14.1.3 反证法课件(共18张PPT) 2023-2024学年华师大版八年级数学上册
文档属性
| 名称 | 14.1.3 反证法课件(共18张PPT) 2023-2024学年华师大版八年级数学上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 219.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-10-26 20:53:07 | ||
图片预览
文档简介
(共18张PPT)
14.1.3 反证法
第14章 勾股定理
解析：
由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知：a2 +b2 =c2
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
A
C
B
a
b
c
复习引入
如果此时a2 + b 2 ≠ c 2,这个三角形一定不是直角三角形.这个命题是真命题吗？
做一做：画出如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？
(1)a = 1.0, b =2. 4,c =2.6；
(2)a=2, b =3,c=4；
(3) a = 2, b =2. 5,c =3.
我们可以发现,第一组恰好满足a2 +b2= c2,由勾股定理的逆定理可知,组成的三角形是一个直角三角形,与所画图形一致.而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方,所画图形都不是直角三角形.
(1)
(2)
(3)
思考：由此,可以得到什么猜想？
探究新知
分析：想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发,
直接经过推理,得出结论,十分困难.我们可以换一种思
维方式,用如下方法证明这个结论:
探究：（1）假设它是一个直角三角形;
猜想：当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)有关系a2 +b2≠c2时,
这个三角形不是直角三角形.
思考：怎样证明这个猜想是正确的呢？
像这样的证明方法叫“反证法”.
a
b
c
C
A
B
探究新知
（2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证．
反证法的定义：
引出新知
问题情境：
一个班级有64名学生，则至少有两名学生的生日月份相同.
引出新知
证明：假设所有的学生生日月份都不同.
如果每名同学的生日月份都不同，则全班64名同学的生日月份有64个，这与一年有12个月相矛盾.
所以假设不成立，则至少有两名同学的生日月份.
反设
归谬
结论
推理
反设——归谬——结论，即：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出与基本事实、定理、定义或已知条件相矛盾的结果；
(3)由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立
反证法证明命题的一般步骤：
引出新知
引出新知
之前的学习中，用到反证法的例子有：证明不是有理数（八年级上册课本12页）；证明平行线的性质：两直线平行，同位角相等（七年级上册课本175页）。
反证法是数学证明的一一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法,有时该问题竞能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一.种间接的证明方法.
例1 求证:两条直线相交只有一个交点.
证明：假设两条相交直线 l1与l2不止一个交点， 不妨假设 l1与l2有两个交点A和B.
点拨： 想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理,得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法.
例题讲解
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
例2 求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°，
即∠A> 60°， ∠B > 60°， ∠C> 60°.
例题讲解
点拨：至少的反面是没有！
于是∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°,
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有：
结论词 是 都是 大(小) 于 能 相等 至少 有一个 至少 有n个 至多 有一个 负数
否定 形式 不是 不都是 不大 (小)于 不能 不相等 一个也 没有 至多有 (n－1)个 至少 有两个 非负数
及时总结
1.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）
A.有两个内角是直角
B.有三个内角是直角
C.至少有两个内角是直角
D.没有一个内角是直角
C
当堂巩固
2. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确的顺序应为( )
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
D
当堂巩固
3.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 .
4.已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，要证明这个命题是真命题可用反证法，其步骤为：假设________，根据___________，一定有_______________，但这与已知条件_______________相矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．
假设a=b
∠C=90°
勾股定理
AC2+BC2=AB2
AC2+BC2≠AB2
当堂巩固
5.求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所 对的角也不相等．
当堂巩固
证明：假设这两条边所对的角相等。根据等角对等边，这两条边也相等，但这与已知条件矛盾，故假设不成立。所以这两条边所对的角也不相等。
6.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行．
当堂巩固
证明：假设这两条直线平行。根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，但这与已知条件矛盾，故假设不成立。所以这两条直线不平行。
注意:用反证法证明命题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。
课堂小结
反证法
反证法的概念
反证法证明的思路：
假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定原命题的结论.
反证法证明步骤
课堂小结
14.1.3 反证法
第14章 勾股定理
解析：
由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知：a2 +b2 =c2
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
A
C
B
a
b
c
复习引入
如果此时a2 + b 2 ≠ c 2,这个三角形一定不是直角三角形.这个命题是真命题吗？
做一做：画出如下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？
(1)a = 1.0, b =2. 4,c =2.6；
(2)a=2, b =3,c=4；
(3) a = 2, b =2. 5,c =3.
我们可以发现,第一组恰好满足a2 +b2= c2,由勾股定理的逆定理可知,组成的三角形是一个直角三角形,与所画图形一致.而另外两个三角形的较短的两边长的平方和都不等于最长边的平方,所画图形都不是直角三角形.
(1)
(2)
(3)
思考：由此,可以得到什么猜想？
探究新知
分析：想从已知条件a2 +b2≠c2(a≤b≤c)出发,
直接经过推理,得出结论,十分困难.我们可以换一种思
维方式,用如下方法证明这个结论:
探究：（1）假设它是一个直角三角形;
猜想：当一个三角形的三边长a、b、c (a≤b≤c)有关系a2 +b2≠c2时,
这个三角形不是直角三角形.
思考：怎样证明这个猜想是正确的呢？
像这样的证明方法叫“反证法”.
a
b
c
C
A
B
探究新知
（2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，原命题得证．
反证法的定义：
引出新知
问题情境：
一个班级有64名学生，则至少有两名学生的生日月份相同.
引出新知
证明：假设所有的学生生日月份都不同.
如果每名同学的生日月份都不同，则全班64名同学的生日月份有64个，这与一年有12个月相矛盾.
所以假设不成立，则至少有两名同学的生日月份.
反设
归谬
结论
推理
反设——归谬——结论，即：
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出与基本事实、定理、定义或已知条件相矛盾的结果；
(3)由矛盾断定所作假设不正确，从而得出原命题成立
反证法证明命题的一般步骤：
引出新知
引出新知
之前的学习中，用到反证法的例子有：证明不是有理数（八年级上册课本12页）；证明平行线的性质：两直线平行，同位角相等（七年级上册课本175页）。
反证法是数学证明的一一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法,有时该问题竞能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一.种间接的证明方法.
例1 求证:两条直线相交只有一个交点.
证明：假设两条相交直线 l1与l2不止一个交点， 不妨假设 l1与l2有两个交点A和B.
点拨： 想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发,经过推理,得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的,因此可以考虑用反证法.
例题讲解
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
例2 求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°，
即∠A> 60°， ∠B > 60°， ∠C> 60°.
例题讲解
点拨：至少的反面是没有！
于是∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°,
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有：
结论词 是 都是 大(小) 于 能 相等 至少 有一个 至少 有n个 至多 有一个 负数
否定 形式 不是 不都是 不大 (小)于 不能 不相等 一个也 没有 至多有 (n－1)个 至少 有两个 非负数
及时总结
1.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是（ ）
A.有两个内角是直角
B.有三个内角是直角
C.至少有两个内角是直角
D.没有一个内角是直角
C
当堂巩固
2. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A＝∠B＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设三角形的三个内角∠A，∠B，∠C中有两个直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.
正确的顺序应为( )
A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②
D
当堂巩固
3.用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是 .
4.已知命题“在△ABC中，若AC2＋BC2≠AB2，则∠C≠90°”，要证明这个命题是真命题可用反证法，其步骤为：假设________，根据___________，一定有_______________，但这与已知条件_______________相矛盾，因此，假设是错误的，于是可知原命题是真命题．
假设a=b
∠C=90°
勾股定理
AC2+BC2=AB2
AC2+BC2≠AB2
当堂巩固
5.求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所 对的角也不相等．
当堂巩固
证明：假设这两条边所对的角相等。根据等角对等边，这两条边也相等，但这与已知条件矛盾，故假设不成立。所以这两条边所对的角也不相等。
6.求证：两条直线被第三条直线所截，如果内错角不相等，那么这两条直线不平行．
当堂巩固
证明：假设这两条直线平行。根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，但这与已知条件矛盾，故假设不成立。所以这两条直线不平行。
注意:用反证法证明命题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。
课堂小结
反证法
反证法的概念
反证法证明的思路：
假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定原命题的结论.
反证法证明步骤
课堂小结