4.1.1n次方根与分数指数幂 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
4.1 指数
4.1.1 n次方根和分数指数幂
人教A版（2019）
【学习目标】
1、整数指数幂
其中a是底数，n是指数，an是幂
2、运算性质
复习回顾
如果x3=a，那么x叫做a的三次方根/立方根
如果x2=a，那么x叫做a的二次方根/平方根
如果x4=a，那么x叫做a的四次方根
……
如果x5=a，那么x叫做a的五次方根
如果xn=a
，那么x叫做a的n次方根
n次方根的定义
若xn=a，(n=2,3,4……)
那么x叫做a的n次方根
如果x3=a，那么x叫做a的立方根
如果x2=a，那么x叫做a的平方根
如果x4=a，那么x叫做a的四次方根
……
如果xn=a
，那么x叫做a的n次方根
x如何用a表示呢？
如果x5=a，那么x叫做a的五次方根
a
a的平方根
4
9
0
-4
-9
a
a的立方根
27
8
0
-8
-27
a
a的五次方根
32
1
0
-1
-32
±2
±3
0
3
2
0
-2
-3
2
1
0
-1
-2
a
a的四次方根
81
16
0
-16
-81
±3
±2
0
当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.这时,的次方根用符号表示.
当为偶数时,正数的次方根是有两个,且这两个数互为相反数.这时,的次方根用符号表示. 负数没有偶次方根.
次方根
根式的概念
式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：，
比如：
【1】 一般读作“n次根号a”
【2】 当a＜0且n为偶数时，在实数范围内没有意义.
【3】 当有意义时， 是一个实数，且它的n次方等于a.
注：
探究 表示的n次方根，一定成立吗？
①当n为奇数时，
②当n为偶数时，
思考 和有什么区别？
是实数的n次方，在有意义的前提下，实数a的取值由n的奇偶决定，其算法是先开方，再乘方，结果恒等于a .
是实数an的n次方根，不受a的正负限制. 但是受n的奇偶限制. 本质算法是先乘方，再开方. 结果不一定等于a，
当n为奇数时，；
当n为偶数时，
不一定
总结：
注意：当n为偶数时，a≥0；当n为奇数时，a∈R.
下列四个命题中：
①正数的偶次方根是一个正数；
②正数的奇次方根是一个正数；
③负数的偶次方根是一个负数；
④负数的奇次方根是一个负数．
其中正确的是_________
随堂小练习
解析　正数的偶次方根有两个，负数的偶次方根不存在．①③错，②④正确．
探究 根据n次方根的定义和运算，我们知道
___________________(a>0)
___________________(a>0)
也就是说，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示成分数指数幂的形式.
思考 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也能表示为分数指数幂的形式呢？
事实上，任何一个根式都可以表示为分数指数幂的形式，例如：
, .
一般地
分数指数幂
规定正数的正分数指数幂的意义是：
所以，在条件的下，根式都可以写成分数指数幂的形式. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.
规定正数的负分数指数幂的意义是：
例如，
规定0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.
注意：分数指数不能随意约分. 因为约分之后可能会改变根式有意义的条件，如约分后变成了，而在实数范围内无意义.
一般的，无理数指数幂 aα（a>0，α为无理数）是一个确定的实数，幂中的指数的取值范围就从整数拓展到了有理数，并拓展到了实数． 实数指数幂是一个确定的实数．对任意实数r，s，均有下面的性质：
指数运算性质
根式化简与求值的思路及注意点：
(1)思路：首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质
进行化简．
(2)注意点：
①正确区分“ ”与“ ”两式；（注意分析 是否有意义）
②运算时注意变式、整体代换，以及平方差、立方差和完全平方公式、完全立方公式的运用，必要时要进行讨论．
例1 思考辨析(正确的画”√”,错误的画“×”)
√
×
×
×
典例分析
例2 求下列各式的值.
当有多重根式是,要由里向外、层层转化.
对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂.
例3.利用分数指数幂的形式表示下列各式(a >0)
解:
题①
化简求值:
课堂练习
题②
计算：
题③
化简： ,画出简图，写出最小值.
由图像可知最小值为4
知识像一艘船让它载着我们驶向理想的
……
谢谢