2023-2024 学年 10 月三校联合考试（高 2026 届） 二 、多选题（本小题共四小题，每小题5分，共20分。在每个小题给出的四个选项中，有多个符合
要求的选项，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
数 学 试 题
9．．已知 ， ， ∈ ，则下列命题为真命题的是（ ）
1 1A．若 2 < 2，则 < B．若 3 > 3且ab 0 ，则 >
+
一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 C．若 > > > 0，则 > D．若 > > > 0，则 >
+
合要求的.) 10．已知关于 x的一元二次不等式 2 + + ≥ 0的解集为{ | ≤ 2或 ≥ 3}，则下列说法正确
1.设集合 = { 2, 1,0,1}， = { 1,0,1,2}，则 ∩ =（ ） 的是（ ）
A．{ 2, 1,0,1} B．{ 1,0,1,2} C．{0,1,2} D．{ 1,0,1}
A． > 0
2．已知 ∈ ，若集合 = {1, }， = {1,2,3}，则“ x = 2”是“ ”的（ ）
B．不等式 + > 0的解集为{ | < 6}
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 1 1
C．不等式cx2 bx + a 0的解集为{ | < < }
2 3
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
D．a+b+ c 0
3. 命题“ ∈ ，使得 2 + 3 + 2 < 0”的否定是（ ）
11．受亚洲飞人苏炳添勇夺东京奥运百米决赛第四并破亚洲记录的影响，甲、乙、丙三名短跑运
A. ∈ ，均有 2 + 3 + 2 ≤ 0 B. ∈ ，均有 2 + 3 + 2 ≥ 0
动员同时参加了一次百米赛跑，所用时间分别为 1， 2 2 2
， 3.甲有一半的时间以速度V1米/秒奔跑，
C. ∈ ，有 + 3 + 2 > 0 D. ∈ ，有 + 3 + 2 ≤ 0
另一半的时间以速度V2米/秒奔跑；乙全程以速度 V1V2 米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度V1米/
4. 已知函数 ( ) = 2 4 + 2( > 0)的两个零点分别为 1, 2，则 1 + 2 + 1 的最小值为2
秒奔跑，另一半的路程以速度V2米/秒奔跑.其中V 0，V2 01 .则下列结论中一定成立的是（）
（ ）
T T T T T T
A．8 B．6 C．4 D．2 A． 1 2 3 B． 1 2 3
1 1 2
2
5．如图，已知矩形 表示全集， ， 是 的两个子集，则阴影部分表示不正确的为（ ） C．T1T3 =T2 D． + = T1 T3 T2
12．若 2 2 + 2 2 = 1，x， ∈ ，则（ ）
A．| | ≤ √2 B．| + | ≤ 2
1
A．( 2 2 2 2 ) ∩ B． ( ∩ ) C． ( ∩ ) D． ( ∪ ) C． + 2 > D． + 2 < 3 2
6 . 若 : ∈ [1,5]， 2 4 > 0是真命题，则实数 的取值范围是（ ） 三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
9 1
A． > B． ≥ C． > 5 D．a 5 13．已知集合 = { 225 16 , + 1, 3}, = { 3,2 1,
2 + 1}， ∩ = { 3}， = .
7．关于 的不等式 2 2( + 1) + 4 ≤ 0的解集中恰有 4个正整数，则实数 的取值范围是( ) 14. 某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有 75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，
5 5 1 1 5
A． ,3 B． ,3 C． 1, D． 1, ,3 61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听
2 2 2 2 2
1 16
8 . 已知不等式 + ≥ 1 + 2对满足4 + (1 ) = 0的所有正实数 a，b都成立，则正数 x 了历史、音乐讲座，还有 6人听了全部讲座，则听讲座人数为__________．
2 2 2
的最小值为（ ） 15. 实数 、 满足 3 ≤ + ≤ 2， 1 ≤ ≤ 4，则求3 2 的取值范围____________
1 3
A． B．1 C． D．2 1 1
2 2 16. 若 > 0， > 0，且 + = 1，则 + 2 的最小值为 . 2 + +1
{#{QQABIYaEogCoAAIAAQhCEwXACkKQkAAAAKoGBAAAoAABgRFABAA=}#}
四 、解答题（共 70分，本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分） 20．（12分 )某工厂新建员工宿舍，若建造宿舍的所有费用 （万元）和宿舍与工厂的距离 km的
17.( 10分) 已知集合 = { | ≤ 1或 ≥ 4}， = { |0 < < 5}， = { | 2 ≤ ≤ 2 }． 关系为 = (0 ≤ ≤ 5)，若距离为 1km时，测算宿舍建造费用为 40万元.为了交通方便，工
3 +2
(1)求 ∩ ，( ) ∪ ； 厂和宿舍之间还要修一条道路，已知铺设路面成本为 6万元/km，设 为建造宿舍与修路费用之和，
(2)若 ∩ = ，求实数 m的取值范围． （1）求 的值.
（2）求 关于 的表达式.
（3）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用 最小，并求最小值.
2 B = x | x218．（12）已知集合 = { | 4 12 ≤ 0}，集合 mx 6m2 0(m 0) . 21. 已知关于 x不等式 2 2 + + 2 ≤ 0( ∈ )的解集为 M．
（1）求集合 ， ； （1）当 M为空集时，求 m的取值范围；
2+2 +5
（2）若 ∈ 是 ∈ 成立的__________条件（请在①充分不必要，②必要不充分，③充分，④ （2）在（1）的条件下，求 ( ) = 的最小值；
+1
必要中任选一个补充在问题（2）中，判断实数 是否存在，若存在，求出 的取值范围，若不存 （3）当 M不为空集，且 [1,4]时，求实数 m的取值范围
在，说明理由.
22．对于二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)，若存在 0 ∈ ，使得
2
0 + 0 + = 0成立，则称
2 +1
19. （12分 ) (1)若不等式 < 2的解集为 ,求 = ． 0为二次函数 =
2 + + ( ≠ 0)的不动点．
3
2 (1)求二次函数 = 2(2) 设 ∈ ，解关于 的不等式：ax (a + 4) x + 4 0 . 3的不动点；
(2)若二次函数 = 2 2 (3 + ) + 1有两个不相等的不动点 1, 2，且 1、 2 > 0，求 的
取值范围；
(3)若对任意实数 ，二次函数 = 2 + ( + 1) + ( 1)( ≠ 0)恒有不动点，求 的取值范
围．
{#{QQABIYaEogCoAAIAAQhCEwXACkKQkAAAAKoGBAAAoAABgRFABAA=}#}2023-2024 学年 10 月三校联合考试（高 2026 届） 50 50 100T3 = + =
V 2VV1 V2 1 2 ，
数学试题参考答案 V1 +V2
V +V 2V1V2 2V1V2
一．单选题(本题共 8小题，每小题 5分，共 40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要 由基本不等式可得 1 2 VV ，所以 = V1 2 1V2 ，
2 V1 +V2 2 V1V2
求的.)
V1 +V 2VV1 2 3 4 5 6 7 8 2所以 VV
1 2
1 2 0故T V =V1 T2 T3，当且仅且 1 2 时等号全部成立. 2 V1 +V2
D A B C B C B B
故 A选项正确，B选项错误
7 . 注意是正整数解。
V1 +V2 2VV 21 2
2 2 = VV
8．【分析】先利用基本不等式证得2(m + n2 ) (m+ n) ( )（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证 又由 1 2 ， 2 V1 +V2
1 16 1 1 x TT =T 22 故易知 ，即 C项正确；
得 + 2 2 ，结合题意得到 1+ x ，利用二次不等式的解法解之即可得到正数 x 的最小值.
1 3 2
a b 2 2 2
1 1 (V1 +V2 )
2 + 4V1V2 2 2 V1V+ = ， 24 1 = ，
因为a,b为正实数，所以由4a +b (1 a) = 0得4a+b = ab，即 + =1， T1 T3 200(V1 +V2 ) T
b a 2
100
2 2 2 1 1 2
1 16 1 4 4 1 取V =1,V = 2，此时 + 1 2 ，
所以2 + = 2 + + =1， T1 T2 2 3 T2
a b a b b a
所以 D选项不一定成立，
4 1
当且仅当 = ，且4a+b = ab，即a = 2,b =8时，等号成立， 故选：AC．
b a
12.【分析】根据题目的已知条件灵活运用基本不等式放缩求解即可．
1 16 1 16 1
所以2 + 1 + 2
a2 b2
，即 2 ，
a b
2 2 【详解】解： x
2 2xy + 2y2 = (x y) + y2 =1，
1 16 x 2
因为 + 1+ x
2
对满足4a +b (1 a) = 0 22 2 的所有正实数 a，b都成立， x = x y + y x y + y 2 (x y) + y = 2 ，故 A正确； a b 2
1 16 x 1 x 3 2 2 2
所以 + 1+ x
2
2 2 ，即 1+ x
2
，整理得2x2 x 1 0， 取 x = ， y = ，满足 x 2xy + 2y =1，
a b 2 2 2 5 5min
1 但 x + y = 5 2，故 B错误；
解得 x 1或 x ，由 x 为正数得 x 1，
2
2 x 2y x2 + 2y2，
所以正数 x 的最小值为1. 故选：B.
2 2 2 2
二 、多选题（本小题共四小题，每小题 5分，共 20分。在每个小题给出的四个选项中，有多个符合 x + 2y x + 2y 2xy ，
要求的选项，全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错的得 0分） 2 2
x2 + 2y2 x2 + 2y
2
1 1+ 2xy 1+ ，
2 2
9 10 11 12
2 2 2 2
ABC ABD AC AC x + 2y 2 2 x + 2y 1 x + 2y 1+ ，
2 2
部分试题解析：
1 2 2
11.【分析】分别列出T ，T T1 2 ， 3的表达式，根据基本不等式逐一判断即可． 故 2 2 x + 2y 2+ 2 ，所以 C正确，D错误． 故选：AC． 2
100
1 1 T = 100 二．填空题（本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分）
【详解】由题意知： T1V1 + T1V2 =100，所以
1 V1 +V ，T =2 2 ，
2 2 V1V2 13题答案 1
2
【详解】因为M P = 3 ，所以 3 P，易知a2 +1 3，
当a 3= 3时，a = 0，此时M = 0,1, 3 ，P = 3, 1,1 ，不合题意舍去；
1
{#{QQABIYaEogCoAAIAAQhCEwXACkKQkAAAAKoGBAAAoAABgRFABAA=}#}
当2a 1= 3时，a = 1，此时M = 1,0, 3 ，P = 4, 3,2 ，满足题意， 17. (1) ∩ = { |4 ≤ < 5}，( ) ∪ = { | 1 < < 5}
所以a = 1. 5 (2) ( , 2) 2,
2
【详解】（1）集合 = { | ≤ 1或 ≥ 4}， = { |0 < < 5}，
∩ = { |4 ≤ < 5}， 2分
14 题答案 172
= { | 1 < < 4}，( ) ∪ = { | 1 < < 5} 5分
（2） = { |0 < < 5}， = { | 2 ≤ ≤ 2 }，由 ∩ = ，得到 ，
当 = 时， 2 > 2 ，即 < 2；
【详解】 2 ≤ 2 5
当 ≠ 时，{ 2 > 0 ，即2 < < ．
2
2 < 5
5
综上： < 2或2 < < ．
2
68+ 75+ 61 (17+12+9)+ 6 5 实数 m的取值范围 ( , 2) 2, 10 分
2
= 204 38+6，
=172（人 )． 18．【答案】（1）
A = x 2 x 6 ，B = x | 2m x 3m ；
故答案为：172 【小问 1详解】
15 题答案 4,11 ． 因为 x2 4x 12 0，即 (x + 2)(x 6) 0 ，解得 2 x 6，
设3a 2b = m(a +b)+ n(a b) = (m+ n)a + (m n)b， 所以 A = x 2 x 6 ，
1
m = 因为 x
2 mx 6m2 0，即 (x + 2m x 3mm+ n = 3 )( ) 0，又因为m 0，所以 2m x 3m， 2
则 ，解得 ，
m n = 2 5n = 故B = x | 2m x 3m ； 5分
2
【小问 2详解】
1 5
∴3a 2b = (a +b)+ (a b) ， 若选①：因为 x A是 x B 的充分不必要条件，所以A B ，
2 2
∵ 3 a+b 2， 1 a b 4． 2m 2
则有 且等号不同时成立，解得m 2，故存在实数m 2，
3 1 5 5 3m 6
∴ (a + b) 1， (a b) 10，
2 2 2 2
所以m 的取值范围是 2,+ )； 12分
∴ 4 3a 2b 11，
若选②：因为 x A是 x B 的必要不充分条件，所以 B A ，
即3a 2b的取值范围为 4,11 ．
2m 2
2 3 +1 则有 且等号不同时成立，解得m 1，故存在实数0 m 1，
16 题答案 3m 6
2
1 1 所以m 的取值范围是 (0,1 ；
【详解】试题分析：由 + =1可得 ，即 ，所以
2a +b b +1 若选③：因为 x A是 x B 的充分条件，所以 A B ，
（当且仅当 时取等号），即 的最小值为 2m 2a + 2b 则有 ，解得m 2，故存在实数m 2，
3m 6
. 所以m 的取值范围是 2,+ )；
若选④，因为 x A是 x B 的必要条件，所以B A，
四 、解答题（共 70分，本题共 6小题，第 17题 10分，其余每小题 12分）
2
{#{QQABIYaEogCoAAIAAQhCEwXACkKQkAAAAKoGBAAAoAABgRFABAA=}#}
2m 2 200 8
则有 ，解得m 1，故存在实数0 m 1， 当且仅当 = 2(3x + 2)，且0 x 5，即 x = 时取等号.
3m 6 3x + 2 3
8
所以m 的取值范围是 (0,1 . 12分 所以，宿舍应建在离工厂 km 处，总费用最小为 36万元. 12分
3
2x +1 2x +1 2x +1 6+ 2x 4x 5
19. 详解】（1）【详解】解： 2等价于 2 = = 0， 21. .详解】（1）因为M 为空集，所以 = 4m2 4(m+2) 0 m2 m 2 0 1 m 2 .
3 x 3 x 3 x 3 x
5 5 5 所以m 的取值范围为 m | 1 m 2 ； 2分
即 (4x 5)(x 3) 0，解得： x 3或 x ，则 A = ,3 .故答案为 ,3R . 5分 4 4 4 （2）由（1）可知 1 m 2，则0 m+1 3，所以
2
（2）【详解】 ax (a + 4) + 4 0
m2 + 2m+5 (m+1)2 + 4 4 4
= = m+1+ 2 (m+1) = 4 ，当且仅当
(ax 4)(x 1) 0 m+1 m+1 m+1 m+1
当a = 0时，原不等式为： x 1 0 x 1 4 m2 + 2m+5
m+1= m =1等号成立，所以 的最小值为 4. 6分
4 m+1 m+ 2
当a 0时，则 (ax 4)(x 1) = 0 x = 或 x =1
a （3）设函数 y = x2 2mx+m+ 2，当M 不为空集时，由M x |1 x 4 ，得
4 4
①当 a<0时， 1, x 或 x 1 = 4m2 4(m+ 2) 0
a a
1
2 2m+m+ 2 0 18
4 4 2 m .
②当0 a 4时， 1, 1 x 42 8m+m+ 2 0 7a a
1 m 44
③当a = 4时， =1, x =1
a 18
所以实数m 的取值范围 m | 2 m . 12
4 4 7
④当 a 4时， 1, x 1
a a 22．【详解】（1）由题意知： x2 x 3= x, x2 2x 3= 0,(x 3)(x+1) = 0，
4
解得
x1 = 1， x2 = 3，所以不动点为 1和3． 2分
综上：当a = 0时，解集为 x | x 1 ；当a 0，解集为 x | x 或x 1 ； 12分
a 2（2）依题意，2x (3+ a) x + a 1= x有两个不相等的正实数根，
4 4 2
当 0 a 4，解集为{x |1 x }；当a = 4，解集为 1 ；当 a 4，解集为 x | x 1 即方程2x (4+ a) x+ a 1= 0有两个不相等的正实数根，
a a
2
200 Δ = (4+ a) 8(a 1) 0
20. 1）200 （2） y = + 6x (0 x 5)
3x + 2 4+ a
所以 x1 + x2 = 0 ，解得a 1 6分
8 2
（3）宿舍应建在离工厂 km处，总费用最小为 36万元. a 1
3 x1 x2 = 0 2
k
【小问 1详解】由题意，得 40 = ， k = 200 2分 （3）由题知：ax2 + (b+1)x+ (b 1) = x(a 0)，
3 1+ 2
所以ax2 +bx+ (b 1) = 0，由于函数 y = ax2 + (b+1)x+ (b 1)(a 0) 恒有不动点，
【小问 2详解】
200 所以 = b
2 4a(b 1) 0，即b2 4ab+ 4a 0，
y = P + 6x = + 6x (0 x 5) 5分
2
3x + 2 又因为 'b 是任意实数，所以 = ( 4a) 16a 0，
【小问 3详解】
即a (a 1) 0（a 0），解得0 a 1，所以a的取值范围是 (0,1 ． 12分
200 200 200
y = + 6x = + 2(3x + 2) 4 2 2(3x + 2) 4 = 36 ，
3x + 2 3x + 2 3x + 2
3
{#{QQABIYaEogCoAAIAAQhCEwXACkKQkAAAAKoGBAAAoAABgRFABAA=}#}
