1.3 正方形的性质与判定 同步练习（无答案） 2023--2024学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册1.3 正方形的性质与判定
一、选择题
1. 下列命题中，真命题是（ ）
A．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
2. 下列命题中，真命题是（　　）
A．四个角相等的菱形是正方形 B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．两条对角线相等的四边形是矩形
3. 如图，以正方形的边为一边，在正方形内部作等边，连，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
4. 如图，在边长为的正方形中，对角线，相交于点，为线段的中点，连接，则线段的长为（　　）cm．　
A． B． C．1 D．2
5. 如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、8，则正方形D
的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．6
6. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则度数为（ ）
A． B． C． D．
7. 如图，是正方形内一点，是等边三角形，是对角线上一点，连接，，若，则的最小值为（ ）

A．1 B．2 C． D．
8. 如图，点E、F、G分别是正方形的边、、上的点，连接，，．且，，的度数为，则
的度数为（ ）

A． B． C． D．
9. 如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点． 已知，正方形的面积为24，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B． C． D．
10. 在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11. 如图，正方形的边长为8，对角线与交于点，点，分别在，的延长线上，且，，为的中点，连接，交于点
，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形的顶点A和C，已知点A的坐标为，则一次函数的解析式为_______

13. 如图，正方形的对角线，相交于点，平分交于点，若，则的长为___．
14. 如图，正方形的边长为6，点E，F分别在边上，且，连接交于点G，连接，取的中点H，连接，则
的长为________．

15. 如图，正方形的边长为，点为对角线上一动点点不与、重合，过点作交直线于，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，下列结论：；；；的最小值为，其中正确的是______填写所有正确结论的序号

三、解答题
16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

(1)在图①中，以线段为一边，画一个菱形．
(2)在图②中，画一个三角形，使得是这个三角形的中位线．
(3)在图③中，以点E为顶点，画一个面积最大的正方形．
17. 在正方形中，点O为对角线的中点，点E在对角线上，连接，点F在直线上（点F与点D不重合），且．
(1)如图1，当点E在线段上（不与端点重合）时．
①求证：；
②用等式表示线段，，的数量关系并证明；
(2)如图2，当点E在线段上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段，，的数量关系．
18. 感知：如图（1）所示，四边形是正方形，点是线段上的任意一点，于点，，且交于点，求证：．
探究一：如图（2）所示，若点在的延长线上，上述其余条件不变，则，，存在怎样的等量关系？猜想并证明这一结论．
探究二：若点在的延长线上，上述其余条件不变，则，，又存在怎样的等量关系？直接写出结论．

19. 在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，点D在x轴的负半轴上，点E在第二象限，矩形的顶点，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上．将沿x轴向右平移，得到，点D，O，E的对应点分别为．

(1)如图1，当经过点A时，求点的坐标；
(2)设，与矩形重叠部分的面积为S；
①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点M，分别与，交于点N，P，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②请直接写出满足的所有t的值．