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(总课时11)§2.2 y=a(x-h)2图象及性质(3)
【学习目标】会用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象,理解函数y＝a(x－h)2的性质.
【学习重难点】理解y＝a(x－h)2,y=a(x-h)2+k和y＝ax2的图象之间的关系.
【导学过程】
一.知识回顾
1.函数y=3x2+1的图象的顶点坐标是_______；开口方向是_____；最___值是___.
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数y=-2x2的图象_____平移___个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数__________的图象.
二.探究新知
（一）.探究二次函数y＝a(x—h)2的图象和性质
(1)在同一坐标系中作出y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象．
①完成下表：
x ... －3 －2 －1 0 1 2 3 ...
2x2 ... ...
2(x－1)2 ... ...
②观察上表，比较2(x－1)2与2x2的值，它们有什么样的关系？
答：__________________________________________________.
③在同一坐标系中作出y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象．
结合图象，议一议：二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次
函数y＝2x2的图象有什么关系？
__________________________________________________.
归纳1：
①二次函数y＝2(x－1)2的图象与y＝2x2的图象形状_____，开口方向_____，对称轴和顶点坐标_____，y＝2(x－1)2的图象的对称轴是__________，顶点坐标是_____．
②当x＞1时，函数y＝2(x－1)2的值随x的增大而_____，x＜1时，y＝2(x－1)2的值随x的增大而_____.
(2)猜一猜：y＝2(x＋1)2的图象是怎么样的？它的图象与y＝2x2的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！
归纳2：
①二次函数y＝2x2、y＝2(x－1)2、y＝2(x＋1)2的图象都是_____，并且形状_____，只是位置_____．
②将y＝2x2的图象_____平移一个单位，就得到y＝2(x－1)2的图象；
③将y＝2x2的图象_____平移一个单位，就得到y＝2(x＋1)2的图象．
结论：
①函数y=a(x-h)2(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象形状_____，开口方向_____，最值_____；对称轴和顶点坐标_____，y=a(x-h)2(a≠0)的图象的对称轴是__________，顶点坐标是_____．
②当x＞_____时，函数y=a(x-h)2(a>0)的值随x的增大而_____，
当x＜_____时，函数y=a(x-h)2(a>0)的值随x的增大而_____．
③将y=ax2(a≠0)的图象向右平移h（h﹥0）个单位(向左平移︱h︱（h﹤0）个单位)
就得到函数y=a（x-h）2(a≠0)的图象
（二）探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
想一想：由二次函数y＝2x2的图象，你能得到y＝2x2－1，y＝2(x＋3)2，y＝2(x＋3)2－1的图象吗？你是怎么样做到的？
总结：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与二次函数y＝ax2＋c，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间关系．
①将y＝ax2的图象上下平移|c|个单位便可得到函数y＝ax2＋c的图象，
当c＞0时，向上平移；当c＜0时，向下平移．
②将函数y＝ax2的图象左右平移|h|个单位便可得到函数y＝a(x－h)2的图象，
当h＞0时，向右平移；当h＜0时，向左平移．
③将函数y＝ax2的图象既上下平移，又左右平移，便可得到函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
④y＝a(x－h)2＋k(a≠0)它们的开口方向，对称轴和顶点坐标
开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y＝ax2 a＞0
a＜0
y＝ax2＋c a＞0
a＜0
y＝a(x－h)2 a＞0
a＜0
y＝a(x－h)2＋k a＞0
a＜0
三.典例与练习
例1.一条抛物线的形状与y=2x 的形状和开口方向相同，且顶点坐标为（4，-2），试写出它的关系式．
练习1.将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为( )
A．y＝(x＋1)2＋1 B．y＝(x＋1)2－1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
例2.抛物线开口方向____，顶点坐标是_____，对称轴是_____，当x＝___时，y有最值___.
练习2.抛物线y＝3(x-2)2-1的开口_____，顶点坐标是_____，对称轴是___；当___时，y随x的增大而减小；当_____时，y随x的增大而增大；当x＝____时，y的最_____值_____.
四.课堂小结
y=a(x-h)2+k(a>0) y=a(x-h)2+k(a<0)
开口方向
对称轴
顶点从标
增减性
五.分层过关
1.抛物线的对称轴是__________,顶点坐标是_____.
2.二次函数的图象是( )
3.以P（－2，－6）为顶点的二次函数是（ ）
A． B． C D．
4.将函数y＝3(x-2)2+1的图象先向__平移__个单位，再向__平移__个单位可得到函数y＝3(x+2)2-4的图象
5.若抛物线开口向下，顶点在第四象限，则a__0,m__0,n__0.
6.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y=2x2相同，对称轴和抛物线y＝(x-2)2相同，且顶点纵坐标为0，则此抛物线的解析式为__________.
思考题：7.已知函数y＝(x+1)2-4，画出该函数图象，并根据图象回答：
(1) 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2) 若图象与x轴的交点为A、B和与y轴的交点C，求△ABC的面积；
(3) 指出该函数的最值和增减性；
(4) 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；
(5) 该抛物线经过怎样的平移能经过原点。
(6) 当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0。
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(总课时11)§2.2 二次函数的图象及性质(3)
【学习目标】会用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象,理解函数y＝a(x－h)2的性质.
【学习重难点】理解y＝a(x－h)2,y=a(x-h)2+k和y＝ax2的图象之间的关系.
【导学过程】
一.知识回顾
1.函数y=3x2+1的图象的顶点坐标是(0,1)；开口方向是向上；最小值是1.
2.函数y=-2x2+3的图象可由函数y=-2x2的图象向上平移3个单位得到.
3.把函数y=-3x2的图象向下平移2个单位可得到函数y=-3x2-2的图象.
二.探究新知
（一）.探究二次函数y＝a(x—h)2的图象和性质
(1)在同一坐标系中作出y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象．
①完成下表：
x ... －3 －2 －1 0 1 2 3 ...
2x2 ... 18 8 2 0 2 8 18 ...
2(x－1)2 ... 32 18 8 2 0 2 8 ...
②观察上表，比较2(x－1)2与2x2的值，它们有什么样的关系？
答：将2x2值向右平移一个单位就得到2(x－1)2的值.
③在同一坐标系中作出y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象．
结合图象，议一议：二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次
函数y＝2x2的图象有什么关系？
将2x2的图象向右平移一个单位就得到2(x－1)2的图象.
归纳1：
①二次函数y＝2(x－1)2的图象与y＝2x2的图象形状相同，开口方向相同，对称轴和顶点坐标不同，y＝2(x－1)2的图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)．
②当x＞1时，函数y＝2(x－1)2的值随x的增大而增大，x＜1时，y＝2(x－1)2的值随x的增大而减小．
(2)猜一猜：y＝2(x＋1)2的图象是怎么样的？它的图象与y＝2x2的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！
归纳2：
①二次函数y＝2x2、y＝2(x－1)2、y＝2(x＋1)2的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．
②将y＝2x2的图象向右平移一个单位，就得到y＝2(x－1)2的图象；
③将y＝2x2的图象向左平移一个单位，就得到y＝2(x＋1)2的图象．
结论：
①函数y=a(x-h)2(a≠0)与y=ax2(a≠0)的图象形状相同，开口方向相同，最值相同；对称轴和顶点坐标不同，y=a(x-h)2(a≠0)的图象的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，0)．
②当x＞h时，函数y=a(x-h)2(a>0)的值随x的增大而增大，
当x＜h时，函数y=a(x-h)2(a>0)的值随x的增大而减小．
③将y=ax2(a≠0)的图象向右平移h（h﹥0）个单位(向左平移︱h︱（h﹤0）个单位)
就得到函数y=a（x-h）2(a≠0)的图象
（二）探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质
想一想：由二次函数y＝2x2的图象，你能得到y＝2x2－1，y＝2(x＋3)2，y＝2(x＋3)2－1的图象吗？你是怎么样做到的？
总结：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图象与二次函数y＝ax2＋c，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象之间关系．
①将y＝ax2的图象上下平移|c|个单位便可得到函数y＝ax2＋c的图象，
当c＞0时，向上平移；当c＜0时，向下平移．
②将函数y＝ax2的图象左右平移|h|个单位便可得到函数y＝a(x－h)2的图象，
当h＞0时，向右平移；当h＜0时，向左平移．
③将函数y＝ax2的图象既上下平移，又左右平移，便可得到函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
④y＝a(x－h)2＋k(a≠0)它们的开口方向，对称轴和顶点坐标
开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y＝ax2 a＞0 向上 直线x=0 (0,0) 0
a＜0 向下 直线x=0 (0,0) 0
y＝ax2＋c a＞0 向上 直线x=0 (0,c) c
a＜0 向下 直线x=0 (0,c) c
y＝a(x－h)2 a＞0 向上 直线x=h (h，0) 0
a＜0 向下 直线x=h (h，0) 0
y＝a(x－h)2＋k a＞0 向上 直线x=h (h，k) k
a＜0 向下 直线x=h (h，k) k
三.典例与练习
例1.一条抛物线的形状与y=2x 的形状和开口方向相同，且顶点坐标为（4，-2），试写出它的关系式．
解：设抛物线为y=a(x-h)2+k∵顶点坐标为（4，-2）∴h=4,k=-2
又∵抛物线的形状与y=2x 的形状和开口方向相同∴a=2
∴抛物线的关系式为y＝2(x－4)2-2
练习1.将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为(D)
A．y＝(x＋1)2＋1 B．y＝(x＋1)2－1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
例2.抛物线开口方向向下，顶点坐标是（6，5），对称轴是x=6，当x＝6时，y有最值5.
练习2.抛物线y＝3(x-2)2-1的开口向上，顶点坐标是（2，-1），对称轴是x=2；当x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大；当x＝2时，y的最小值-1.
四.课堂小结
y=a(x-h)2+k(a>0) y=a(x-h)2+k(a<0)
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x=h 直线x=h
顶点从标 (h,k) (h,k)
增减性 x>h,是增函数，xh,是减函数，x五.分层过关
1.抛物线的对称轴是直线x=5,顶点坐标是(5,1).
2.二次函数的图象是( C )
3.以P（－2，－6）为顶点的二次函数是（ D ）
A． B．
C． D．
4.将函数y＝3(x-2)2+1的图象先向左平移4个单位，再向下平移5个单位可得到函数y＝3(x+2)2-4的图象
5.若抛物线开口向下，顶点在第四象限，则a<0,m<0,n<0.
6.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线y=2x2相同，对称轴和抛物线y＝(x-2)2相同，且顶点纵坐标为0，则此抛物线的解析式为y＝2(x-2)2.
思考题：7.已知函数y＝(x+1)2-4，画出该函数图象，并根据图象回答：
(1) 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2) 若图象与x轴的交点为A、B和与y轴的交点C，求△ABC的面积；
(3) 指出该函数的最值和增减性；
(4) 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；
(5) 该抛物线经过怎样的平移能经过原点。
(6) 当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0。
解：（1）开口向上，对称轴x=-1，顶点(-1,-4);
（2）S=7.5;
（3）x<-1时y随x的增大而减小，x>-1时，y随x的增大而增大，
x=-1时，y最小值为-4.
（4）y＝(x-1)2；
（5）向右平移3个单位或者向左平移1个单位；
（6）x>1或x<-3时y>0;-3向下平移1个单位
向上平移1个单位
向右平行移3个单位
向左平行移3个单位
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(总课时11)§2.2 y=a(x-h)2图象及性质(3)
一.选择题:
1.对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( )
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m C．最大值为0 D．与y轴不相交
2.对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为( )A．y＝2(x－3)2－5 B.y＝2(x＋3)2＋5 C．y＝2(x－3)2＋5 D.y＝2(x＋3)2－5[来
4.二次函数y＝(x－1)2的大致图象是( )
5.如图1，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线的表达式是( )
A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
二.填空题：
6.函数y＝3(x－2)2＋1的对称轴是直线____，顶点坐标是_____.
7.已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__________．(用“<”连接)
8.已知二次函数y＝(x－3)2图象上的两点A(3，a)和B(x，b)(点A，B不重合)，则a和b的大小关系是a9.将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为_______________.
10.如图2，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式
y＝2的图形交于B，C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为
(－3，0)，则此抛物线与y轴的交点坐标是_____
三.解答题：
11.二次函数y＝a(x－3)2＋4的图象是由二次函数y＝－x2的图象经过平移得到的．
(1)请指出a的值，并说明平移的方法；
(2)二次函数y＝a(x－3)2＋4的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
12在同一直角坐标系内，画出函数y＝2x2和y＝2(x－1)2＋1的图象，并说出它们的相同点和不同点．
四.提高题：如图，点P为抛物线y＝x2上一动点．
(1)若抛物线y＝x2是由抛物线y＝(x＋2)2－1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于点M.
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP＋PF的最小值．
图1
图2
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(总课时11)§2.2 二次函数的图象及性质(3)
一.选择题:
1.对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是( D )
A．开口向下 B．对称轴是直线x＝m C．最大值为0 D．与y轴不相交
2.对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④当x>1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为( A )A．y＝2(x－3)2－5 B.y＝2(x＋3)2＋5 C．y＝2(x－3)2＋5 D.y＝2(x＋3)2－5[来
4.二次函数y＝(x－1)2的大致图象是( A )
5.如图1，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线的表达式是( C )
A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1
二.填空题：
6.函数y＝3(x－2)2＋1的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2,1).
7.已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y28.已知二次函数y＝(x－3)2图象上的两点A(3，a)和B(x，b)(点A，B不重合)，则a和b的大小关系是a9.将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为y＝－5(x＋1)2－1.
10.如图2，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式
y＝2的图形交于B，C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为
(－3，0)，则此抛物线与y轴的交点坐标是(0,13.5)
三.解答题：
11.二次函数y＝a(x－3)2＋4的图象是由二次函数y＝－x2的图象经过平移得到的．
(1)请指出a的值，并说明平移的方法；
(2)二次函数y＝a(x－3)2＋4的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
解：(1)a＝－，将y＝－x2的图象向右平移3个单位长度，
再向上平移4个单位长度得到y＝－(x－3)2＋4的图象
(2)开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为(3，4)
12在同一直角坐标系内，画出函数y＝2x2和y＝2(x－1)2＋1的图象，并说出它们的相同点和不同点．
解：答案不唯一，如相同点：开口方向和开口大小相同；
不同点：函数y＝2(x－1)2＋1的图象是由函数y＝2x2的图象向上平移1个单位
长度，再向右平移1个单位长度得到的，位置不同．
四.提高题：如图，点P为抛物线y＝x2上一动点．
(1)若抛物线y＝x2是由抛物线y＝(x＋2)2－1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
(2)若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为(0，－1)，过点P作PM⊥l于点M.
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为(1，5)，求QP＋PF的最小值．
解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2－1的顶点为(－2，－1)，
∴抛物线y＝(x＋2)2－1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得
到抛物线y＝x2的图象(2)①存在一定点F，使得PM＝PF恒成立．过点P作PB⊥y轴于点B，
设点P坐标为(a，a2)，∴PM＝PF＝a2＋1，∵PB＝a，
∴Rt△PBF中，BF＝＝＝a2－1，
∴OF＝1，∴点F坐标为(0，1)
②由①知，PM＝PF，QP＋PF的最小值为QP＋PM的最小值，
当Q，P，M三点共线时，QP＋PM有最小值，
最小值为点Q纵坐标加点M纵坐标的绝对值．∴QP＋PF的最小值为6
图1
图2
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