15.1 分式 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）下列各式不是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即，，……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）分式意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·湖北孝感·八年级期末）若分式，则分式的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·湖北荆州·八年级期末）已知，则的值是（ ）
A． B．4 C． D．6
6．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）下列代数式变形正确的是（ ）
A．＝﹣ B． C．＝ D．＝
7．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）下列分式中，x，y均不为0，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如果把中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）．
A．扩大2倍 B．不变 C．缩小2倍 D．扩大4倍
10．（2022秋·湖北襄阳·八年级期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2022倍，则变化后分式的值（ ）
A．扩大为原来的2022倍 B．缩小为原来的
C．保持不变 D．以上都不正确
11．（2022秋·湖北荆门·八年级期末）将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小到原来的
C．缩小到原来的 D．不变
12．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）下列各式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如果分式的值为零，那么 ．
14．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
15．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）若分式的值为0，则a的值为 ．
16．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）已知分式的值为0，则x值为 ．
17．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）实数，满足，则分式的值是 ．
18．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）填空：．
19．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）分式与的最简公分母是 .
20．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）化简： ．
三、解答题
21．（2022秋·湖北孝感·八年级期末）化简并求值，其中a与2、3构成△ABC的三边且a为整数．
参考答案：
1．C
【分析】一般地，如果表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：，，中的分母中含有未知数，是分式；
的分母中不含有未知数，是整式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，理解并掌握分式的特点是解决本题的关键．
2．D
【分析】根据题意可得，，，……，由此发现规律，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
，
，
……，
由此发现，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
3．A
【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行计算即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键．
4．B
【分析】先根据题意得出，再代入分式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴
；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的求值，根据题意得出是解决问题的关键．
5．A
【分析】根据完全平方公式可得，然后由可进行求解．
【详解】解：∵，
∴两边同时平方得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式的性质及完全平方公式，熟练掌握分式的性质及完全平方公式是解题的关键．
6．C
【分析】根据分式的基本性质判断即可．
【详解】解：A. ＝﹣，原变形错误，不合题意；
B.当z=0时，不成立，不合题意；
C. ＝，变形正确，符合题意；
D. ＝，原变形错误，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变．
7．B
【分析】根据分式的基本性质作答，分式分母、分子和分式本身的符号任意改变两个，分式的值不变．
【详解】解：不改变分式的值，使分母的首项系数为正数，根据分式的基本性质，分子分母同除以，
A、；
B、；
C、；
D、，
故选：B．
【点睛】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变．
8．C
【分析】把x，y的值同时扩大2倍后，运用分式的基本性质进行化简，即可得出结论．
【详解】A．把x，y的值同时扩大2倍后得：，值发生了变化，故该选项不符合题意；
B．把x，y的值同时扩大2倍后得：，值缩小了一半，故该选项不符合题意；
C．把x，y的值同时扩大2倍后得：，值不变，故该选项符合题意；
D．把x，y的值同时扩大2倍后得：，值变成了原来的2倍，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
9．B
【分析】根据分式的基本性质求解即可．
【详解】解：根据题意，
=
，
∴把中的x和y都扩大2倍，那么分式的值不变，
故选：B．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答的关键．
10．C
【分析】由题意可知x，y的值同时扩大为原来的2022倍后分别为2022x，2022y，然后代入式子中进行计算即可．
【详解】解：由题意可得：
x，y的值同时扩大为原来的2022倍后分别为2022x，2022y，
∴
∴将分式中的x，y的值同时扩大为原来的2022倍，则变化后分式的值保持不变，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
11．B
【分析】先根据把分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍列出算式，再化简即可．
【详解】解：把分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍为== ，
将分式中的x，y的值同时扩大为原来的3倍，则分式的值缩小到原来的，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能根据题意列出算式是解此题的关键．
12．C
【分析】分别查看是否可以化简即可．
【详解】解：A．，不是最简分式；
B．，不是最简分式；
C．无法化简，是最简分式；
D．，不是最简分式；
故选C．
【点睛】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．
13．
【分析】先将分式化简，再根据分式的值为0，可知分式分子的值为0，分母的值不为0，据此作答即可．
【详解】，
根据题意，有：，
解得：，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，分式有意义的条件以及分式值为0的知识，掌握分式的化简的知识是解答本题的关键．
14．
【分析】根据分式有意义的条件解答即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，理解分式在分母不为零的情况下有意义是解题关键．
15．
【分析】根据分子等于0且分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可．
16．
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：分子且分母，
解方程得x=1或x=，
当x=1时，不合题意，舍去，
当x=时，符合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式值为0的条件是解题的关键．
17．
【分析】先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成 ，利用非负性得到，代入分式即可求值．
【详解】解：，
．
．
，．
，．
原式
．
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是把已知的等式变性后利用非负性质求得，．
18．
【分析】直接利用分式的基本性质分析得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，正确约分是解题关键．
19．2a2b2c
【分析】按照公分母的定义进行解答．
【详解】解：题中两分式的最简公分母即求两分式分母的最小公倍数，即为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
20．/
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数（或式子）分式的值不变．逐步计算即可．
【详解】，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
21． ，时，-1.
【分析】首先将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行分式的乘除法计算得出化简结果，根据分式的性质、三角形的三边关系定理得出a的值，然后代入化简后的式子即可得出答案．
【详解】解：原式==，
∵与、构成的三边，且为整数
∴，
由题可知、、，
∴，
∴原式=．
【点睛】本题主要考查的是分式的化简求值问题，属于基础题型．本题需要注意的是在选择a的值的时候，一定要保证原分式有意义．15.2 分式的运算 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为m米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了n千克．设“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量分别为P千克/米和Q千克/米．下列说法：
①；②；③；④P是Q的倍．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）若 ，则 和 的值分别是（ ）
A．1 和 B． 和 1 C．3 和 D．和 3
二、填空题
5．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）计算： ．
6．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）计算：＝ ．
7．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）计算：= ．
8．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知，．下列结论：
①；②；③；④．
其中正确的有 ．（请填写序号）
9．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）若，则 ．
10．（2022春·湖北恩施·八年级期末）已知，则的值是 ．
11．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）已知，那么 ．
12．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）计算： ．
13．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）将0.0021用科学记数法表示为 .
14．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）计算 ．
15．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）年，新型冠状病毒奥密克戎毒株继续肆虐全球，病毒的平均半径约是米．数据科学记数法表示为 ．
16．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了m千克．则高的单位面积产量比低的单位面积产量多几分之几？多的这个值是 ．
三、解答题
17．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）计算：
(1)；
(2)；
18．（2022秋·湖北宜昌·八年级统考期末）化简：
19．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
20．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
21．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
22．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式x2+的值．
解：∵，∴＝4
即＝4，∴x +＝4，∴x2+＝（x+）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．
解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）
则x＝，y＝，z＝，∴
根据材料回答问题：
(1)已知，求x+的值．
(2)已知，（abc≠0），求的值．
(3)已知x、y、z为实数,=，=，．求分式的值．
23．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）化简：．
24．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
25．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
26．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
27．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）（先化简，再从、2、4 中选一个你喜欢的数作为 x的值代入求值．
28．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中．
29．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）计算：|－|－(π－2021)0－2×+3-1.
参考答案：
1．B
【分析】先把分母因式分解，再把除法转换为乘法，约分化简得到结果．
【详解】
=
=
=．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的除法，约分是解答的关键．
2．A
【分析】根据同底数幂的乘除法，分式的乘法，积的乘方计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、计算正确，符合题意；
B、计算错误，不符合题意；
C、计算错误，不符合题意；
D、，计算错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法，分式的乘方，积的乘方，熟知相关计算法则是解题的关键．
3．B
【分析】分别表示出，，再计算出和，即可判断．
【详解】解：由题意可得：，，
∵
，
∵，
∴，即，
∵
故③④正确，共2个，
故选B．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
4．C
【分析】先根据分式的加减法运算法则，将左边的式子通分，然后组成的二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：
联立可以得到：,
解得，
故选C．
【点睛】本题考查了分式的加减法和二元一次方程的求解，先通分，再联立方程组求解即可得到答案．
5．
【分析】根据分式的运算法则计算即可.
【详解】.
故答案为: .
【点睛】本题考查分式的计算,关键在于掌握分式的计算法则.
6．1
【分析】利用同分母分式加法法则：只把分子相加，分母不变计算即可求解．
【详解】解：
故答案为：1．
【点睛】本题考查同分母分式加法，熟练掌握同分母分式加法法则是解题的关键．
7．1．
【详解】解：因为分式的分母相同，所以只要将分母不变，分子相加即可：．
故答案为：1
8．①③④
【分析】①用分式加法变形，代入计算；②③用完全平方公式变形，代入计算；④先因式分解，再代入计算．
【详解】解：∵，，则
①，故正确；
②，故错误；
③，故正确；
④，故正确；
则正确的有①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解的应用，分式的加法运算，解题的关键是掌握完全平方公式的变形．
9．
【分析】根据条件，可得出，所以．将式子展开化简可得：．将代入，则原式，故答案为．
【详解】解：，
，
，
，
把代入得：原式，
故答案为．
【点睛】．
本题主要考查知识点为：分式的加减，完全平方公式．熟练掌握分式的加减方法和完全平方公式是解决此题的关键．
10．/-0.25
【分析】先把所给等式的左边通分，再相减，可得，再根据等式性质可得，即可得出，再代入，化简即可求出结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了分式的加减法，解题的关键是通分，得出，是解题关键．
11．32
【分析】将，两边平方，再根据完全平方公式展开，再整理即可得出答案．
【详解】解：，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
12．
【分析】先算积的乘方，再算单项式与单项式的除法．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方，单项式与单项式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】，
故答案为：.
【点睛】科学记数法表示数时，要注意形式中，的取值范围，要求，而且的值和原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数一样.
14．6
【分析】先计算负整数指数幂及零次幂的运算，化简绝对值，然后计算加减法即可．
【详解】解：，
故答案为：6．
【点睛】题目主要考查负整数指数幂及零次幂的运算，化简绝对值，熟练掌握各个运算法则是解题关键．
15．
【分析】根据科学记数法的定义解题即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查科学记数法的定义，熟记科学记数法是解题关键．
16．
【分析】先用含a的式子表示出两块试验田的面积，再由高产量的减去低产量，从而可求解．
【详解】解：由题意得：
“丰收1号”的单位面积产量为：，
“丰收2号”的单位面积产量为：，
∴
，
即高的单位面积产量比低的单位面积产量多．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是理解清楚题意列出正确的式子求解．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据多项式乘多项式可进行求解；
（2）先算乘方，然后再根据分式的乘除进行求解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式及分式的乘除运算，熟练掌握各个运算是解题的关键．
18．
【分析】根据分式的运算法则，结合因式分解通分、约分；
【详解】解：原式=
=
【点睛】本题考查了平方差公式，分式的化简；掌握相关运算法则是解题关键．
19．原式，当时，原式
【分析】先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把m的值代入求解即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
20．，
【分析】先把括号里的通分，再相减，把除法转化为乘法、分解因式，然后约分，最后把x的值代入化简后的代数式计算即可．
【详解】解：
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，涉及到完全平方公式和平方差公式，掌握分式化简的法则和步骤是解题的关键．
21．，
【分析】先通分，计算括号内分式的减法，利用完全平方公式等进行约分、化简，再将分式的除法转化为乘法，化简，最后由分式有意义的条件解得，代入求解即可．
【详解】解：
当时，即
原式
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，涉及完全平方公式、分式有意义的条件等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
22．(1)x+的值为6
(2)的值为
(3)分式的值为-4
【分析】（1）利用倒数法把原式变形，计算即可；
（2）设=k，用k表示出a、b、c，代入计算即可；
（3）利用倒数法、分式的约分法则计算求出，把原式变形，代入计算得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设，
则a=5k，b=4k，c=3k，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
同理可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是分式的通分和约分、实数的性质，掌握分式的通分和约分法则是解题的关键．
23．
【分析】由分式的加减乘除运算，把分式进行化简，即可得到答案．
【详解】解：原式
；
【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
24．；
【分析】根据分式的化简，通过通分、约分化简得到的式子，把代入求值即得．
【详解】原式
，
把代入得
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，化简中用到因式分解、约分，注意因式分解，约分符号问题，最后使得式子最简．
25．（1）；（2）；
【分析】（1）先根据完全平方公式，多项式除以单项式的法则计算，再合并同类项即可；
（2）首先把括号中的整式看成分母是1的分式，通分后再按照同分母分式相加减的方法计算，最后按照除法法则计算．
【详解】（1）原式
．
（2）原式
∵
∴
∴原式．
【点睛】本题考查分式的计算及化简求值，完全平方公式，多项式除以单项式，合并同类项等知识，计算时注意利用因式分解对分子分母约分是简化计算的关键步骤．
26．(1)12
(2)6
【分析】（1）将原式变形为完全平方式，然后代入求值；
（2）将原式通分，再变形为完全平方式，然后 代入求值．
【详解】（1）解：
原始
（2）
原始
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式并灵活运用是解题的关键．
27．；
【分析】先化简分式，然后将的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵，，
∴且，
∴当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
28．，-1
【分析】根据分式的混合运算，对原式进行化简可得：原式．将代入原式，即可求出原式．
【详解】解：原式=
，
，
把代入原式得：原式．
【点睛】本题主要考查知识点为：分式的混合运算，负指数幂的运算．熟练掌握分式的混合运算将原式化简，在根据负指数幂的运算求出a的值并代入求值，是解决本题的关键．
29．
【分析】先算绝对值，零指数幂，分母有理化，负整数指数幂，再算乘法，最后算加减即可．
【详解】原式
【点睛】本题主要考查分母有理化，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．15.3 分式方程 同步练习
一、单选题
1．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A．3 B．0或3 C．7 D．
2．（2022秋·湖北武汉·八年级期末）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）若关于x的分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．49
4．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．且
5．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（ ）
A．0 B．4 C．5 D．6
6．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）某校拓展课书法培训班准备购买一批书法笔，购买一支A型书法笔与一支型书法笔一共需要42元，用360元购买A型书法笔与用450购买型书法笔的数量相同，设A型书法笔的单价为元，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·湖北随州·八年级统考期末）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·湖北襄阳·八年级期末）随着电影《你好，李焕英》热映，其同名小说的销量也急剧上升．某书店分别用400元和600元两次购进该小说，第二次数量比第一次多1倍，且第二次比第一次进价便宜4元，设书店第一次购进x套，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022秋·湖北荆州·八年级期末）我市某超市用20000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨32000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了2元，购进苹果数量是试销时的2倍．设试销时该品种苹果的进货价是每千克x元，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022秋·湖北黄石·八年级统考期末）小明和小强为端午节做粽子，小强比小明每小时少做2个，已知小明做100个粽子的时间与小强做90个所用的时间相等，小明、小强每小时各做粽子多少个？假设小明每小时做个，则可列方程得（ ）
A． B． C． D．
13．（2022秋·湖北咸宁·八年级统考期末）暑假期间，某科幻小说的销售量急剧上升．某书店分别用600元和800元两次购进该小说，第二次购进的数量比第一次多40套，且两次购书时，每套书的进价相同．若设书店第一次购进该科幻小说x套，由题意列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2022秋·湖北荆门·八年级期末）甲乙两地相距60km，一艘轮船从甲地顺流到乙地，又从乙地立即逆流到甲地，共用8小时，已知水流速度为5km/h，若设此轮船在静水中的速度为x km/h，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递80件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
16．（2022秋·湖北襄阳·八年级统考期末）关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是 ．
17．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）关于x的方程无解，则a的值为 ．
18．（2022秋·湖北荆门·八年级期末）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x个，可列方程 ．
三、解答题
19．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）解分式方程
(1)；
(2)．
20．（2022秋·湖北黄石·八年级期末）阅读材料：关于x的方程：的解为：，；的解为：，；（可变形为的解为：，；根据以上材料解答下列问题：
(1)①方程的解为____；
②方程的解为_______．
(2)解关于x的方程：．
21．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）先化简，求值：若x满足方程，求代数式的值．
22．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）解方程：．
23．（2022秋·湖北鄂州·八年级统考期末）若关于x的方程无解，求 m 的值．
24．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）为了加快旧城改造项目进度，政府公开招标现有甲、乙两家工程公司中标，已知甲公司工程队每队比乙公司工程队每队每个月多改造个小区，且甲公司每队改造个小区的时间与乙公司工程每队改造个小区的时间相同．
(1)甲、乙两家工程公司每队每月分别可以改造多少个旧小区？
(2)如果政府计划安排甲、乙两家公司共支工程队同时开始施工，一个月内至少完成个旧小区的改造项目，且工程总费用不超过万元，已知甲公司工程队每月费用报价万元，乙公司工程队每月费用报价万元，那么甲、乙两家公司的工程队应各安排多少支？
25．（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）为应对新冠疫情，松滋某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多元，若用元购进A品牌数量是用元购进品牌数量的倍．
(1)求A、两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
(2)若A品牌口罩每个售价为元，品牌口罩每个售价为元，药店老板决定一次性购进A、两种品牌口罩共个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于元．则最少购进品牌口罩多少个？
26．（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期末）为改善黄冈市遗爱湖景区公园周边环境，相关部门决定对遗爱湖周边部分路段进行维修施工．施工全长6000米，为了早日方便市民，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前8天完成这一任务，求原计划每天施工多少米？
27．（2022秋·湖北恩施·八年级统考期末）利川工夫红茶采制工艺精细，大致分为采摘、初制和精制三个主要过程．现有甲、乙两采摘队在同一块茶田采摘茶叶，甲队比乙队每小时多采摘，甲队采摘所用的时间与乙队采摘所用的时间相同．
(1)甲、乙两队每小时各采摘多少茶叶？
(2)如果甲队单独采摘3个小时完成了整块田的，这时乙队加入进来，两队还要用多少小时完成这块田的采摘任务？
28．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期末）某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为360m的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用32天完成这一任务．
(1)求原计划每天铺设路面的长度；
(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．
29．（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）阅读材料，并回答问题：小亮在学习分式过程中，发现可以运用“类比”的方法——类比思想，达成事半功倍的学习效果，比如学习异分母分式加减可以类比异分母分数的加减，先通分，转化为同分母分式加减进行运算，解分式方程可以类比有分母的一元一次方程，先去分母，转化为整式方程求解；比较分式的大小，可以类比整式比较大小运用的“比差法”······
问题：
(1)材料中分式“通分”的依据是 ；“将分式方程转化为整式方程”的“去分母”的依据是 ；同时，“类比”实数的分类，你认为分式方程在方程家族中应该是 ；
(2)类比解分式方程的思想方法，解方程：=5；
(3)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：甲、乙两组人各自平分钱，已知两组人数相同，相关信息如表：
组别 人数（人） 总金额（元）
甲
乙
试比较甲乙两组哪组人均分的钱多？
参考答案：
1．D
【分析】先去分母，再将增根代入，求解即可．
【详解】解：
去分母，得，
∵关于x的方程有增根，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解题的关键．
2．C
【分析】先解分式方程求出方程的解，再根据解是负数、求解即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
解得，
关于的方程的解是负数，
且，
解得且，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．
3．B
【分析】先解分式方程，再根据关于x的分式方程的解是非负整数解，可得，且，再根据，求出a的取值范围，进一步可得满足条件的整数a的值，再求和即可．
【详解】解：去分母，得，
解得x＝，
∵关于x的分式方程的解是非负整数解，
∴且，
解得且，
∵，
∴，
∴a的取值范围是且，
∴满足条件的整数a的值有6，10，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
4．A
【分析】首先求得分式方程的解为x=4-m,再根据解为正数得4-m>0且4-m 1,从而求得m的取值范围即可．
【详解】解：，
去分母，得1-m-(x-1)=-2，
去括号，得1-m-x+1=-2，
移项，合并得x=4-m，
∵方程的解为正数，
∴4-m>0且4-m 1，
解得m<4且，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的特殊解,难度适中，解题的关键是注意要排除分式方程无解情况．
5．D
【分析】分别解分式方程和不等式组，从而得出a的范围，从而得整数a的取值，进而得所有满足条件的整数a的值之积．
【详解】解：将分式方程去分母得：a(x－1)＋(x＋1)(x－1) = (x＋a)(x＋1)，
解得：x=－2a－1，
∵解为负数，
∴－2a－1<0，
解得：，
∵当x=1时，a=－1；x=－1时，a=0，此时分式的分母为0，无意义，
∴；
将不等式组整理得：，
∵此不等式组无解，
∴，
∴a的取值范围为：，
∴所有满足条件的整数a的值为：1，2，3．
∴所有满足条件的整数a的值之积是：．
故选：D．
【点睛】本题考查了含参数分式方程和含参数一元一次不等式组的解的问题，注意分式方程取增根的情况及熟练掌握不等式组解集的求解方法，是解题的关键．
6．B
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：规定时间为天，
慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，
又快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
7．A
【分析】根据实际做的天数=预计天数即可列出方程.
【详解】设每天应多做x件才能按时交货，则x应满足的方程为；
故选：A.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键.
8．A
【分析】设A型书法笔的单价为元，则型书法笔的单价为元，然后问题可求解．
【详解】解：由题意可列方程为；
故选A．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
9．C
【分析】设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设第一次分钱的人数为x人，则第二次分钱的人数为（x+6）人，
依据题意，可得．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10．A
【分析】由第二次购进数量比第一次多1倍，可得出第二次购进2x套，利用单价=总价÷数量，结合第二次比第一次进价便宜4元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵第二次购进数量比第一次多1倍，且第一次购进x套，
∴第二次购进2x套．
依题意得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．D
【分析】根据题意可知第二次进货价为（x+2）元，然后根据“购进苹果数量是试销时的2倍”来建立等量关系即可．
【详解】解：由题意得：；
故选D．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
12．C
【分析】假设小明每小时做x个，则小强每小时做（x 2）个，根据题意可得：小明做100个粽子的时间与小强做90个所用的时间相等，据此列方程．
【详解】解：假设小明每小时做x个，则小强每小时做（x 2）个，
由题意得，．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
13．C
【分析】根据第一次进书的总钱数÷第一次购进套数＝第二次进书的总钱数÷第二次购进套数列方程可得．
【详解】若设书店第一次购进该科幻小说x套，
由题意列方程正确的是，
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
14．D
【分析】本题关键描述语是：“共用去8小时”．等量关系为：顺流60千米用的时间+逆流60千米用的时间=5，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：由题意，得：，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度．
15．D
【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，根据人数=投递快递总数量÷人均投递数量，结合快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件（x+80）件，
根据快递公司的快递员人数不变列出方程，得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
16．且
【分析】先去分母，化为一个关于x的含参数的一元一次方程，求解x，再根据x的取值范围和使分式有意义的条件求的范围．
【详解】去分母得：，
，
，
方程的解为正数，
且，
，
且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查分式方程的解，正确的求解分式方程是解题的关键．注意要使分式有意义则分母不等于0．
17．或/或
【分析】由分式方程无解可知，分式方程去分母后把的值代入即可求出的值．
【详解】∵分式方程无解，
∴，
∴，
∵，即
∴，即，
把代入得：，
解得：；
另外当，即时，此方程也无解；
综上分析可知，的值是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于零．
18．
【分析】设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据比原计划少用2天，列方程即可．
【详解】解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意，得.
故答案是：.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
19．(1)
(2)无解
【分析】(1)方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
(2)方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2）解：，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
20．(1)①；②
(2)，
【分析】（1）按照题目材料找到规律即可求解；
（2）按照题目材料找到规律对方程进行变形求解．
【详解】（1）①的解为：，，
方程的解为，，
故答案为：，；
②的解为：，，
时，
或，
解得，，
故答案为：，；
（2）原方程变形为，，
由题意可得或，
解得，，
即原方程的解为，，
【点睛】此题考查了通过新定义求解分式方程的能力，关键是能准确理解并运用定义进行求解．
21．，
【分析】解分式方程，得到x的值，然后利用平方差、完全平方差公式以及整式混合运算法则对代数式进行化简，代入求值即可．
【详解】解：
去分母得：
解得
经检验是分式方程得解，
又
当时，
原式．
【点睛】本题考查了解分式方程、分式的化简、平方差以及完全平方公式；正确求解分式方程，并利用公式对分式进行化简求值是解题的关键．
22．
【分析】先程两边同时乘以再去括号合并同类项，然后将系数化为1，最后检验．
【详解】
方程两边同时乘以得，
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，
经检验，是原分式方程的解，
故分式方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
23．或或
【分析】直接利用分式方程的解的意义分别分析得出答案．
【详解】解：方程两边同乘以，得：
，
化简得：，
当时，原方程无解，
可能的增根是或，
当时，，
当时，，
当或时，原方程无解，
或或时原方程无解．
【点睛】本题考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题的关键．
24．(1)甲公司工程队每队每个月可以改造个旧小区，乙公司工程队每队每个月可以改造个旧小区
(2)共有种安排方案，见解析
【分析】（1）设乙公司工程队每队每个月可以改造个旧小区，则甲公司工程队每队每个月可以改造个旧小区，根据甲公司每队改造个小区的时间与乙公司工程每队改造个小区的时间相同，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出乙公司工程队每队每个月改造旧小区的个数，再将其代入中，即可求出甲公司工程队每队每个月改造旧小区的个数；
（2）设安排支甲公司工程队，则安排支乙公司工程队，根据“支工程队一个月内至少完成个旧小区的改造项目，且工程总费用不超过万元”，可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各安排方案．
【详解】（1）解：设乙公司工程队每队每个月可以改造个旧小区，则甲公司工程队每队每个月可以改造个旧小区，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲公司工程队每队每个月可以改造个旧小区，乙公司工程队每队每个月可以改造个旧小区；
（2）解：设安排支甲公司工程队，则安排支乙公司工程队，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为，，，
∴共有种安排方案，
方案：安排支甲公司工程队，支乙公司工程队；
方案：安排支甲公司工程队，支乙公司工程队；
方案：安排支甲公司工程队，支乙公司工程队．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25．(1)A品牌的口罩每个进价是元，品牌的口罩每个进价是元
(2)最少购进品牌口罩个
【分析】（1）设A品牌的口罩每个进价是元，则品牌的口罩每个进价是元，根据用元购进A品牌数量是用元购进品牌数量的倍列方程，解方程并检验即可得到答案；
（2）设购进个品牌口罩，则购进个A品牌口罩，根据这批口罩全部出售后所获利润不低于元列出不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】（1）设品牌的口罩每个进价是元，则品牌的口罩每个进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：品牌的口罩每个进价是元，品牌的口罩每个进价是元；
（2）设购进个品牌口罩，则购进个A品牌口罩，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：最少购进品牌口罩个．
【点睛】此题考查了分式方程、一元一次不等式的实际应用，读懂题意，准确列出方程和不等式是解题的关键．
26．米
【分析】设原计划每天施工米，则实际工效为，根据题意列出分式方程，解方程即可．
【详解】设原计划每天施工米，则实际工效为，
由题可得：，
解得：，
经检验是原方程的根，
答：原计划每天施工米．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是读懂题意正确列出分式方程并求解．
27．(1)甲、乙两队每小时各采摘和茶叶
(2)5
【分析】（1）设乙队每小时采摘x千克，甲队每小时采摘千克，根据甲队采摘所用的时间与乙队采摘所用的时间相同列分式方程解题即可；
（2）设两队还需用a小时完成任务，根据（1）中的结果列方程解题即可．
【详解】（1）解：设乙队每小时采摘x千克，甲队每小时采摘千克，
，
解得：，
经检验：是原方程的解．
甲队每小时采摘（千克）．
答：甲、乙两队每小时各采摘120和150茶叶．
（2）解：设两队还需用a小时完成任务，
，
解得：，
答：两队还要用5小时完成这块田的采摘任务．
【点睛】本题考查运用方程解决实际问题，找准等量关系正确列出方程是解题的关键．
28．(1)原计划每天铺设管道的长度为
(2)够；理由见解析
【分析】（1）设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间铺设的时间天，列方程求解即可；
（2）分别得到两种不同的工作效率所用的时间，进一步得到各自需要的工资，相加即可求解．
【详解】（1）解：设原计划每天铺设管道，则后来的工作效率为，
根据题意，得，
解得：，
经检验：是原分式方程的解．
答：原计划每天铺设管道的长度为．
（2）解：够；
理由：，
（元,
．
现市政部门为完成整个工程所准备的流动资金够支付工人工资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．
29．(1)分式的分子、分母都乘同一个不为0的整式，分式的值不变（或分式的基本性质）；等式的两边都乘同一个数，所得的结果仍是等式（或等式的基本性质）； 有理方程；
(2)x=-12
(3)甲组人均分的钱多
【分析】(1)根据分式的基本性质和等式的基本性质解答即可；
（2）将方程两边平方转化为整式方程，然后求解，最后必须检验；
（3）设甲乙各有a人（a≠0），列代数式通过分式相减与0作比较，易得出答案．
【详解】（1）（1）分式的分子、分母都乘同一个不为0的整式，分式的值不变（或分式的基本性质）；
等式的两边都乘同一个数，所得的结果仍是等式（或等式的基本性质）； 有理方程；
（2）（2）=5
方程两边平方，得1-2x=25，
x=-12
经检验，x=-12是原方程的解；
（3）由甲、乙两组人数相同，设两组各有a人，
则甲组均分元，乙组均分 元
>0,
所以甲组人均分的钱多．
【点睛】本题考查了分式的基本性质和等式的基本性质，列代数式，分式的加减应用等，涉及到了二次根式非负性以及配方法的应用，强调了转化思想在数学中的应用．
