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(总课时09)§2.2二次函数的图像与性质(1)
【学习目标】会用描点法画二次函数y＝±x2的图象.
【学习重难点】探索二次函数y=ax （a≠0）的图像及性质．
【导学过程】
一.知识回顾
1.一次函数的一般表达式:y=kx+b(k≠0),图象是：一条直线，
性质:k>0时，y随x的增大而增大；k<0时，y随x的增大而减小.
反比例函数的一般表达式：y= (k≠0) ,图象是：双曲线，
性质：k>0时，y随x的增大而减小；k<0时，y随x的增大而增大.
2.画函数图象的一般步骤是：①列表②描点③连线．
3.二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c(其中a，b，c是常数且a≠0)，当b=0、c=0时，上式变为y=ax2.
二.探究新知
1．作函数y＝x2的图象
(1).列表：观察y=x2的表达式,选择值,并计算相应的y值,完成下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2 9 4 1 0 1 4 9
(2)在直角坐标系中描点(按x的值从小到大、从左到右描点)．
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．(能用直线连接吗？)
2．二次函数y＝x2的性质
（1）图象的形状是抛物线，开口方向向上（“向上”还是“向下”）
（2）图象是轴对称图形吗？是轴对称图形，如果是，它的对称轴是y轴.
(3)当x<0时，y随x的值的增大而减小.
当x>0时，y随x的值的增大而增大.
(4)图象与x轴有交点吗？有交点,如果有，交点坐标是(0,0)
(5)图象有最低点（“最高点”还是“最低点”）最低点的坐标是（0，0）.
函数有最小值（“最大值”还是“最小值”），最小值是0.
归纳：
3.二次函数y＝－x2图象的性质
4.函数y＝x2与y＝－x2的图象的相同点不同点与联系。
请在同一个直角坐标系中观察y＝x2与y＝－x2的图象，你能发现它们的图象的联系与区别吗？
相同点：①图象都是抛物线．②图象都与x轴交于点(0，0)．③图象都关于y轴对称．
不同点：①开口方向不同，②函数值随自变量增大的变化趋势不同，
③最值不同，④y＝x2有最低点，y＝－x2有最高点．
联系：它们的图象关于x轴对称．
三.典例与练习
例1.关于函数y=x2图象的说法:①图象是一条抛物线;②开口向上;
③是轴对称图形;④过原点;⑤对称轴是y轴;⑥y随x增大而增大.其中正确的有①②③④⑤.(填序号)
练习1.已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2上的点，则( B )
A．y1
例2.函数y＝k(x－k)与y＝kx2，y＝(k≠0)在同一坐标系上的图象正确的是( C )
A B C D
练习2.已知函数是关于x的二次函数，求:
(1)满足条件的m的值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点 求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大
(3)m为何值时,函数有最大值 最大值是多少 当x为何值时,y随x的增大而减小
解：(1)m=-3或2
(2)m=2时图像有自最低点(0,0)，当x>0时，y随x的增大而增大；
(3)M=-3时函数有最大值0，当x>0时，y随x的增大而减小.
四.课堂小结
五.分层过关
1.抛物线y＝－x2的图象一定经过( B )
A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限
2.关于y＝x2的图象下列描述错误的是( C )
A．图象的形状是抛物线 B．开口方向向上 C．关于x轴对称 D．有最低点(0，0)
3.下列各点：(-1，2)，(-1，-2)，(-2，-4)，(-2，4)，其中在二次函数y=-2x2的图象上的是(-1，-2).
4.已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而增大．(填“增大”或“减小”)
5.函数y＝2x2的图象对称轴是 y轴 ，顶点坐标是 （0，0） .
6.如图1，点P是抛物线y＝x2在第一象限内的一点，点A的坐标是(3，0)．设
点P的坐标为(x，y)．
(1)求△OPA的面积S关于变量y的关系式；(2)S是x的什么函数？
(3)当S＝6时，求点P的坐标；(4)在y＝x2的图象上求一点P′，使△OP′A的两边OP′＝P′A.
解：(1)S＝y(y>0)．(2)S＝x2(x>0)，S是x的二次函数．
(3)∵S＝x2＝6(x>0)，∴x＝2.∴y＝x2＝4.∴点P的坐标为(2，4)．
(4)∵OP′＝P′A，∴P′在OA的垂直平分线上．∴P′的横坐标为.
当x＝时，y＝x2＝.∴点P′的坐标为(，)．
思考题：
如图，在抛物线y＝－x2上取三点A，B，C.设点A，B的横坐标分别为a(a＞0)，a＋1，直线BC与x轴平行．
(1)把△ABC的面积S用a表示；
(2)当△ABC的面积S为15时，求a的值；
(3)当△ABC的面积S为15时，在线段BC上求一点D，使△ACD的面积为7.
解：(1)∵y＝－x2的图象关于y轴对称，BC∥x轴，点A，B的横坐标分别为a，a＋1，
∴点A的坐标为(a，－a2)，点B的坐标为[a＋1，－(a＋1)2]，
点C的坐标为[－a－1，－(a＋1)2]，BC＝2(a＋1)．在△ABC中，BC边上的高为－a2－[－(a＋1)2]＝2a＋1，
∴S＝×2(a＋1)×(2a＋1)＝2a2＋3a＋1
(2)当S＝15时，2a2＋3a＋1＝15，解得a＝2或a＝－.又∵a＞0，∴a＝2
(3)当S＝15时，a＝2，则△ABC的BC边上的高为2a＋1＝2×2＋1＝5.
∵S△ACD＝7，∴S△ABD＝S△ABC－S△ACD＝15－7＝8，∴×5×BD＝8，∴BD＝.
由a＝2得点B的坐标为(3，－9)．
∵点D在线段BC上，∴点D的坐标为(－，－9)
增函数
y=0
(0,0)
减函数
y轴
抛物线
向上
y=0
减函数
(0,0)
抛物线
y轴
向下
增函数
y轴
抛物线
y=0
上
y=0
（0，0）
下
图1
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(总课时09)§2.2二次函数的图像与性质(1)
一.选择题：
1.若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y＝－x2上，则下列结论正确的是(D)
A．当x1y2 C．当0y2
2.下列关于二次函数y＝x2的图象的说法：①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0，0)；⑤它的顶点是原点，且是抛物线的最高点；⑥y的值随x值的增大而增大．其中正确的有( B )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3.下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是( A )
4.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是( B )
A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大
5.已知点A(1，y1)，B(，y2)，C(2，y3)，都在二次函数y＝－x2的图象上，则( A )
A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y2＞y1 C. y2＞y3＞y1 D. y1＞y3＞y2
二.填空题：
6.已知二次函数y＝x2，当x>0时，y随x的增大而增大(填“增大”或“减小”)．
7.当－1≤x≤3时，二次函数y＝－x2的最小值是－9，最大值是0．
8.二次函数y＝x2的图像开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，0），图像有最低点，x>0时，y随x的增大而增大，x<0时，y随x的增大而减小。
9.如图1，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是2．
10.直线y＝kx＋b与抛物线y＝x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点的坐标为(0，4)．
11.给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝的图象(如图2所示)．
①如果>a>a2，那么0a>，那么a>1；
③如果a>a2>，那么－1>a，那么a<－1.
其中正确的命题是①④．(填序号)
三.解答题：
12.如图3所示，拱桥是抛物线形，其函数表达式为y＝－x2，当水位线在AB位置时，水面的宽AB是6m，求这时水面离拱形顶部的高度OC.
解：∵AB＝6m，∴BC＝3m.∴B点的横坐标为3，则纵坐标为y＝－32＝－9.
∴OC＝9m.
答：这时水面离拱形顶部的高度OC为9m.
13.已知二次函数y＝－x2的图象经过A(－1，a)．
(1)求a的值；(2)请说出这个二次函数顶点的坐标，对称轴；
(3)若点B(－2，y1)，C(－，y2)，D(3，y3)在该二次函数值的图象上，
试比较y1，y2，y3的大小．
解：(1)把A(－1，a)代入y＝－x2，解得a＝－1
(2)顶点的坐标为(0，0)，对称轴是y轴
(3)根据y＝－x2的图象关于y轴对称，可知点D(3，y3)与点(－3，y3)关于y轴对称，
∵－3＜－2＜－，∴y3＜y1＜y2
四.提高题：
14.规律探究如图3，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2上，点B0，B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，求△A2018B2017B2018的腰长．
解：作A1C⊥y轴，A2E⊥y轴，A1D⊥x轴，A2F⊥x轴，垂足分别为C，E，D，F.∵△A1B0B1，△A2B1B2都是等腰直角三角形，∴B1C＝B0C＝DB0＝A1D，B2E＝B1E，设A1(a，a)．
将点A1的坐标代入表达式y＝x2，得a＝a2，解得a＝0(不符合题意，舍去)或a＝1.
由勾股定理，得A1B0＝.则B1B0＝2.过点B1作B1N⊥A2F于点N，设点A2(x2，y2)，
可得A2N＝y2－2，B1N＝x2＝y2－2，又点A2在抛物线上，∴y2＝x22，即x2＋2＝x22，
解得x2＝2或x2＝－1(不合题意，舍去)，则A2B1＝2，同理可得：A3B2＝3，A4B3＝4，…，
∴A2018B2017＝2018 ，∴△A2018B2017B2018的腰长为2018 .
图1
图2
图3
图4
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(总课时09)§2.2二次函数y=ax （a≠0）的图像与性质(1)
一.选择题：
1.若点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在抛物线y＝－x2上，则下列结论正确的是( )
A．当x1y2 C．当0y2
2.下列关于二次函数y＝x2的图象的说法：①是一条抛物线；②开口向上；③是轴对称图形；④过点(0，0)；⑤它的顶点是原点，且是抛物线的最高点；⑥y的值随x值的增大而增大．其中正确的有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3.下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是( )
4.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2的共同性质是( )
A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 都有最高点 D. y随x的增大而增大
5.已知点A(1，y1)，B(，y2)，C(2，y3)，都在二次函数y＝－x2的图象上，则( )
A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y2＞y1 C. y2＞y3＞y1 D. y1＞y3＞y2
二.填空题：
6.已知二次函数y＝x2，当x>0时，y随x的增大而____(填“增大”或“减小”)．
7.当－1≤x≤3时，二次函数y＝－x2的最小值是____，最大值是__．
8.二次函数y＝x2的图像开口向___，对称轴是____，顶点坐标是____，图像有最____点，x____时，y随x的增大而增大，x____时，y随x的增大而减小。
9.如图1，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O处，AD∥x轴，以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方形分割成几部分，则图中阴影部分的面积是____．
10.直线y＝kx＋b与抛物线y＝x2交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点的坐标为________．
11.给出下列命题及函数y＝x，y＝x2和y＝的图象(如图2所示)．
①如果>a>a2，那么0a>，那么a>1；
③如果a>a2>，那么－1>a，那么a<－1.
其中正确的命题是________．(填序号)
三.解答题：
12.如图3所示，拱桥是抛物线形，其函数表达式为y＝－x2，当水位线在AB位置时，水面的宽AB是6m，求这时水面离拱形顶部的高度OC.
13.已知二次函数y＝－x2的图象经过A(－1，a)．
(1)求a的值；(2)请说出这个二次函数顶点的坐标，对称轴；
(3)若点B(－2，y1)，C(－，y2)，D(3，y3)在该二次函数值的图象上，
试比较y1，y2，y3的大小．
四.提高题：
14.规律探究如图3，点A1，A2，A3，…，An在抛物线y＝x2上，点B0，B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，若△A1B0B1，△A2B1B2，…，△AnBn－1Bn都为等腰直角三角形(点B0在坐标原点处)，求△A2018B2017B2018的腰长．
图1
图2
图3
图4
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(总课时09)§2.2二次函数的图像与性质(1)
【学习目标】会用描点法画二次函数y＝±x2的图象.
【学习重难点】探索二次函数y=ax （a≠0）的图像及性质．
【导学过程】
一.知识回顾
1.一次函数的一般表达式:______________,图象是：__________，
性质:____________________________________________________________.
反比例函数的一般表达式：_____,图象是：_____，
性质：_______________________________________________________.
2.画函数图象的一般步骤是：①_____②_____③_____．
3.二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c(__________________________)，当b=0、c=0时，上式变为_____.
二.探究新知
1．作函数y＝x2的图象
(1).列表：观察y=x2的表达式,选择值,并计算相应的y值,完成下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2
(2)在直角坐标系中描点(按x的值从小到大、从左到右描点)．
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．(能用直线连接吗？)
2．二次函数y＝x2的性质
（1）图象的形状是_____，开口方向____（“向上”还是“向下”）
（2）图象是轴对称图形吗？__________，如果是，它的对称轴是_____.
(3)当x<0时，y随x的值的增大_____.
当x>0时，y随x的值的增大_____.
(4)图象与x轴有交点吗？_____,如果有，交点坐标是_____
(5)图象有_____（“最高点”还是“最低点”）最___点的坐标是__________.
函数有_____（“最大值”还是“最小值”），最___值是___.
归纳：
3.二次函数y＝－x2图象的性质
4.函数y＝x2与y＝－x2的图象的相同点不同点与联系。
请在同一个直角坐标系中观察y＝x2与y＝－x2的图象，你能发现它们的图象的联系与区别吗？
相同点：①_______________．②_________________________．③____________________．
不同点：①__________，②______________________________，
③__________，④______________________________．
联系：____________________．
三.典例与练习
例1.关于函数y=x2图象的说法:①图象是一条抛物线;②开口向上;
③是轴对称图形;④过原点;⑤对称轴是y轴;⑥y随x增大而增大.其中正确的有____________.(填序号)
练习1.已知(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)是抛物线y＝－2x2上的点，则( )
A．y1例2.函数y＝k(x－k)与y＝kx2，y＝(k≠0)在同一坐标系上的图象正确的是( )
A B C D
练习2.已知函数是关于x的二次函数，求:
(1)满足条件的m的值;
(2)m为何值时,抛物线有最低点 求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x的增大而增大
(3)m为何值时,函数有最大值 最大值是多少 当x为何值时,y随x的增大而减小
四.课堂小结
五.分层过关
1.1.抛物线y＝－x2的图象一定经过( )
A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限
2.关于y＝x2的图象下列描述错误的是( )
A．图象的形状是抛物线 B．开口方向向上 C．关于x轴对称 D．有最低点(0，0)
3.下列各点：(-1，2)，(-1，-2)，(-2，-4)，(-2，4)，其中在二次函数y=-2x2的图象上的是_______.
4.已知二次函数y＝x2，当x＞0时，y随x的增大而____．(填“增大”或“减小”)
5.函数y＝2x2的图象对称轴是 ____ ，顶点坐标是 ______ .
6.如图1，点P是抛物线y＝x2在第一象限内的一点，点A的坐标是(3，0)．设
点P的坐标为(x，y)．
(1)求△OPA的面积S关于变量y的关系式；(2)S是x的什么函数？
(3)当S＝6时，求点P的坐标；(4)在y＝x2的图象上求一点P′，使△OP′A的两边OP′＝P′A.
思考题：
如图，在抛物线y＝－x2上取三点A，B，C.设点A，B的横坐标分别为a(a＞0)，a＋1，直线BC与x轴平行．
(1)把△ABC的面积S用a表示；
(2)当△ABC的面积S为15时，求a的值；
(3)当△ABC的面积S为15时，在线段BC上求一点D，使△ACD的面积为7.
图1
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