中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时10)§2.2 二次函数的图像与性质(2)
【学习目标】会用描点法画二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象,根据图象认识和理解二次函数的性质．
【学习重难点】会用描点法画二次函数y=ax2+c的图象，掌握它的性质.
【导学过程】
一.知识回顾
二次函数y＝ax2的图象特征及性质：
y＝ax2 开口方向 对称轴 顶点坐标 变化趋势
a>0 向上 y轴 (0，0) 在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大
a<0 向下 y轴 (0，0) 在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小
二.探究新知
探究1.(1)在同一直角坐标系内作出y=x2,y=2x2、y=0.5x2函数的图象.如图1
(2)比较y=x2,y=2x2、y=0.5x2的图象有什么不同.
答：开口方向相同，但图象开口大小不同，a越大开口越小.
(3)在同一直角坐标系内作出y=-x2,y=-2x2、y=-0.5x2函数的图象.如图2.
(4)比较y=-x2,y=-2x2、y=-0.5x2的图象有什么不同.
答：●开口方向相同，但图象开口大小不同；越大开口越小.
探究2.在同一直角坐标系中作出下列二次函数的图象
（1）填表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y=x2 … 4 1 0 1 4 …
y=x2+1 … 5 2 1 2 5 …
y=x2-1 … 3 0 -1 0 3
（2）在直角坐标系中，描点并画出函数y=x2,y=x2+1和y=x2-1的图象：
对比左面三个函数的图象，它们有什么关系？
相同点：
不相同点：
联系：将函数y＝x2的图象整体向上平移一个单位得到：y＝x2＋1的图象；
将函数y＝x2的图象整体向下平移一个单位得到：y＝x2-1的图象
(3)归纳：
①二次函数y＝ax2＋c的图象与二次函数y＝ax2开口方向、对称轴相同，顶点坐标不同．二次函数y＝ax2＋c的图象的顶点坐标是(0，c)．
②二次函数y＝ax2的图象经过上下平移可得到y＝ax2＋c的图象．
当c>0时，二次函数y＝ax2的图象向上平移c个单位，得到y＝ax2＋c的图象；当c<0时，二次函数y＝ax2的图象向下平移|c|个单位，得到y＝ax2＋c的图象．
三.典例与练习
例1.二次函数①y＝－3x2-1，②y＝3x2+1，③y＝x2-3，④y＝－x2的图象都是抛物线，开口方向相同的是①与④、②与③，开口大小相同的是①与②、③与④，关于x轴对称的是①与②．(填序号)
练习1.函数y＝-2x2的图像向下平移3个单位，就得到函数y＝-2x2-3；
例2.如图4，抛物线y＝x2－4与x轴交于A，B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，∴AB＝4.∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，∴×4×|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)；当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±，此时P点坐标为(，2)，(－，2)．
综上所述，P点的坐标为(，2)或(－，2)或(，2)或(－，2)．
练习2.如图5，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；
③y＝cx2；④y＝dx2，则a,b,c,d的大小关系是（B）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c
C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
练习3.函数y＝-3x2+2，的开口向下,对称轴是y轴，顶点坐标是（0，2），它可以看作是由抛物线y＝-3x2向上平移2个单位得到的.
当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小.当x=0时，y取得最大值，为y=2.
四.课堂小结
二次函数y＝ax2+c（a≠0）的性质：
函数 y＝ax2+c（a≠0）
开口方向 a＞0 向上 a<0 向下
对称轴 y轴（x=0） y轴（x=0）
顶点坐标 (0,c) (0,c)
增减性 x＞0时，增 x＞0时，减
x<0时，减 x<0时，增
最值 最小值为y=c 最大值为y=c
平移规律：函数y＝ax2+c（a≠0）的图象可由y＝ax2（a≠0）的图象向上（下）平移|c|个单位得到.
五.分层过关
1.抛物线y=4x2-4的开口向上，当x=0时，有最小值-4；
2.点A（2，a），B（b，10）在抛物线y=x2+1上，则a=5，b=3；
3.当m<-1时，抛物线开口向下，对称轴是x=0，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小.
4.抛物线y=-6x 可以看作是y=-6x +5按下列变换得到的（ B ）
A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位 C.向上平移-6个单位 D.向下平移-6个单位
5.将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是y=x2+2．
6.如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．
解：(1)∵点A为直线y＝x＋1与x轴的交点，∴点A的坐标为(－1，0)．
又∵点B横坐标为2，代入y＝x＋1中可得y＝3，∴点B的坐标为(2，3)．
∵抛物线顶点在y轴上，∴可设抛物线解析式为y＝ax2＋c，
把A，B两点坐标代入可得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－1
(2)△ABM为直角三角形．
理由如下：由(1)可知抛物线的解析式为y＝x2－1，
∴点M的坐标为(0，－1)，∴AM＝＝，
AB＝＝，BM＝＝，
∴AM2＋AB2＝2＋18＝20＝BM2，∴△ABM为直角三角形
思考题
7.已知抛物线y=ax2+c(a≠0)的顶点为P，它与直线y=x+1交于两点A（1，m），B（n，-1），与x轴交于C，D两点，试求抛物线解析式及△PCD的面积。
解：将A(1,m),B(n,-1)代入y=x+1得m=2，n=-2，A(1,2),B(-2,-1),
∵y=ax +c经过A(1,2),B (-2,-1)
∴ ∴
令x=0，y=3，P(0,3)，OP=3, 令y=0，.
∴
图1
图2
10
8
①它们的图象都是抛物线，且形状相同，开口方向相同．
②它们都是轴对称图形，且对称轴都是y轴．
③在y轴左侧，y随x的增大而减小；在y轴右侧，y随x的增大而增大．
④都有最低点，y都有最小值．
①它们的顶点不同，y＝x2的顶点在原点，坐标为(0，0)；y＝x2＋1的顶点坐标为(0，1)．y＝x2-1的顶点坐标为(0,-1).
②虽然函数y都有最小值，但y＝x2的最小值为0，y＝x2＋1的最小值为1,y＝x2-1的最小值为-1.
图3
图4
图5
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时10)§2.2 二次函数y=ax +c（a≠0）的图像与性质(2)
一.选择题：
1.抛物线y=x2+3的顶点坐标是（ ）
A. （0，3） B. （0，-3） C. （3，0） D. （-3，0）
2.把抛物线y＝ax2＋c向上平移2个单位，得到抛物线y＝x2，则a，c的值分别为( )
A．1，2 B．1，－2 C．－1，2 D．－1，－2
3.函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )
4．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( )
A.若y1＝y2,则x1＝x2 B.若x1＝－x2，则y1＝－y2 C.若0y2 D.若x1y2
5.函数y＝－2x2－1和函数y＝－在同一平面直角坐标系下的大致图象是( )
二.填空题:
6.下列四个二次函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝x2；④y＝3x2.其中抛物线开口从大到小的排列顺序是________.(填序号)
7.函数y＝－x2＋1的图象大致为____.（填序号）
8.已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝___，c＝___.
9.已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等．如图1，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是___.
10.已知点(-7,y1)，(3,y2)，(-1,y3)都在抛物线y=ax +k（a＞0）上，则y1, y2, y3 的大小关系为 ______
三.解答题：
11.已知抛物线y＝ax2＋n(an<0)与抛物线y＝－3x2的形状相同，且图象上与x轴最近的点到x轴的距离为2.(1)求a，n的值；
(2)在(1)的情况下，指出抛物线y＝ax2＋n的开口方向、对称轴和顶点坐标．
12.已知y＝(k－1)－3是二次函数．
(1)当x<0时，y随x的增大而减少，求k的值；
(2)若y有最大值，求该函数的表达式．
四.提高题：
13.二次函数y＝ax2－2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)．
(1)求a，m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大．
A
B
C
D
①
②
③
④②
图1
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时10)§2.2 二次函数的图像与性质(2)
【学习目标】会用描点法画二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象,根据图象认识和理解二次函数的性质．
【学习重难点】会用描点法画二次函数y=ax2+c的图象，掌握它的性质.
【导学过程】
一.知识回顾
二次函数y＝ax2的图象特征及性质：
y＝ax2 开口方向 对称轴 顶点坐标 变化趋势
a>0 在y轴左侧，y随x的增大而_____，在y轴右侧，y随x的增大而_____
a<0 在y轴左侧，y随x的增大而_____，在y轴右侧，y随x的增大而_____
二.探究新知
探究1.(1)在同一直角坐标系内作出y=x2,y=2x2、y=0.5x2函数的图象.如图1
(2)比较y=x2,y=2x2、y=0.5x2的图象有什么不同.
答：__________________________________________________.
(3)在同一直角坐标系内作出y=-x2,y=-2x2、y=-0.5x2函数的图象.如图2.
(4)比较y=-x2,y=-2x2、y=-0.5x2的图象有什么不同.
答：__________________________________________________.
探究2.在同一直角坐标系中作出下列二次函数的图象
（1）填表：
x … －2 －1 0 1 2 …
y=x2 … 4 1 0 1 4 …
y=x2+1 … …
y=x2-1 …
（2）在直角坐标系中，描点并画出函数y=x2,y=x2+1和y=x2-1的图象：
对比左面三个函数的图象，它们有什么关系？
相同点：
不相同点：
联系：将函数y＝x2的图象整体向____平移一个单位得到：y＝x2＋1的图象；
将函数y＝x2的图象整体向___平移一个单位得到：y＝x2-1的图象
(3)归纳：
①二次函数y＝ax2＋c的图象与二次函数y＝ax2开口方向、对称轴相同，顶点坐标不同．二次函数y＝ax2＋c的图象的顶点坐标是(0，c)．
②二次函数y＝ax2的图象经过上下平移可得到y＝ax2＋c的图象．
当c>0时，二次函数y＝ax2的图象向上平移c个单位，得到y＝ax2＋c的图象；当c<0时，二次函数y＝ax2的图象向下平移|c|个单位，得到y＝ax2＋c的图象．
三.典例与练习
例1.二次函数①y＝－3x2-1，②y＝3x2+1，③y＝x2-3，④y＝－x2的图象都是抛物线，开口方向相同的是_______________，开口大小相同的是_______________，关于x轴对称的是_________．(填序号)
练习1.函数y＝-2x2的图像向下平移3个单位，就得到函数____________；
例2.如图4，抛物线y＝x2－4与x轴交于A，B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
练习2.如图5，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y＝ax2；②y＝bx2；
③y＝cx2；④y＝dx2，则a,b,c,d的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c
C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
练习3.函数y＝-3x2+2，的开口____,对称轴是______，顶点坐标是______，它可以看作是由抛物线y＝-3x2向___平移___个单位得到的.
当x___时，y随x的增大而增大，当x___时，y随x的增大而减小.当x___时，y取得最___值，为y=___.
四.课堂小结
二次函数y＝ax2+c（a≠0）的性质：
函数 y＝ax2+c（a≠0）
开口方向 a＞0 _____ a<0 ______
对称轴 ___________ ___________
顶点坐标 ________ ___________
增减性 x＞0时，_______ x＞0时，_________
x<0时，________ x<0时，_________
最值 最小值为_____ 最大值为_______
平移规律：函数y＝ax2+c（a≠0）的图象可由y＝ax2（a≠0）的图象向_________平移___个单位得到.
五.分层过关
1.抛物线y=4x2-4的开口___，当x___时，有最___值___；
2.点A（2，a），B（b，10）在抛物线y=x2+1上，则a=___，b=___；
3.当m___时，抛物线开口向下，对称轴是___，在对称轴左侧，y随x的增大而___；在对称轴右侧，y随x的增大而___.
4.抛物线y=-6x 可以看作是y=-6x +5按下列变换得到的（ ）
A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位 C.向上平移-6个单位 D.向下平移-6个单位
5.将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是______．
6.如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y＝x＋1相交于A，B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM，BM.
(1)求抛物线的解析式；
(2)判断△ABM的形状，并说明理由．
思考题
7.已知抛物线y=ax2+c(a≠0)的顶点为P，它与直线y=x+1交于两点A（1，m），B（n，-1），与x轴交于C，D两点，试求抛物线解析式及△PCD的面积。
图1
图2
10
8
①__________________________________________________．
②________________________________________．
③___________________________________________________________.
④____________________.
①____________________________________________________________
___________________________.
②____________________________________________________________
____________________.
图3
图4
图5
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时10)§2.2 二次函数的图像与性质(2)
一.选择题：
1.抛物线y=x2+3的顶点坐标是（ A ）
A. （0，3） B. （0，-3） C. （3，0） D. （-3，0）
2.把抛物线y＝ax2＋c向上平移2个单位，得到抛物线y＝x2，则a，c的值分别为( B )
A．1，2 B．1，－2 C．－1，2 D．－1，－2
3.函数y＝ax2－a与y＝ax－a(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是( A )
4．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是( D )
A.若y1＝y2,则x1＝x2 B.若x1＝－x2，则y1＝－y2 C.若0y2 D.若x1y2
5.函数y＝－2x2－1和函数y＝－在同一平面直角坐标系下的大致图象是( D )
二.填空题:
6.下列四个二次函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝x2；④y＝3x2.其中抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④_.(填序号)
7.函数y＝－x2＋1的图象大致为②.（填序号）
8.已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝－3x2－2的图象关于x轴对称，则a＝3，c＝2.
9.已知抛物线y＝x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等．如图1，点M的坐标为(，3)，P是抛物线y＝x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是5.
10.已知点(-7,y1)，(3,y2)，(-1,y3)都在抛物线y=ax +k（a＞0）上，则y1, y2, y3 的大小关系为 y3＜y2＜y1 。
三.解答题：
11.已知抛物线y＝ax2＋n(an<0)与抛物线y＝－3x2的形状相同，且图象上与x轴最近的点到x轴的距离为2.(1)求a，n的值；
(2)在(1)的情况下，指出抛物线y＝ax2＋n的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：(1)由题意，得a＝3或－3，n＝2或－2，∵an<0，∴或
(2)当a＝3，n＝－2时，抛物线y＝3x2－2的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，－2)；当a＝－3，n＝2时，抛物线y＝－3x2＋2的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2)．
12.已知y＝(k－1)－3是二次函数．
(1)当x<0时，y随x的增大而减少，求k的值；
(2)若y有最大值，求该函数的表达式．
解：(1)∵y＝(k－1)－3是二次函数，∴k2－k＝2，且k－1≠0，解得k1＝2，k2＝－1.
∵当x<0时，y随x的增大而减小，∴函数图象开口向上，∴k－1>0，∴k＝2.
(2)若y有最大值，则函数图象开口向下，∴k－1<0，∴k＝－1.
∴函数的表达式为y＝－2x2－3.
四.提高题：
13.二次函数y＝ax2－2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)．
(1)求a，m的值；
(2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大．
解：(1)将(1，m)代入y=2x-1,得m=2×1-1=1.所以Ｐ点坐标为(1，1).
将P点坐标(1，1)代入ｙ=ax2，得1=a×12， 得a=1.
即a=1,m=1.
(2)二次函数的表达式：y=x2，
当x>0时，y随x的增大而增大.
A
B
C
D
①
②
③
④②
图1
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
