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(总课时13)§2.3确定二次函数的表达式（1）
一.选择题：
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为A(－2，－2)，且过点B(0，2)，则二次函数的表达式为( D )
A. y＝x2＋2 B. y＝(x－2)2＋2 C. y＝(x－2)2－2 D. y＝(x＋2)2－2
2.已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为( D )
A．－1，－2 B．4，－2 C．－4，0 D．4，0
3.二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(1，－6)和(2，3)，则对应的抛物线的表达式为( A )
A．y＝3x2－9 B．y＝3x2＋9 C．y＝－3x2－9 D．y＝－3x2＋9
4.如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，则D的坐标是(D)
A．(－1，－4) B．(－1，4) C．(1，－4) D．(1，4)
5.如图2，抛物线y1=a(x+2)2+c与y2=0.5(x-3)2+b交于点A(1,3)，且抛物线y1经过原点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则下列结论中，正确的是（D）
A．c=4a B．a=1 C．当x=0时，y1-y2=4 D．2AB=3AC
二.填空题：
6.如果抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0，－2)，B(－1，1)两点，那么此抛物
线不经过第一象限．
7.若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，
则抛物线的函数表达式为y＝－x2＋4x－3.
8.一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为y＝﹣2（x+2）2+1．
9.形状与抛物线相同，对称轴是直线x=-1,且过点(0,-3)的抛物线的表达式是y=2x2+4x-3或y=-2x2-4x-3．
10.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是y＝－x2＋2x＋3．
三.解答题：
11.抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，
∴解得，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴D(1，4)．∴DE＝4，OE＝1.
∵B(－1，0)，∴BO＝1，∴BE＝2，
∴在Rt△BDE中，BD＝.
12.如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线对应的二次函数的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
解：(1)∵抛物线的顶点A的坐标为（1，4），∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4.
∵抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4.解得a＝－1.
∴二次函数的表达式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.
(2)作点B关于x轴的对称点E(0，－3)，连接AE交x轴于点P，点P即为所求点．
设AE所在直线的表达式为y＝kx＋b，分别代入A，E坐标，得，解得，
∴y＝7x－3.当y＝0时，x＝.∴点P的坐标为(，0)．
四.提高题：
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣0.5x2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）．
（1）抛物线的表达式为：y＝﹣0.5x2+1.5x+2；
（2）如图4.1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，则点E的坐标（2，6）；
（3）如图4.2，在抛物线上是否存在一点P，使∠CAP＝45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（3）如图4.2中，将线段AC绕点A逆时针旋转90°得
到AC′，则C′（2，﹣4），取CC′的中点H（1，﹣1），
作直线AH交抛物线于P，此时∠PAC＝45°，∵A（4，0），H（1，﹣1），
∴直线AH的解析式为y＝x﹣，
由，解得或，∴P（， ）．作直线AP′⊥PA，则直线AP′的解析式为y＝﹣3x+12，由，解得或（不合题意舍弃），综上所述，点P（﹣，﹣）
图1
图2
图3
图4.2
图4.1
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(总课时13)§2.3确定二次函数的表达式（1）
【学习目标】会利用待定系数法确定简单的二次函数表达式.（用二元一次方程组）
【学习重难点】根据已知条件设定恰当的函数表达式．
【导学过程】
一.知识回顾
1.求下列函数的表达式：
(1)一个正比例函数的图象经过点(2，－4)；
答：________.
(2)一个一次函数与x轴交于点(3，0)，与y轴交于点(0，6)．
答：________.
2.用待定系数法求函数表达式的步骤为：
①___________，②_________，③_________，④______．
3.二次函数的表达式有：
一般式：______________； 顶点式：____________.
二.探究新知
【类型一】已知顶点坐标确定二次函数解析式
引例1.一名学生推铅球时，铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图1所示，你能求出y与x之间的关系式吗？
方法总结：若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．
练习1.已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交点为(0，-5),求抛物线的解析式.
【类型二】已知两点坐标确定二次函数解析式
引例2已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.
练习2.已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
三.典例与练习
例1.已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的表达式．
练习3.已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
例2.已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
练习4.已知二次函数的图象经过原点及点（-2，-2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为：________________________.
四.课堂小结
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式.
1.已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,可选择顶点式.
2.已知图象经过两点，可选择y=ax2+bx+c,其中a,b,c中有两个是待定常数.
3.已知图象经过两点坐标及对称轴x=m，可选择y=a(x-m)2+k.
五.分层过关
1.一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为( )
A．y＝－2(x＋2)2＋4 B.y＝－2(x－2)2＋4
C．y＝2(x＋2)2－4 D.y＝2(x－2)2－4
2.抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，3)，且过点(0，5)，那么它的表达式为( )
A. y＝－2x2＋4x＋5 B. y＝2x2＋4x＋5 C. y＝－2x2＋4x－1 D. y＝2x2＋4x＋3
3.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1，3)，(0，1)两点，则b，c的值为( )
A. b＝1，c＝－1 B. b＝1，c＝1 C. b＝－1，c＝1 D. b＝0，c＝
4.如图2，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y＝－的
图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的表达式为( )
A. y＝x2－x－2 B. y＝x2－x＋2 C. y＝x2＋x－2 D. y＝x2＋x＋2
5.二次函数的顶点是(1，－1)，且过点(2，－3)，则此二次函数的顶点式为___________________．
6.若二次函数y=x2-mx+m-2的图象经过点（3,6），则m=___
7.开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝___.
8.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)．
(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标．
思考题：
如图3，二次函数y1＝-0.4x2+bx+c的图象与x、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C．
（1）求二次函数的解析式y1和一次函数的解析式y2；
（2）点P在x轴下方的二次函数图象上，且S△ACP＝33，求点P的坐标；
图1
图2
图3
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(总课时13)§2.3确定二次函数的表达式（1）
【学习目标】会利用待定系数法确定简单的二次函数表达式.（用二元一次方程组）
【学习重难点】根据已知条件设定恰当的函数表达式．
【导学过程】
一.知识回顾
1.求下列函数的表达式：
(1)一个正比例函数的图象经过点(2，－4)；
答：y=-2x
(2)一个一次函数与x轴交于点(3，0)，与y轴交于点(0，6)．
答：y=-2x+6
2.用待定系数法求函数表达式的步骤为：
①设出表达式，②列出方程组，③解方程组，④代入．
3.二次函数的表达式有：
一般式：y＝ax2＋bx＋c； 顶点式：y＝a(x－h)2＋k.
二.探究新知
【类型一】已知顶点坐标确定二次函数解析式
引例1.一名学生推铅球时，铅球行进的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图1所示，你能求出y与x之间的关系式吗？
解：由图像知，抛物线的顶点为（4,3），过点（10,0）
可设抛物线解析式为:y=a(x-4)2+3 (顶点式)
把（10，0）代入上式，得a(10-4)2+3=0,解得：a=-
∴这个二次函数关系式为:y=- (x-4)2+3
方法总结：若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．
练习1.已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交点为(0，-5),求抛物线的解析式.
解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3,
由点(0,-5)在抛物线上得：a-3=-5,得a=-2，
故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3.
【类型二】已知两点坐标确定二次函数解析式
引例2已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式.
解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax2+c中，得
解这个方程组，得∴所求二次函数表达式为：y=2x2－5.
练习2.已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，∴c－4b＝－19.∵对称轴是x＝－3，∴－＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴抛物线的解析式是y＝x2＋6x＋5；
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，∴点C的横坐标为－7，∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B的坐标为(0，5)，∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，∴△BCD的面积＝×8×7＝28.
三.典例与练习
例1.已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的表达式．
解：∵顶点坐标为(8，9)，
∴设所求二次函数的表达式为y＝a(x－8)2＋9.
把(0，1)代入上式，得a(0－8)2＋9＝1，
∴a＝－.∴y＝－(x－8)2＋9，即y＝－x2＋2x＋1.
练习3.已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为y=ax2+bx+1，
∵图象经过点(2,5)和(-2,13)
∴解得：a=2,b=-2.∴这个二次函数关系式为y=2x2-2x+1.
例2.已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。
解：设二次函数的关系式：y=a(x-2)2+k,把（3，1）和(0，－5)两点坐标代入得：
解得：∴这个二次函数关系式为y=-2(x-2)2+3
练习4.已知二次函数的图象经过原点及点（-2，-2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为：或.
四.课堂小结
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式.
1.已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,可选择顶点式.
2.已知图象经过两点，可选择y=ax2+bx+c,其中a,b,c中有两个是待定常数.
3.已知图象经过两点坐标及对称轴x=m，可选择y=a(x-m)2+k.
五.分层过关
1.一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为(B)
A．y＝－2(x＋2)2＋4 B.y＝－2(x－2)2＋4
C．y＝2(x＋2)2－4 D.y＝2(x－2)2－4
2.抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，3)，且过点(0，5)，那么它的表达式为( B )
A. y＝－2x2＋4x＋5 B. y＝2x2＋4x＋5 C. y＝－2x2＋4x－1 D. y＝2x2＋4x＋3
3.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过(1，3)，(0，1)两点，则b，c的值为( B )
A. b＝1，c＝－1 B. b＝1，c＝1 C. b＝－1，c＝1 D. b＝0，c＝
4.如图2，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点B(0，－2)，它与反比例函数y＝－的
图象交于点A(m，4)，则这个二次函数的表达式为( A )
A. y＝x2－x－2 B. y＝x2－x＋2 C. y＝x2＋x－2 D. y＝x2＋x＋2
5.二次函数的顶点是(1，－1)，且过点(2，－3)，则此二次函数的顶点式为y＝－2(x－1)2－1．
6.若二次函数y=x2-mx+m-2的图象经过点（3,6），则m=0.5
7.开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝-1.
8.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)．
(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标．
解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．
∴抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），即y=﹣x2+2x+3，
（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
思考题：
如图3，二次函数y1＝-0.4x2+bx+c的图象与x、y轴分别交于点A（﹣1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C．
（1）求二次函数的解析式y1和一次函数的解析式y2；
（2）点P在x轴下方的二次函数图象上，且S△ACP＝33，求点P的坐标；
解（1）将点A（﹣1，0）和点B（0，2）代入y1，解得：，∴二次函数的解析式为y1＝﹣0.4x2+1.6x+2．
∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴C（2，0），
∵一次函数y2＝mx+n的图象经过点B、C，∴一次函数的解析式为y2＝﹣x+2．
（2）设P到x的距离为h，∵A（﹣1，0），C（2，0），∴AC＝3，
∵S△ACP＝33，∴0.5AC h＝33，∴h＝22，∴P的纵坐标为﹣22，
把y＝﹣22代入y1＝﹣x2+x+2得，﹣22＝﹣x2+x+2，
解得x＝10或x＝﹣6，∴P的坐标为（10，﹣22）和（﹣6，﹣22）；
图1
图2
图3
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(总课时13)§2.3确定二次函数的表达式（1）
一.选择题：
1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点为A(－2，－2)，且过点B(0，2)，则二次函数的表达式为( )
A. y＝x2＋2 B. y＝(x－2)2＋2 C. y＝(x－2)2－2 D. y＝(x＋2)2－2
2.已知抛物线y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(－1，－2)，则b与c的值分别为( )
A．－1，－2 B．4，－2 C．－4，0 D．4，0
3.二次函数y＝ax2＋c的图象经过点(1，－6)和(2，3)，则对应的抛物线的表达式为( )
A．y＝3x2－9 B．y＝3x2＋9 C．y＝－3x2－9 D．y＝－3x2＋9
4.如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，则D的坐标是( )
A．(－1，－4) B．(－1，4) C．(1，－4) D．(1，4)
5.如图2，抛物线y1=a(x+2)2+c与y2=0.5(x-3)2+b交于点A(1,3)，且抛物线y1经过原点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则下列结论中，正确的是（ ）
A．c=4a B．a=1 C．当x=0时，y1-y2=4 D．2AB=3AC
二.填空题：
6.如果抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0，－2)，B(－1，1)两点，那么此抛物
线不经过第_____象限．
7.若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，
则抛物线的函数表达式为_______________.
8.一抛物线和另一抛物线y＝﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为____________________．
9.形状与抛物线相同，对称轴是直线x=-1,且过点(0,-3)的抛物线的表达式是_________________________．
10.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是_______________．
三.解答题：
11.抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
12.如图3，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线对应的二次函数的表达式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．
四.提高题：
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣0.5x2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）．
（1）抛物线的表达式为：_______________；
（2）如图4.1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，则点E的坐标______；
（3）如图4.2，在抛物线上是否存在一点P，使∠CAP＝45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图1
图2
图3
图4.1
图4.2
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