，根据题意得出关于x的不等式是解题的关键．
9．D
【分析】作点C关于的对称点，作点C关于的对称点，连接，分别交于点N，交于点M，连接；先根据四边形的内角和求出，再根据三角形的性质求出，最后根据轴对称的性质求出，即可进行解答．
【详解】解：作点C关于的对称点，作点C关于的对称点，连接，分别交于点N，交于点M，连接；
∵在四边形中，
∴，
∴在中，，
∵点C和点关于的对称，点C和点关于的对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，三角形的内角和，四边形的内角和，解题的关键是根据轴对称的性质确定点M和点N的位置．
10．C
【分析】作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′，交OM、ON于A、B，此时△PAB的周长最小，最小周长为A′B′，再根据三角形和四边形的内角和即可求出答案．
【详解】
作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′，交OM、ON于A、B，此时△PAB的周长最小，
∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称，
∴OM垂直平分A′P，ON垂直平分B′P，
∴A′A=AP，B′B=BP，
∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′，
∵A′P⊥OM，B′P⊥ON，
∴∠MON+∠A′PB′=180°，
∴∠A′PB′=180°-50°=130°，
在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-130°=50°，
∴∠A′PA+∠BP B′=50°，
∴∠APB=130°-50°=80°，
故选C．
【点睛】本题考查了垂直平分线和轴对称的相关知识，两点之间线段最短，还考到了三角形和四边形的内角和，灵活使用垂直平分线的性质并能作出辅助线是解决问题的关键．
11．0
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可列方程求解即可．
【详解】解：∵点和点关于轴对称，
∴，
解得，
故答案为：0
【点睛】此题考查了关于坐标轴对称的点的特征，熟知关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同是解题的关键．
12．1
【分析】直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，得出a，b的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：∵点 与点关于y轴对称，
∴ ，
∴，
则．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的性质、有理数的乘方运算，正确得出a，b的值是解题关键．
13．60°/60度
【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，
∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β），
∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β），
∴β﹣α＝60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题．
14．(1)见解析
(2)4
(3)图见解析，
【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数确定出A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 点P即为所求；设交y轴于Q，取，连接，利用进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：的面积；
故答案为：；
（3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 点P即为所求；设交y轴于Q，取，连接，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，轴对称最短路径问题，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)作图见详解
(4)作图见详解
【分析】（1）以为边作直角三角形，与交于点，连接并延长，到点，以为斜边，过点作直角三角形，可知，，，由此即可求解；
（2）作线段，连接交于点，连接，，即可求解；
（3）是的高，取格点，连接格点与点，有直角三角形，连接，有直角三角形，交于点，交于点，由题意可知，可证，即，即为所求高线；
（4）根据对称性，过作的对称点，连接交于点，可知，，，点的位置即为所求点．
【详解】（1）解：如图所示，
以为边作直角三角形，与交于点，连接并延长，到点，以为斜边，过点作直角三角形，可知，，且，，
∴，
∴，
∴即为所求平行线．
（2）解：如图所示，
作线段，连接交于点，连接，
∴，
∴，即点为中点，
∴即为所求中线．
（3）解：如图所示，
是的高，取格点，连接格点与点，有直角三角形，连接，有直角三角形，交于点，交于点，由题意可知，
根据作图，，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∴即为所求高线．
（4）解：如图所示，
根据对称性，过作的对称点，连接交于点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴点的位置即为所求点．
【点睛】本题主要考查格点与三角形的综合，掌握三角形的中线，高，平行线的画法，对称性的特点是解题的关键．
16．(1)画图见解析
(2)画图见解析，，
(3)画图见解析
【分析】（1）根据，，，在坐标系内描点，再顺次连接即可；
（2）分别确定A，B，C关于x轴对称的对应点，，，再顺次连接即可，再根据的位置可得其坐标；
（3）连接，交x轴于点P，则点P即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）如图，即为所求作的三角形；
根据的位置可得：．
（3）如图，点P即为所求；
由轴对称的性质可得：，
∴，此时最短．
【点睛】本题考查的是坐标系内描点，画关于x轴对称的图形，利用轴对称的性质作线段和取最小值时点的位置的确定，熟练的运用轴对称的性质进行作图是解本题的关键．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)
(4)4
【分析】（1）根据A，C两点坐标确定平面直角坐标系即可．
（2）利用轴对称的性质，分别作出A，B，C的对应点，，即可．
（3）根据（2）中所画图形写出即可．
（4）用割补法求解即可．
【详解】（1）如图，
（2）如图，即为所求．
（3）由图可知，．
故答案为：．
（4）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系，作图-轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形．
18．(1)
(2)①见解析；②见解析；③见解析
【分析】（1）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积即可得出答案；
（2）依据平移，旋转，轴对称的性质即可画出图形．
【详解】（1）△ABC的面积为：，
故答案为：；
（2）①如图，即为所求．
②如图，即为所求．
③如图，即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换，平移变换，全等变换等知识，熟练掌握网格中作图方法是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）分别找出点A、点B和点C的关于x轴的对称点，，，再连接，即可求解
（2）连接、、，观察图形可知，用来求解．
【详解】（1）解：根据题意画图如下：
（2）解：连接AC、，
则原封闭图形的面积．
【点睛】本题主要考查了对称图的画法，对称的性质，三角形的面积，找出对称点是解答关键．
20．(1)见解析
(2)（﹣1，1）；（﹣4，2）；（﹣3，4）
(3)3.5
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得到；
（2）根据所做的图形即可写出点，，的坐标；
（3）利用作差法即可求得的面积．
【详解】（1）根据点A、B、C的位置作出A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连结
如图，即为所要求作的图形；
（2）解：∵A1B1C1与ABC关于y轴成轴对称，且A（1，1），B（4，2），C（3，4），
∴A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）；
（3）解：ABC的面积为3×3﹣﹣﹣
＝9﹣1.5﹣1﹣3
＝3.5．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换、图形与点的坐标、求三角形面积，熟练掌握轴对称的性质作图是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)；；
(3)
【分析】（1）根据题意找到关于轴的对称点，，，顺次连接即可，
（2）根据（1）写出，，的坐标即可；
（3）根据坐标与网格的特点用长方形减去三个三角形的面积求解即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：由图可知
（3）解：
【点睛】本题考查了画轴对称图形，关于轴对称的点的坐标，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)
【分析】（1）确定关于y轴的对称点，连线即可得到；
（2）如图，延长至点，作轴，且，连接交于点，即为所求；
（3）连接交轴于一点，连接点和该点并延长，与的交点，即为；
（4）根据题意，画出图形，即可得解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图：即为所求；
如图，延长至点，作轴，且，连接交于点，
由图可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴，
∴即为所求；
（3）如图：连接交y轴于一点，连接点A和该点并延长，与的交点，即为点；
如图，与交于点，
∵与关于轴对称，
∴，，
∴，，即：，
∵，
∴，
∴与为对应点，即：即为所求；
（4）解：如图：与有一条公共边且与成轴对称的格点三角形，共有4个．
【点睛】本题考查无刻度直尺画图．熟练掌握成轴对称的特征，以及全等三角形的判定和性质，是解题的关键．
23．(1)图见解析， ， ，
(2)，，
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特点可得顶点的坐标分别为 ， ，，描点、连线即可得；
（2）根据全等三角形的判定，即可得．
【详解】（1）解：∵顶点的坐标分别为、、，与关于y轴对称，
∴顶点的坐标分别为 ， ，，
如图所示，
（2）解：如图所示：
∵与全等（D点与不重合），
∴点，，．
【点晴】本题考查轴对称的性质，三角形全等的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
24．(1)△ACB是直角三角形，理由见解析；
(2)作图见解析，8；
(3)．
【分析】（1）求出各线段长，利用勾股定理逆定理可得答案；
（2）作出图形，利用三角形的面积公式可得答案；
（3）先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短，利用三角形的面积可得答案．
【详解】（1）△ACB是直角三角形，
∵AC2=5，BC2=20，AB2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ACB是直角三角形；
（2）如图所示：
△CDB的面积为：×CD×4=×4×4=8，
故答案为：8；
（3）如图所示：先取C点关于AB的对称点D，再取格点E，则ED⊥BC，连接ED交AB于P，交BC于Q，此时PC+PQ最短，
∵，
∴，
∴DQ=，
∴CP+PQ的最小值，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了作图--轴对称变换，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形．
25．(1)△ABC关于y轴对称的△A1B1C1见解析；，，
(2)
(3)见解析
【分析】（1）作出点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，然后顺次连接即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，写出△A1B1C1三个顶点的坐标即可；
（2）根据网格利用割补法即可求出△A1B1C1的面积；
（3）取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即可使PA＋PC最小．
【详解】（1）解：作出点A、B、C关于y轴对称的对应点、、，然后顺次连接，则△A1B1C1即为所求作的三角形，如图所示：
点，，．
（2）△A1B1C1的面积可以利用△A1B1C1所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积，则：
＝2×3 ×1×2 ×1×2 ×1×3＝．
故答案为：．
（3）如图，取点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求．
【点睛】本题考查了作图 轴对称变换，轴对称 最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．13.3.1 等腰三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，中，，，，若，则的度数为（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
2．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）如图，，下列条件不能判定△ACD与△BCD全等的是（ ）
A． B．
C． D．点O是AB的中点
3．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣3，2），点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）
A．4个 B．5个 C．7个 D．8个
5．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，已知，，，，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，为内一点，平分，，垂足为，交于点，，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，等腰直角三角形中，，是的中点，于点，交的延长线于点，若，则的面积为（ ）
A．40 B．46 C．48 D．50
8．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）若等腰三角形的两边长分别是2和10，则它的周长是（ ）
A．14 B．22 C．14或22 D．12
二、填空题
9．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则
10．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，分别是的高和角平分线，与相交于G，平分交于E，交于M，连接交于H，且．
有下列结论：①；②；③；④．
其中，正确的结论有 ．（填序号）
11．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，在中，的垂直平分线交于，的垂直平分线交于，连接、，若，则 °．
12．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，平分，平分，过点作，分别与，相交于点，，若的周长为18，的周长为12，则的长是 ．
13．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）等腰三角形的底边长为，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为，则腰长是 ．
三、解答题
14．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）在中，，是直线上一点，以为一条边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图，当点在延长线上移动时，若，则_______．
(2)设，．
当点在延长线上移动时，与之间有什么数量关系？请说明理由；
当点在直线上（不与，两点重合）移动时，与之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．
15．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，中，，D、E分别是AC、AB上的点，且，连接BD、CE交于点P．
(1)求证：；
(2)连接PA，求证：AP垂直平分BC．
16．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）如图1，点C在线段AB上，点D，E分别在AB的上方和下方，且，，______．
(1)请你从①，②中选择一个合适的条件填入上述横线中，使得（只填序号），并给出证明；
(2)在（1）的条件下，连接DE，作平分交DE于点F，如图2，试判断CF与DE的位置关系，并给出证明．
17．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图1，的两条外角平分线，相交于点，．
(1)直接写出的大小；
(2)如图2，连接交于．
①求的大小；
②如图3，作于F，若，求证：．
18．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，中，，AD是角平分线，CE是高，CE交AD于点F．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)过点D作于点G，连接FG，求证：．
19．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．
20．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式．
（1）求、的长；
（2）求点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）请按要求用无刻度的直尺作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)在图1平面直角坐标系中找一个格点，使；
(2)在图1中作的垂直平分线；
(3)点是轴的一点，若的和最小，请在图2中找到符合条件的点；
(4)在图3中，作出的高线．
22．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，，，，满足，点与点A关于轴对称．
(1)请直接写出，两点的坐标；
(2)如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交轴于点，连接，求证：；
(3)如图，点为y轴上一动点，点在直线上，以为直角边向右侧作等腰，若连接E，，三点按逆时针顺序排列恰好围成一个等腰直角三角形，请直接写出符合要求的的值为______ ．
23．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，已知，轴于B，且满足．
(1)求A点坐标；
(2)分别以为边作等边和，如图1，试判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3)如图2，若P为y轴上异于O和B的一个动点，连接，过P作，且，连接，射线交延长线于Q，当P点在y轴上移动时，线段的值是否发生变化，若不变化，求出的值；若变化，请说明理由．
24．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）已知：如图，在平面直角坐标系中，点、点分别在轴、轴的正半轴上，点在第一象限，，，点坐标为，点横坐标为，且．
(1)分别求出点，点，点的坐标；
(2)如图，点为边中点，以点为顶点的直角两边分别交边于，交边于，
①求证：；
②求证：；
(3)在坐标平面内有点（点不与点重合），使得是等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点的坐标．
25．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）在中，，，点O为的中点．
(1)若，两边分别交于E，F两点．
①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；
②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则 ．
(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．
26．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边AC交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E．
(1)如图（1），已知C点的横坐标为-1，直接写出点A的坐标；
(2)如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE．求证：∠ADB=∠CDE；
(3)如图（3），若点A在x轴上，且A（-4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连结CD交，轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请求出BP的长度．
27．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，，D为AB上一点，，，垂足分别为E，F，且．
(1)求证：为等腰直角三角形；
(2)若，，求EF的长．
28．（2022秋·湖北咸宁·八年级统考期末）如图（1），点C在线段AB上，∠A＝∠B，AD＝BC，AC＝BE．
(1)判断△CDE的形状并说明理由；
(2)若∠A＝70°，求∠CDE的度数；
(3)根据（1）（2）的经验，解决下列问题：
如图（2），在正方形网格中，E是AB边上的一个格点（小正方形的顶点），请画△EFG，使△EFG是三个顶点均为格点的等腰直角三角形，且点F在AD边上，点G在BC边上．（不写画法）
参考答案：
1．B
【分析】根据等腰三角形的性质可得，再证明，得出，根据，，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明全等三角形是解题的关键．
2．C
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，CD=CD，
∴A、可以利用边边边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
B、可以利用边角边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
C、不能判定△ACD与△BCD全等，故本选项符合题意；
D、因为点O是AB的中点，所以，可以利用边角边判定△ACD与△BCD全等，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
3．B
【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论即可．
【详解】解：如图所示：
故选：B．
【点睛】本题考查了的等腰三角形的判定，解题的关键是根据等腰三角形的性质讨论腰．
4．C
【分析】由题意知A，B是定点，C是动点，所以要分情况讨论：以AC、AB为腰；以AC、BC为腰；以BC、AB为腰，满足条件的点C即为所求，分别以A,B为圆心作圆，作AB的垂直平分线,则圆与坐标轴的交点，垂直平分线与坐标轴的交点符合题意．
【详解】解：如图，分别以A,B为圆心作圆，作AB的垂直平分线,则圆与坐标轴的交点，垂直平分线与坐标轴的交点符合题意，其中I,A,B三点共线，则除点I以外的7个点符合要求．
满足条件的点C个数是图中的C、D、E、F、G、H，J共计7个点．
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与坐标与图形的性质，分类别寻找正确答案为关键．
5．A
【分析】根据三角形的内角和得到∠ACB＝40°，根据全等三角形的性质即可得到正确的选项．
【详解】解：A．由，，得，故选项正确，符合题意；
B．∠A＝60°，∠ABC＝80°， 由三角形内角和得到∠ACB＝40°，由△ABC≌△DCB，得到∠DBC＝∠ACB＝40°，故选项错误，不符合题意；
C．由，得，∠A＝60°，∠ABC＝80°， 由三角形内角和得到∠ACB＝40°，所以，故选项错误，不符合题意；
D．由以上可知∠DBC＝40°，又由∠ABC＝80°，所以∠ABE＝∠ABC—∠DBC＝40°，由三角形内角和为180°，∠A＝60°，得到∠AEB=80°，所以BE≠AB，即BE≠10，故选项错误，不符合题意．
故答案选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形的内角和，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
6．C
【分析】根据题意可得为等腰三角形，，，即可求解．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，即为等腰三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握掌握相关基本性质．
7．C
【分析】先得出，根据可证，推出；然后可得出，进而得到长，求出、长；再根据三角形的面积公式得出的面积等于，代入求出即可．
【详解】，
，
，
，
，，，
．
在和中
，
，
．
，为中点，
．
，
，
，
，
的面积是．
故选：C．
【点睛】考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．
8．B
【分析】按2或10分别是腰分类讨论，然后再验证三边能否构成三角形．
【详解】解：当2为等腰三角形的腰时，此时三角形三边分别为2、2、10，显然不能构成三角形，故舍去；
当10为等腰三角形的腰时，此时三角形三边分别为10、10、2，能构成三角形，此时三角形的周长为2+10+10=22，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义及构成三角形的条件，属于基础题，注意分类讨论．
9．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点，
，
，，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边对等角,解题的关键是综合这些性质．
10．①②④
【分析】由“双角平分线模型” 可得；先证，从而易得出，再利用互余得，所以；表示和的度数，可得相加等于定角；由可得，从而得；延长交于点，先证得出，从而得到．
【详解】如图：
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
在中，，
∴，
∴．故①正确；
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
在和中，，
∴（AAS）．
∴．
∵平分，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴（ASA）．故②正确；
∴，
∵，且，
∴．故④正确；
延长交于点N，
∵，
∴，
在和中，，
∴（ASA）．
∴，
∴，
∴，故③错误．
所以正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题是几何综合题，主要考查了双角平分线模型、三角形内角和、全等三角形、等腰三角形的性质．
11．85
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形得内角和定理即可得到结论．
【详解】∵的垂直平分线交于，
∴，
∵的垂直平分线交于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：85．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
12．6
【分析】根据平分平分，且，结合等角对等边可证得，得到三角形的周长，根据的周长即可求得．
【详解】解：∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据角平分线的定义及平行线的性质证得是解决问题的关键．
13．或
【分析】首先根据题意画出图形，由题意可得：或，据此计算即可求得答案．
【详解】解：如图，，是中线，
根据题意得：或，
则或，
∵，
∴或．
∴腰长为：或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，注意根据题意得到或是关键．
14．(1)
(2)①，理由见解析；②或
【分析】（1）证，推出，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①证，推出，根据三角形外角性质求出即可；
②分当D在线段上时，当点D在线段反向延长线上时，当点D在线段的延长线上时三种情况讨论，根据三角形外角性质求出即可．
【详解】（1）解：，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①解：当点在线段的延长线上移动时，与之间的数量关系是，理由是：
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，
，，
；
②分三种情况：
i）当D在线段上时，如图2，，
理由是：同①可证明：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
ii）当点D在线段反向延长线上时，如图3，．
如图3，同①可证明：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
iii）当点D在线段的延长线上时，如图1，．
综上，当点D在上移动时，或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）只需要证明△CBE≌△BCD即可得到∠BEC=∠CDB；
（2）只需要证明△BEP≌△CDP得到BP=CP，则点P在线段BC的垂直平分线上，再由AB=AC，得到点A在线段BC的垂直平分线上，则AP垂直平分BC．
【详解】（1）解：∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AE=AC-AD，即BE=CD，∠CBE=∠BCD，
在△CBE和△BCD中，
，
∴△CBE≌△BCD（SAS），
∴∠BEC=∠CDB；
（2）解：由（1）得∠BEC=∠CDB；
在△BEP和△CDP中，
，
∴△BEP≌△CDP（AAS），
∴BP=CP，
∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴AP垂直平分BC．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
16．(1)选择②，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据“边角边”可判定三角形全等，添加的条件为，然后证明即可；
（2）根据全等三角形的性质可知，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明CF与DE的位置关系即可．
【详解】（1）选择②．
证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）．
证明：∵，
∴，
∵CF平分，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质等知识，熟练掌握全等三角形全等的判定方法是解题关键．
17．(1)
(2)①；②见解析
【分析】（1）利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和的性质，及角平分线的定义与三角形内角和定理计算即可．
（2）①运用角平分线的性质定理及角平分线的判定定理可证为的平分线，即可计算；
②过点作交于，构造几个等腰三角形：，，，再利用等腰三角形的性质即可证明．
【详解】（1），，
．
（2）①过点作于，于，于，
∵，分别平分，，
∴，
∴
∴平分，
∵，
∴，
②∵，，
∴，
∵，
∴
∴
过点作交于，
∴
∴，
∴
，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题综合考查了等腰三角形与角平分线性质，关键要掌握三角形的内角和定理，灵活运用角平分线性质及等角对等边判定边之间的等量关系，第2问辅助线的作法有一定的技巧．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）过点F作FH⊥AC于点H，依据“HL”证明，得出，证得，即可得出，从而得出△CDF是等腰三角形；
（2）先证明，得出FC=FG，结合（1）即可得出DG=FG．
【详解】（1）证明：过点F作FH⊥AC于点H，如图所示：
∵CE⊥AB，AD平分∠BAC，
∴FE=FH，
在Rt△AFE和Rt△AFH中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD=CF，
即△CDF是等腰三角形；
（2）∴AC⊥BC，
∵DG⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DG=DC，
在Rt△ADC和Rt△ADG中，
∴，
∴AC=AG，
∵在和中，
∴，
∴FC=FG，
∵CD=DG=CF，
∴DG=FG．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
19．证明见解析
【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【详解】∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF=∠GFE，
∴EG=FG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
20．（1）OA=4，OC=3；（2）；（3）存在，，，
【分析】（1）由平方的非负性、绝对值的非负性解题；
（2）作轴与点D，，再由全等三角形的对应边相等性质解题；
（3）分三种情况讨论，当当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，或当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC=5，或当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP时，根据等腰三角形的性质解题．
【详解】解：⑴由.可知，
，
∴.
⑵作轴与点D，
⑶存在.
当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则为等腰三角形，
， ；
所以存在，点P或或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、绝对值的非负性、平方的非负性、勾股定理、分类讨论等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】（1）根据网格特点，可证，为等腰直角三角形，故，即点为所求的点；
（2）作格点、，连接交于点，作的中点，则过、的直线即为所求直线；
（3）作点关于轴的对称点 ，连接 交轴于点 ，即为所求的点；
（4）作格点、、，连接交于点，作出直线交于点，连接，即作出的高线．
【详解】（1）解：点 即为所求的点；
（2）解：直线即为所求直线；
（3）解：点 即为所求的点；
（4）解：即为所求的高线
【点睛】本题主要考查作图，掌握三角形的全等，垂直平分线的性质，高线的性质是解题的关键．
22．(1)，
(2)见解析
(3)1或2或3
【分析】（1）由非负数的性质列方程求出、的值即可；
（2）作，交轴于点，先证明，再证明，即可证明，再结合即可证明；
（3）作轴于点，证明 ，证明，，得出，得出，；分三种情况：①当时，②当时， ③当时，分别求出m的值即可．
【详解】（1）解：，
，，
，，
解得，，，
，，
，关于轴对称，
；
（2）证明：如图，作，交轴于点，则，
点A、关于轴对称，
∴轴是线段的垂直平分线，
，
∵与是等腰直角三角形，
，
∴，
∴，
，，且，
，
，
，又
，
，又
，
，
∵，
∴．
（3）解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
如图，作轴于点，则，
，，
∴，
，，
，
，；
①当时，如图2，
∵为等腰直角三角形，点为y轴上一动点，点在直线上，
∴此时点F与点B重合，点G与点C重合，
∴；
②当时，点F与点B重合，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点C为B、G的中点，
∴，
解得：；
③当时，过点E作轴于点M，过点G作轴于点N，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，m的值为1或2或3，
故答案为：1或2或3．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查非负数的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平面直角坐标系、轴对称的性质等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形，解第（3）题时应注意分类讨论．
23．(1)
(2)，
(3)6
【分析】（1）利用非负数的性质求出，的值，可得结论；
（2）证明，推出，，可得结论；
（3）如图2中，过点作轴于点，在上截取，连接．证明，推出，可得结论．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
；
（2）结论：，．
理由：，都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
轴，
，
，
，
，；
（3）结论：是定值．
理由：如图2中，过点作轴于点，在上截取，连接．
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，非负数的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．(1)点，点
(2)①见解析；②见解析
(3)满足条件的点的坐标为或或或或
【分析】（1）利用配方法解方程得出点，点的坐标，再构造三垂直得出点的坐标即可．
（2）①连接，证明≌即可．②由全等得到，从而得到，再通过解题即可．
（3）分别讨论,构造三角形全等求点坐标即可．
【详解】（1）解：．
，
，，
点，，
如图，过点作，，
，，，
四边形是矩形，
，，，
，
，且，，
≌
，，
点，点；
（2）证明：如图，连接，
，，点为边中点，
，，
，
，且，，
≌
，
≌，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
若，时，且点在下方，过点作，过点作，
，，
，且，，
≌，
，，
，
点，
若，时，且点在上方，
同理可求点，
若，时，点在上方，
同理可求点，
当为斜边时，或，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或或．
【点睛】本题主要考查三角形全等的运用，能够熟练构造辅助线通过三角形全等得到边的等量关系是解题关键．
25．(1)①见解析；②18
(2)2
【分析】（1）①由“”可证，可得；
②由“”可证，可得，即可求解；
（2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）①证明：如图1，连接，
∵，，
∴.
∵点O为的中点，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：如图2，连接，
同理可证：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：18；
（2）解：如图3，连接，过点O作，交的延长线于点H，
∵，，点O为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26．(1)A（0，1）；
(2)见解析；
(3)不变，BP= 2．
【分析】（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，构建全等三角形：△ACF≌△ABO（AAS），结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；
（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△ABD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G，由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，从而得到结论；
（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E，构建全等三角形：△CBE≌△BAO（AAS），结合全等三角形的对应边相等推知：CE=BO，BE=AO=4．再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPE≌△DPB，故BP=EP=2．
【详解】（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，
∵CF⊥y轴于点F，
∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠BAO=90°，
∴∠ACF=∠BAO，
在△ACF和△ABO中，
，
∴△ACF≌△ABO（AAS），
∴CF=OA=1，
∴A（0，1）；
（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，
∵CG⊥AC，
∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠AGC=∠ADO，
在△ACG和△ABD中，
，
∴△ACG≌△ABD（AAS），
∴CG=AD=CD，∠ADB=∠G，
∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，
∴∠DCE=∠GCE=45°，
在△DCE和△GCE中，
，
∴△DCE≌△GCE（SAS），
∴∠CDE=∠G，
∴∠ADB=∠CDE；
（3）BP的长度不变，理由如下：
如图（3），过点C作CE⊥y轴于点E．
∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABO=90°．
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE=∠BAO．
∵∠CEB=∠AOB=90°，AB=AC，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∴CE=BO，BE=AO=4．
∵BD=BO，
∴CE=BD．
∵∠CEP=∠DBP=90°，∠CPE=∠DPB，
∴△CPE≌△DPB（AAS），
∴BP=EP=2．
【点睛】本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．
27．(1)见解析
(2)7
【分析】（1）根据，，得出， 也可以得出， 即可证明，根据全等三角形的对应边相等，得出，又因为，即可证明为等腰直角三角形．
(2) 由（1）可得，根据全等三角形对应边相等得出，因为，，根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形．
（2）由（1）可得
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
28．(1)△CDE是等腰三角形，理由见解析
(2)55°
(3)见解析
【分析】（1）结论：△CDE是等腰三角形，利用全等三角形的性质证明即可；
（2）利用全等三角形的性质解决问题即可；
（3）根据等腰直角三角形的判定画出图形即可，利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】（1）结论：△CDE是等腰三角形．
理由：在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS），
∴CD＝CE，
∴△CDE是等腰三角形；
（2）∵△ADC≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BCE，
∵∠DCB＝∠A＋∠ADC＝∠DCE＋∠ECB，
∴∠DCE＝∠A，
∵∠A＝70°，
∴∠DCE＝70°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝55°；
（3）如图，即为所求；
在△AEF和△BGE中，
，
∴△AEF≌△BGE（SAS），
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查三角形综合题，作图--应用与设计，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．13.3.2 等边三角形 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，D是线段AC上一点（不与点A，C重合），连接BD，点E，F分别在线段BA，BC的延长线上，且DE=DF=BD，则△AED的周长等于( )
A． B．BF C． D．
2．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB上一点（可移动），连接OP，以线段OP为一边作等边△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
4．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，点M在等边的边BC上，，射线，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当的值最小时，，则AC的长为（ ）
A．无法确定 B．10 C．13 D．16
5．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，将等边△ABC折叠，使得点C恰好落在边AB上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD=2，AB=6，则△OBD周长的最小值是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
6．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．
8．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，，点在外，连接，，，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，等边三角形与等边三角形 ，连接 、，的延长线与交于点 F，连接，有以下四个结论：①；②平分；③；④．其中一定正确的结论有（ ）
A．1个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
10．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，等边中，点D，E，F分别是边，，延长线上一点，且，连接，，，则 ．
11．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，等边中，，M是高所在直线上的一个动点，连接，将线段点B逆时针旋转60°得到，连接．在点M运动过程中，线段长度的最小值是 ．
12．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，，，三点在同一直线上，和均为等边三角形，连结，，若，那么 ．
13．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）如图，在中，，，以为边在的右侧作等边，点为的中点，点为上一动点，连结，，当的值最小时：①的度数为 ；②若，则的面积为 ．
14．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，CD是的高，．，则的长是 ，的长是 ．
15．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝5cm，P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，则△ACP周长的最小值为 cm．
三、解答题
16．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，等边中，点D、E分别在、的延长线上，，连接并延长交于点F，，交的延长线交于一点G．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)当为等腰三角形时，求的值．
17．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点．
(1)求证：：
(2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值；
(3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围．
18．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）如图，在等边中，为上一点，，且．
(1)如图1，若点在边上，求证：；
(2)如图2，若点在内，连接CE，F为的中点，连接，求证：．
19．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，，交于点P，，垂足为点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）已知△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．
(1)如图①，点D在线段BC上移动时，求证：；
(2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，猜想∠DCE的大小是否发生变化．若不变请求出其大小；若变化，请说明理由．
21．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在第一象限，为等边三角形，点C为y轴上一动点，以AC为边在AC下方作等边，连接BC，OP．
(1)如图1，当点C在y轴正半轴上时，求证：；
(2)如图2，当点C在y轴负半轴上时，请在图2中补全图形，并判断（1）中的结论是否还成立？并说明理由；
(3)设点P的横坐标为m，根据上述探究，请问OP的长是否有最小值？若有，直接写出OP长的最小 值及此时m的值；若没有，请简要说明理由．
22．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）如图，在中，，，点为内一点，且．
(1)求证：；
(2)，为延长线上的一点，且．
①求证：平分；
②若点在上，且，请判断、的数量关系，并给出证明；
23．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，，．
(1)直接写出点A的坐标___________．
(2)如图2，点D为的中点，点P为y轴负半轴上一点，以为边作等边，点Q在第一象限，连接并延长交x轴于点M．
①求证：；
②求点M的坐标．
(3)如图3，点C与点A关于y轴对称，点E为的中点，连接，过点B作，且，连接交于点G，求的值．
24．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）是等边三角形，D是边（端点除外）上一动点，连接．
(1)如图1，以为边作等边，连接．
①求证：；
②，F为的中点，连接，当的长取最小值时，求的长．
(2)如图2，M是延长线上的点，，N为的中点，连接，求证：．
25．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，在中，，垂足为G，且，连接．E，F分别是边上的点，连接，且．
求证：
(1)是等边三角形；
(2)．
26．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；
(2)如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．
27．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）我们学习等边三角形时得到特殊直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，∠ABC=30 ，则（人教2013年6月第1版教材81面）．
(1)如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为 ．
(2)如图（2），是△ABC的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边△ADP，且点P在∠ACB的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
(3)当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？画图并直接写出答案即可．
28．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）已知四边形 中，，，，，，将绕点旋转．
(1)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且，求证：；
(2)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且时，小颖猜想中的仍然成立，并尝试作出了延长至点，使，连接，请你证明小颖的猜想；
(3)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想．
29．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）在Rt△中，，∠，点是上一点．
(1)如图，平分∠，求证；
(2)如图，点在线段上，且∠，∠，求证；
(3)如图3，BM⊥AM，M是△ABC的中线AD延长线上一点，N在AD上，AN＝BM，若DM＝2，则MN＝ （直接写出结果）．
参考答案：
1．D
【分析】利用等边三角形的性质和三角形外角的性质证明∠F=∠ADE，再利用AAS证明△ADE≌△CFD，得AE=CD，从而解决问题．
【详解】解：∵DE=DF=BD，
∴∠DBE=∠BED，∠DBF=∠DFB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠E+∠F=60°，∠EAD=∠DCF，
∵∠E+∠ADE=60°，
∴∠F=∠ADE，
在△ADE和△CFD中，
∵
∴△ADE≌△CFD（AAS），
∴AE=CD，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+DE，
∵DE=BD，
∴△AED的周长为AC+BD，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△ADE≌△CFD是解题的关键．
2．B
【分析】如图，通过观察，寻找未知与已知之间的联系．AO=1，则OC=2．证明△AOP≌△COD求解即可．
【详解】解：∵△ABC和△ODP都是等边三角形，
∴∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，
∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，
∴∠CDO=∠AOP，
∴△ODC≌△POA（AAS），
∴AP=OC，
∴AP=OC=AC﹣AO=2．
故选：B．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是利用全等把所求的线段转移到已知的线段上．
3．B
【分析】先根据等边三角形的性质、线段和差可得，再连接，根据折叠的性质可得，从而可得的周长为，然后根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，由此即可得．
【详解】解：是等边三角形，且，
，
，
，
如图，连接，
由折叠的性质得：，
则的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，
则周长的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
4．C
【分析】根据等边三角形的性质得到AC=BC，∠B=60°，作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据直角三角形的性质得到BG=2BN=18，求得MG=10，据此即可解答．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
如图：作点M关于直线CD的对称点G，过G作GN⊥AB于N，交CD于P，
则此时，MP+PN=GN的值最小，
∵∠B=60°，∠BNG=90°，
∴∠G=30°，
∵BN=9，
∴BG=2BN=18，
∴MG=BG-MB=18-8=10，
∴CM=CG=5，
∴AC=BC=BG-CG=18-5=13，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
5．B
【分析】利用轴对称的性质：△OBD周长为OD+OB+BD=OD+OC+BD，而BD=4，若周长最小，只要OB+OC最小，即B，O，C三点共线即可．
【详解】解：连接OC，OD，OB，如图：
∵将等边△ABC折叠，使得点C恰好落在边AB上的点D处，折痕为EF，
∴C、D关于EF对称，
∴OC=OD，
∵AD=2，AB=6，
∴BD=4，
∴C△OBD=OD+OB+BD=OC+OB+BD=OC+OB+4，
∴当B、O、C三点共线，即O与F重合时，△OBD周长最小值为BC+4=10，
故选：B．
【点睛】本题考查了等边三角形中的翻折变换，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
6．C
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，
∵BD是AC边上的高，
∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键．
7．D
【分析】根据作图过程及所作图形可知，得出△BCD是等边三角形；又因为，，推出，继而得出；根据，，可知AD为的角平分线，根据三线合一得出AD垂直平分BC；
四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和，为．
【详解】解：∵
∴△BCD是等边三角形
故选项B正确；
∵，
∴
∴
故选项A正确；
∵，
∴据三线合一得出AD垂直平分BC
故选项C正确；
∵四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和
∴
故选项D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大．
8．C
【分析】以为边，在内作，连接，先利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质求出说明，再说明是等边三角形、是等腰三角形，最后通过说明是等腰三角形得结论．
【详解】解：如图，以为边，在内作，连接．
，，
．
在中，
，，
．
．
，，
．
，，
．
．
．
．
．
，
是等边三角形．
，．
．
．
．
．
，
．
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形，掌握等腰三角形的性质与判定、三角形的内角和定理等知识点是解决本题的关键．
9．D
【分析】①根据等边三角形的性质证出，可得，从而得出①正确；
②过A作于M，过A作于N，由得出，由等角的补角相等得出，由可证，得到，由角平分线的判定定理得到平分，从而得出②正确；
③在上截取，使，求出即可得出，得出③正确
④根据全等三角形的判定与性质得出，可得，即可求得，从而得出④正确．
【详解】解：①∵和是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，①正确；
②过A作于M，延长，过A作于N，如图1．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，，
∴平分，②正确；
③在上截取，使，如图2．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④∵平分，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，④正确；
综上分析可知，正确的有4个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线，构造全等三角形，是解答本题的关键．
10．
【分析】连接，证明，设，再由，推导出，则，得．
【详解】解：连接，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
同理，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，根据“等高三角形面积的比等于底边的比”推导出是解题的关键．
11．3
【分析】取BC的中点G，连接MG，从而得出BG=CG=6，根据旋转的性质可得BN=BM，∠MBN=60°，然后根据等边三角形的性质可得AB=BC，BH=，∠ABC=60°，∠BCH=30°，然后利用SAS证出△NBH≌△MBG，从而得出HN=GM，故HN的最小值即为GM的最小值，根据垂线段最短，即可当GM⊥CH时，GM最小，求出此时的GM即可．
【详解】解:如图，取BC的中点G，连接MG
∴BG=CG==6
由旋转的性质可得BN=BM，∠MBN=60°
∵等边中，CH为AB边上的高
∴AB=BC=12，BH=，∠ABC=60°，∠BCH=
∴BH=BG，∠MBN=∠ABC
∴∠MBN－∠MBA=∠ABC－∠MBA
∴∠NBH=∠MBG
在△NBH和△MBG中
∴△NBH≌△MBG(SAS)
∴HN=GM
∴长度的最小值即为GM长度的最小值
根据垂线段最短，当GM⊥CH时，GM最小
此时在Rt△CGM中，∠GCM=30°
∴GM=
即长度的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查的是旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、求线段的最小值和直角三角形的性质，掌握旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、垂线段最短和30°所对的直角边是斜边的一半是解决此题的关键．
12．/21度
【分析】由等边三角形的性质得出，根据 可求出答案．
【详解】解：是等边三角形，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
13． 15°
【分析】①连接AD交CE于Q，连接BQ，由等边三角形的轴对称性知CE是BD的垂直平分线，得BP=DP，则当点P与Q重合时，AP+BP的值最小，即可解决问题．
②过点D作DH⊥AC于点H．则∠DCH=∠CAD+∠CDA=15°+15°=30°，所以求得DH的长，即可求出△ACD的面积．
【详解】①连接AD交CE于Q，连接BQ，
∵△BCD是等边三角形，点E是BD的中点，
∴CE是BD的垂直平分线，
∴BP=DP，
∴当点P与Q重合时，AP+BP的值最小，
∵AC=BC，BC=CD，
∴AC=CD，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD=90°+60°=150°，
∴∠CDA=15°，
由等边三角形的轴对称性可知：∠CBQ=∠CDQ=15°，
∴∠CBP=15°，
故答案为：15°．
②如图.过点D作DH⊥AC于点H．
∵∠DCH=∠CAD+∠CDA=15°+15°=30°，
∴，
∴ACD的面积=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题等知识，明确AP+BP的最小值为AD长是解题的关键．
14． 4 6
【分析】求，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半进行求解．求出的长，再根据推出，根据30°所对的直角边等于斜边的一半推出，进而推出．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵，CD是的高，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4，6．
【点睛】本题考查了在根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。解题的关键是找到题目中的直角三角形和30°的角．
15．15
【分析】因为BC的垂直平分线为DE，所以点C和点B关于直线DE对称，所以当点动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，再结合题目的已知条件求出AB的长即可．
【详解】解：如图，
∵P为BC边的垂直平分线DE上一个动点，
∴点C和点B关于直线DE对称，
∴当动点P和E重合时则△ACP的周长最小值，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=5，
∴AB=2AC=10，
∵AP+CP=AP+BP=AB=10，
∴△ACP的周长最小值=AC+AB=15，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线的问题以及垂直平分线的性质，正确确定P点的位置是解题的关键，确定点P的位置这类题在课本中有原题，因此加强课本题目的训练至关重要．
16．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等边三角形得到，推出，再利用证明；
（2）根据全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出的度数；
（3）由∵为等腰三角形得到，推出，根据全等三角形的性质求出，得到，再求出，得到，即可求值．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)2或8
(3)或
【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论；
（2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论；
（3）借助（2）的结论即可得出范围．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴
在和中，
∴；
（2）如图，由（1）知，，
∵为直角三角形，
①当时，
∵，
∴，
②当时，即，
∴，
即是直角三角形时，或8.
（3）∵为钝角三角形，
∴当时，，
②当时，．
即：是钝角三角形时，或．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出．
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由和是等边三角形，易证是等边三角形，从而得到，继而可得点是的中点，然后可得点是的中点，可得结论；
（2）延长至点，使得，连接、、，由为的中点可得，结合易证，从而得到，，即得到，由平行线的性质可得，继而可得，结合，易证，由全等三角形的性质可得，结合，即可求证结论．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点是的中点，
∴点是的中点，
∴；
（2）如图，延长至点，使得，连接、、，
则，
∵为的中点，
∴，
∴（），
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴（），
∴，
∵，
∴，
【点睛】本题考查全等三角形的判定及其性质、等边三角形的性质、平行线的判定及其性质，等腰三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
19．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据为等边三角形，证明，即可证明；
（2）结合（1）证明为直角三角形，，根据，即可求的长．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
20．(1)见解析
(2)点D在线段BC的延长线上移动时，∠DCE=60°，大小不发生变化，理由见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，从而得到∠BAD=CAE，即可求证；
（2）根据等边三角形的性质可得∠DAE=∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，从而得到∠ACD=120°，∠BAD=∠CAE，可证得△ABD≌△ACE，从而得到∠ABD=∠ACE=60°，即可求解．
【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE；
（2）解∶点D在线段BC的延长线上移动时，∠DCE=60°，大小不发生变化，理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠ACD=120°，∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE；
∴∠ABD=∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACD-∠ACE=120°-60°=60°．
即点D在线段BC的延长线上移动时，∠DCE=60°，大小不发生变化．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)成立，证明见解析
(3)有最小值，最小值为3，此时m的值为
【分析】（1）根据SAS证明即可得出结论；
（2）根据题目提供的条件补全图形，方法同（1）可得出；
（3）由△AOP≌△ABC，推出OP=BC，推出当BC的值最小时，OP的值最小，当BC⊥y轴时，BC的值最小，最小值为3；证明∠AOB+∠AOP=180°，B、O、P三点共线，所以根据直角三角形30°角的性质可得结论．
【详解】（1）在等边和等边中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）补全图形（如图）
（1）中的结论仍然成立；
证明：同（1）可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）∵△AOP≌△ABC，
∴OP=BC，
∴当BC的值最小时，OP的值最小，
当BC⊥y轴时，BC的值最小，最小值为3，
∴OP的最小值为3．
四边形ABCO中，∠BCO=∠COA=90°，∠BAO=60°，过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示：
∴∠ABC=∠AOP=120°，
∵∠AOB=60°，
∵∠AOB+∠AOP=180°，
∴B、O、P三点共线，
∴，
∵∠PDO=90°，
∴，
∴OD=OP=BC=，
∴m=．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
22．(1)见详解
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）由线段垂直平分线的判定可得结论；
（2）①由“”可证，可得，可求，可得结论；
②由“”可证，可得；
【详解】（1）证明：，，
垂直平分线段，
；
（2）①证明：，
，
又，
，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
平分；
②解：结论：，
理由：连接，
，，
为等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．(1)
(2)①见解析，②点M的坐标为
(3)
【分析】（1）根据得出，从而求出，即可进行解答；
（2）①根据等边三角形的性质可得，，进而得出，用即可求证；②根据可得，则，即可求解；
（3）过点F作轴，延长，交于点H，先证明得出，再证明，则，，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
故答案为：．
（2）∵点D为中点，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
则，
在和中，
，
∴；
②由①可得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点M的坐标为．
（3）过点F作轴，延长，交于点H，
∵点C与点A关于y轴对称，，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∵E为的中点，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定并正确的添加辅助线是解题的关键．
24．(1)①见解析；②
(2)见解析
【分析】（1）①根据等腰和的性质证明，则；
②根据可得，再根据垂线段最短和含的直角三角形的性质求解即可；
（2）过点A作交的延长线于点P，连接，分别证明和并结合等边三角形和平行线的性质即可证明结论．
【详解】（1）①∵都是等边三角形，
∴，，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
②解：∵，
∴，
∵，F为的中点，
∴，
当点时，的长取最小值，
此时，，，
∴；
（2）证明：过点A作交的延长线于点P，连接，
∴，
∵N是中点，
∴ ，
在和中
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和含的直角三角形的性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1)连接由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论；
(2)由是等边三角形，得出，证出，由证明，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵．
∴是等边三角形．
（2）证明：∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
26．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）结合题干的∠BAC＝∠EDF＝60°，推导出两个三角形为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质即可求解；
（2）由第（1）小问的解题思路和∠BAC＝∠EDF、ED=DF这两个条件想到：在FA上截取FM＝AE，求证△AED≌△MFD，再由全等的性质可得DA＝DM＝AB＝AC，即可证△ABC≌△DAM，最后由全等的性质得AM＝BC即可求解．
【详解】（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，
∴△ABC、△DEF为等边三角形，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，AB=AF
∴
∵BC=AC、CE=CD
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，
∵AB＝AE+BE
∴AF＝AE+AD；
（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM；AF，DE相交于点G
∵∠BAC＝∠EDF，
∴∠AED＝∠MFD，
∵AE=MF，ED=DF
∴△AED≌△MFD（SAS），
∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，
即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，
∵AC=DM
∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AM＝BC，
∴AE+BC＝FM+AM＝AF．
即AF＝AE+BC．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定、全等三角形的性质、等边三角形和等腰三角形的性质等知识点，属于中难档的几何综合题．其中解题的关键是结合题干信息正确的作出辅助线．
27．(1)
(2)， 证明见解析
(3)， 图见解析
【分析】（1）由中线的定义可知：AE=BE，由等边三角形的定义可知：AE=CE；在根据等量代换即可得出结论；
（2）连接PE，都是等边三角形，可得出边和角之间的关系，用SAS可证明是三角形全等，则对应边和对应角相等，结合等边三角形的性质即可得出结论；
（3）当点D为边延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证．
【详解】（1）．
，
，
为边上的中线，
，
是等边三角形，
．
（2）．
证明：如图，连接，
都是等边三角形，
，
∴∠CAE-∠BAD=∠DAP-∠BAD，即，
，
∵∠ACD=90°，
，即．
，
．
，
；
（3）
都是等边三角形，
∴∠CAE+∠BAD=∠DAP+∠BAD，即
，
∵∠ACD=90°，
，即．
，
．
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质以及三角形的全等，熟练的掌握三角形全等的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
28．(1)见解析
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）①用“SAS”证明和全等，再利用全等三角形的性质求解；②由知≌，进而得到是等边三角形，根据等边三角形的性质求解；
（2）延长至点使得，先求得,再求得来求解；
（3）猜想，在的延长线上取点，使，连接，
易得到，再利用全等三角形的性质求解．
【详解】（1）证明：①在和中，
，
≌．
；
②由知≌，
．
，，
∴是等边三角形．
．
；
（2）解：延长至点使得，如图．
在和.中，
≌．
，，
，
，
即，
，
．
在和中，
，
≌．
．
．
；
（3）解：如图，猜想．
证明如下：
在的延长线上取点，
使，连接．
在和中，
≌．
，，
，
，
即．
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线和理解相关知识是解答关键．
29．(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】（1）如图1中，作DH⊥AB于H．证明△ADC≌△ADH即可解决问题．
（2）如图2中，过点C作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．证明△ACE≌△BCM（SAS），推出AE=BM，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
（3）如图3中，作CH⊥MN于H．证明得到，进一步证明即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，作DH⊥AB于H．
∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，
∴△ADC≌△ADH（ASA），
∴AC＝AH，DC＝DH，
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠DHB＝90°，
∴∠HDB＝∠B＝45°，
∴HD＝HB，
∴BH＝CD，
∴AB＝AH+BH＝AC+CD．
（2）如图2中，作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．
，
，
，
，
，
∵∠ACB＝∠ECM＝90°，
，
，
∵CA＝CB，CE＝CM，
∴△ACE≌△BCM（SAS），
∴AE＝BM，
∵在Rt△EMB中，∠MEB＝30°，
∴BE＝2BM＝2AE．
（3）解：如图3中，作CH⊥MN于H．
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是的中线，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
