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(总课时15)§2.4二次函数应用(1)（最大面积）
【学习目标】运用二次函数的知识探究“面积”问题,求出实际问题中的最大(小)值．
【学习重难点】把实际问题转化成“函数模型”.
【导学过程】
一.知识回顾
求下列二次函数的顶点坐标，对称轴,并说明y随x的变化情况：
(1)y=x2-4x-1（配方法） (2)y=0.5x2+3x （公式法）
解（1）y=x2-4x+4-4-1 (2)a=0.5,b=3,c=0；
=(x-2)2-5 由顶点坐标公式得：x=-b/2a=-3,y=-4.5
顶点坐标：（2，5），对称轴：直线x=2； 顶点坐标：（-3，-4.5），对称轴：直线x=-3
当x<2时，减；当x>2时，增； 当x<-3时，减；当x>-3时，增.
二.探究新知
引例：如图1,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少
解：（1）设AD=bm,则得b=-0.75x+30
（2）y=xb=x(-0.75x+30)=-0.75x2+30x=-0.75(x-20)2+300
或用公式：当x=20时，y最大值=300
【归纳】：先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
变式一：在上一个问题中，如果把矩形改为如图2所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
解：设AD=BC=x,则得：AN=40-0.8x,
AB=ANsin∠ANB=0.6(40-0.8x)=24-x
S矩形ABCD=AD×AB=x(24-x)=-x2+24x.
当x=25时，S最大=300cm2
变式二：如图3,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm,
BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G
分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少
解：过A作AM垂直BC于点M，交DG于点N，
设DE=x，由△ADG∽△ABC，易得：DG=1.5(16-x)
S矩形=DG×DE=1.5(16-x)x=-1.5(x-8)2+96
∴当x=8时，S最大值=96
三.典例与练习
例1.某建筑物的窗户如图4,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
解：由4y+7x+πx=15,得y=0.25(15-7x-πx),
窗户面积S=2xy+0.5πx2=-3.5x2+7.5x=-3.5(x-)2+
当x≈1.07时，S最大≈4.02
即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.
练习1.周长8m的铝合金制成如图5所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ B ）m
A. B. C. 4 D.
例2.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c
（a≠0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最
高的是（ B ）A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒
练习2.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行600m才能停下来．
四.课堂小结
“最大面积” 问题解决的基本思路：
1.阅读题目，理解问题.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.
3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.
4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
5.检验结果的合理性.
五.分层过关
1.如图6，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（A）
A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 25米
2.如图7，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm．点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是（C）A．10cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．24 cm2
3.竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+，若小球经过秒落地，则小球在上抛过程中，第（A）秒离地面最高．
A． B． C． D．
6.如图8是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加()m.
7.将一条长为20cm的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是12.5cm2.
8.如图9，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则正方形EFGH的边长为()．
思考题:
用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
解：（1）设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得
y=x（32÷2﹣x）=﹣x2+16x．答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；
（2）由（1）知，y=﹣x2+16x．当y=60时，﹣x2+16x=60，即（x﹣6）（x﹣10）=0．解得 x1=6，x2=10，
即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；
（3）不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：由（1）知，y=﹣x2+16x．
当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0因为△=（﹣16）2﹣4×1×70=﹣24＜0，
所以该方程无解．即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图9
图8
图7
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(总课时15)§2.4二次函数应用(1)（最大面积）
【学习目标】运用二次函数的知识探究“面积”问题,求出实际问题中的最大(小)值．
【学习重难点】把实际问题转化成“函数模型”.
【导学过程】
一.知识回顾
求下列二次函数的顶点坐标，对称轴,并说明y随x的变化情况：
(1)y=x2-4x-1（配方法） (2)y=0.5x2+3x （公式法）
二.探究新知
引例：如图1,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少
【归纳】：先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.
变式一：在上一个问题中，如果把矩形改为如图2所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
变式二：如图3,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm,
BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G
分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少
三.典例与练习
例1.某建筑物的窗户如图4,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m) 此时,窗户的面积是多少
练习1.周长8m的铝合金制成如图5所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）m2 A. B. C. 4 D.
例2.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）、若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒
练习2.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_____m才能停下来．
四.课堂小结
“最大面积” 问题解决的基本思路：
1.阅读题目，理解问题.
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.
3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.
4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.
5.检验结果的合理性.
五.分层过关
1.如图6，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（ ）
A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 25米
2.如图7，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm．点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是（ ）A．10cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．24 cm2
3.竖直向上的小球离地面的高度h（米）与时间t（秒）的关系函数关系式为h=-2t2+mt+，若小球经过秒落地，则小球在上抛过程中，第（ ）秒离地面最高．
A． B． C． D．
6.如图8是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加__________m.
7.将一条长为20 cm的铁丝剪成两段并用每一段铁丝刚好围成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是_____cm2.
8.如图9，正方形ABCD的顶点A，B与正方形EFGH的顶点G，H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD和y轴上，正方形边AB与EF同时落在x轴上，若正方形ABCD的边长为4，则正方形EFGH的边长为( )．
思考题:
用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
图1
图2
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图9
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(总课时15)§2.4二次函数应用(1)（最大面积）
一.选择题：
1.现有一块长、宽的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 的小正方形，做成一个底面积为 的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
2.如图1，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影部分片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（ ）
A.x=10，y=14 B. x=14，y=10,C. x=12，y=15， D. x=15，y=12.
3.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门．已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
4.设抛物线y=ax2+bx+c(ab≠0)的顶点为M,与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1 ( )
A．y=-3(x-1)2+1 B．y=2(x-0.5)(x+1.5) C．y=x2-x+1 D．y=(a2+1)x2-4x+2(a为任意常数)
二.填空题：
5.如图3所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，当BP=____时,△MBP的面积最大.
6.如图4，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为______________
7.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数关系式是y＝60t－t2，在飞机着陆滑行中,最后2s滑行的距离是____m
三.解答题：
8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90，AC=4cm，BC=3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0（1）当t为何值时，PQ⊥AC
（2）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,S取得最大值？S的最大值是多少？
四.提高题：
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(m,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接BC.（1）求这个抛物线的解析式
（2）设P为抛物线上的一点，且在直线BC的下方，连接PB,PC，当△PBC的面积最大时，线段AB在x轴上左右移动得到线段A′B′，求PA′+A′B′+B′D的最小值．
图1
图4
图3
图2
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(总课时15)§2.4二次函数应用(1)（最大面积）
一.选择题：
1.现有一块长、宽的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 的小正方形，做成一个底面积为 的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（C）
A. B. C. D.
2.如图1，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形阴影部分片备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应分别为（D）
A.x=10，y=14 B. x=14，y=10,C. x=12，y=15， D. x=15，y=12.
3.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门．已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（ D ）
A． B． C． D．
4.设抛物线y=ax2+bx+c(ab≠0)的顶点为M,与y轴交于N点，连接直线MN，直线MN与坐标轴所围三角形的面积记为S.下面哪个选项的抛物线满足S=1 ( D )
A．y=-3(x-1)2+1 B．y=2(x-0.5)(x+1.5) C．y=x2-x+1 D．y=(a2+1)x2-4x+2(a为任意常数)
二.填空题：
5.如图3所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，当BP=5时,△MBP的面积最大.
6.如图4，已知等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y（厘米2）与时间t（秒）之间的函数关系式为y=（20-2t）2
7.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数关系式是y＝60t－t2，在飞机着陆滑行中,最后2s滑行的距离是6m
三.解答题：
8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90，AC=4cm，BC=3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t(s)(0（1）当t为何值时，PQ⊥AC
（2）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式,并求出当t为何值时,S取得最大值？S的最大值是多少？
解（1）∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠C＝90°，∴PQ∥BC，∴，
在Rt△ACB中，AB＝5∴，解得t＝，∴t为时，PQ⊥AC．
如图，作PH⊥AC于H．∵PH∥BC，∴，∴，
∴PH＝（5 t），∴S＝ AQ PH＝×t×（5 t）＝ （t ）2＋，
∵ ＜0，∴t＝，S有最大值，最大值为．
四.提高题：如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(m,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接BC.（1）求这个抛物线的解析式
（2）设P为抛物线上的一点，且在直线BC的下方，连接PB,PC，当△PBC的面积最大时，线段AB在x轴上左右移动得到线段A′B′，求PA′+A′B′+B′D的最小值．
解：（1）把A(1,0),C(0,3)代入y=x2+bx+c中得:
，解得这个抛物线的解析式为：y=x2-4x+3
（2）把B(m,0)代入y=x2-4x+3，得：m1=1,m2=3点B的坐标为(3,0)
设直线BC的解析式为y=kx+b直线BC的解析式为：y=-x+3
设点P的坐标为：P(n,n2-4n+3)过点P作PQ⊥AB交BC于点Q
则点Q的坐标为：Q(n,-n+3)∴PQ=-n2+3n∴S△PBC=S△PQC+S△PQB=-1.5(n-1.5)2+3.375
又∵0如图，过点P作PP′//x轴，且使PP′=AB，∴P′(3.5,-0.75)连接P′D交x轴于点B′过点P作PA′//P′B′交x轴于点A′∴四边形PP′B′A′是平行四边形，此时PA′+A′B′+B′D的值最小
令y=3，得x=0或x=4，∴D（4,3）∵P′(3.5,-0.75)，D(4,3），∴P′D=
又∵PA′+B′D=P′D，A′B′=PP′=AB=2,PA′+A′B′+B′D最小值为：2+ .
图3
图1
图4
图2
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